从紫外灾难到普朗克公式

1、毕业论文 题 目 从紫外灾难到普朗克公式 学生姓名 苏 军 学号 1110014037 所在学院 物理与电信工程学院 专业班级 物理1101班 指导教师 王剑华 完成地点 陕西理工学院 2015 年6月 9日从紫外灾难到普朗克公式苏军（陕理工物理与电信工程学院物理学专业1101班，陕西 汉中 723001）指导老师：王剑华 摘要紫外灾难是指在研究黑体辐射能谱的时候遇到了短波区能谱发散的现象。本文回顾19世纪末经典物理学无法解决的几个主要问题，介绍了维恩公式和瑞利金斯公式，引出“紫外灾难”。为解决紫外灾难，普朗克提出的能量量子化的概念，并通过一系列推导得出了完全符合黑体辐射规律的黑体辐射规律的普

2、朗克公式，最后探究普朗克关于黑体辐射的研究思路和能量量子化的意义。关键词紫外灾难 ;维恩公式; 瑞利-金斯公式；普朗克公式;量子化假说引言任何固体或液体，在任何条件下都可以发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子或原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。为了研究热辐射，研究者提出了一种理想的物理模型-黑体。在上个世纪之交，为了从理论上解释黑体辐射的特性，德国物理学家维恩推导出一个黑体辐射能量按波长分布的“维恩公式”，但该公式只适用于波长较短的部分。Rayleigh-Jeans 根据经典电动力学，得到了Rayleigh-Jeans公式的能谱分布规律该公式在长波部分与实验符合较好，而在短波部

3、分则不完全不符，而趋于无穷大，历史上称之为“紫外灾难”。1900年Planck通过对比维恩公式和瑞利金斯公式，提出能量量子化假说，根据这个假定，Planck利用统计物理的方法给出了黑体辐射的Planck能量分布公式，从而诞生了量子论。 量子论的提出是二十世纪最重要的三大科学发现之一，它打开了人类认识原子世界的大门。量子论的诞生和发展到今经历如下的几个阶段：黑体辐射与量子假设、老量子理论的兴与衰、对应原理、波粒二象性、量子力学的初步成长。正是因为这些理论的演变，才逐步推动着量子力学的发展。建立在量子概念的量子力学及其物理诠释，促使人类的思想观念产生根本性转变。 本文第一部分主要系统阐述了19世纪

4、末经典物理学无法解释的几个现象，介绍了维恩公式建立的理论依据并具体推导瑞利-金斯公式，从黑体辐射研究得到的公式中具体说明紫外灾难形成的原因，并以图的形式直观说明。第二部分主要阐述普朗克从维恩和瑞利金斯公式中得到的启示，并提出能量量子化、用插值法推导出在任意波长范围内都符合黑体辐射规律的普朗克公式。第三部分举例人们从普朗克量子假说中得到的启示。第四部分指出普朗克量子假说的重大意义。1 1900年物理学研究进展的回顾19世纪末页，物理学已经发展到相当高的水平，物理学（经典物理学）以力学、电磁场论、统计力学为三大支撑，达到了完备系统和成熟阶段。正当人们为物理学的辉煌成就欢欣鼓舞时，一系列新的实验发现

5、展现出新的奇特现象，而现有的物理学理论无法解释这些现象。1900年，著名物理学家开尔文在一次演讲中提到，物理学世界晴空万里，但在天际出现两朵乌云：“以太飘移”测量零结果与其黑体辐射测量结果引出的“紫外灾难”，后来又连续出现好几朵乌云，使得19世纪末20世纪初的物理学天空变得乌云密布，酝酿了一场风暴-20世纪初物理学的革命。下面简述这几个困难。1.1黑体辐射完全黑体在与热辐射达到平衡时，辐射能量满足基尔霍夫辐射定律。韦恩从热力学普遍理论考虑以及分析实验数据的得出一个半经验公式。但是韦恩公式并不是与所有实验数据吻合的很好。在长波波段，韦恩公式与实验严重偏离。瑞利和金斯根据经典电动力学和统计物理学也

6、得出黑体辐射能量分布公式。他们得出的公式在长波部分与实验结果比较符合，而在短波部分则完全不符,这个困难称为“紫外灾难”，它表明经典物理学的困难。1.2光电效应1899年，汤姆孙和勒纳德发现，被紫外光照射的钠金属表面释放电子，这就是光电效应，释放出来的电子叫光电子。1902年，勒纳德通过实验得到光电效应的规律：被入射光激发出来、离开金属表面的光电子的最大速度与入射光的强度无关，却与频率成线性关系，而入射光的强度与光电子的强度成正比。这个实验结果与当时的物理学理论发生矛盾：按照光的电磁波动论与能量守恒定律，释放出来的光电子的最大速度（最大动能）应该与入射光波的强度（即入射光的能量）成线性关系，这不

7、应该与入射光波的频率成线性关系。这是经典物理学的又一个困难。1.3固体比热19世纪下半页，杜隆和珀蒂进行了一系列固体比热的测量，发现这样的规律：相同摩尔的单元素固体的比热总是相等，与温度无关。对于1mol的单元数固体，其热容（摩尔热容）等于常数 (1.3.1）这就是杜隆-珀蒂定律。根据经典统计物理学的能量均分定理，可推出每摩尔单元素固体的热容（摩尔热容）为 (1.3.2)可见，这理论结果与杜隆-珀蒂定律吻合。但是，后来发现，有些轻物体，如铍、硼、硅、碳等，它们的都小于3R，特别是金刚石，在常温下它的为，而金刚石在高温（约1300摄氏度）下，。又发现，在常温下其遵从杜隆-珀蒂定律的固体，在低温下

8、其小于3R，而且温度越低，越小，这种现象与杜隆-珀蒂定律发生矛盾，这是经典物理学无法解决的困难。1.4原子核模型卢瑟福的粒子实验得出的结果和当时物理学界流行的汤姆孙原子结构模型不同，于是他提出了原子有核模型：原子由原子核及绕核旋转的电子组成，电子负电荷的总和恰好与原子核的正电荷相互抵消。但是由实验结果得到的这个原子核模型却与电磁场论的公认定律相互抵触。根据电磁场论，一个被加速的电荷以电磁辐射的形式释放能量。绕原子核旋转的电子必然有一个向心加速度，它将通过辐射引起连续的能量损失。波尔算出，这种辐射将使原子中的电子迅速失去全部能量而坠落到原子核中去。但是，组成物质的原子是稳定的。这就是卢瑟福原子有

9、核模型所引起的经典物理学的困难。1.5氢原子的线状光谱 通过反复实验发现，氢原子的线状光谱巴尔末线系、莱曼线系和帕邢线系都可以用统一表达式 （1.5.1） 来表示。在这里，频率有两个足标m和n，而经典物理学中，振子的表达式为 (1.5.2)振子所发射的辐射频率与振子的频率相同，即 (1.5.3)这就是说，在经典物理学中辐射的频率只能有一个足标，这不能解释为何氢原子光谱的谱线频率有两个足标m和n。这是经典物理学的又一个困难。2 斯特潘-波尔兹曼和维恩位移定律维恩根据热力学原理证明，黑体辐射普必有如下的函数形式： (2.1.1)或 (2.1.2)其中的函数形式不能最终确定。利用上式可得以下两条定律

10、：2.1黑体辐射本领与热力学温度成正比，即,实际测得上式中的比例常数,它是一个适普常量，这就是斯特潘-波尔兹曼定律，叫做斯特潘-波尔兹曼常数。2.2维恩位移律在黑体辐射实验曲线表明，任何温度下都有一个极大值，令这极大值所对应的波长为，则与T成反比： (2.2)实验测得b=0.288cmK, b也是一个适谱常量,这个规律称为维恩位移律。3 维恩公式维恩从热力学理论出发，把光辐射现象用分子的行为来类比，认为按辐射频率的分布类似于分子按速率的分布，因此服从麦克斯韦速率分布律。在分析实验的基础上，他于1896年给出了一个关于黑体辐射光谱分布的公式 (3.1)其中，是经验参数，通过与实验曲线的拟合来确定

11、，上式称为维恩公式。4 Rayleigh-Jeans公式与紫外灾难的出现4.1Rayleigh-Jeans公式的推导英国物理学家瑞利和金斯批评维恩在引入黑体辐射时的假设不严谨，他们认为黑体辐射是由带电粒子的振动引起的。当系统处于热平衡状态时，振子数目按能量的分布遵从波尔兹曼公式 (4.1.1）其中，表示能量为的振子出现的概率；z为归一化常数。由此得到单振子的平均辐射能量 (4.1.2)再利用振子密度表示式 (4.1.3)立即得到黑体辐射的能量密度 (4.1.4)这就是瑞利-金斯公式。4.2紫外灾难维恩公式和瑞利-金斯公式是关于黑体辐射光谱分布的两个结果，将它们与实验相比较时，可以看出，维恩线可

12、以描述短波情况，而在长波部分明显不符合实验；而瑞利-金斯线在长波部分与实验符合得较好，但在短波部分与实验完全相反，它显示一种紫外发散，因此历史上被科学家们称之为“紫外灾难”（ultra-violet catastrophe）9。如图4.2。图4.2 黑体辐射实验曲线如图4.1黑体辐射实验曲线图所示。如果黑体辐射能量密度真的像Rayleigh-Jeans分布那样,人的眼睛盯着炉子内的热物质时,紫外线就会使眼睛变瞎。5 普朗克得到的启示普朗克看到瑞利-金斯公式和维恩公式分别在频率的两端与实验曲线吻合的事实，通过对比下表5 。 表5 黑体辐射表达式= 紫外区发散 于是，他决定从了力学理论对

13、韦恩公式和瑞利金斯公式进行内插工作，对于定容过程，热力学的基本公式为 (5.1)其中U是内能，在这里让他表示辐射振子每一个自由度的平均能量。对于瑞利金斯公式有 (5.2)对维恩公式有 (5.3)由(5.1)和（5.2）上两式得到 （5.4） 由（5.1）和（5.3）上两式得到 (5.5)式(5.5)与（5.4）式表明，当T很高时，无论是根据瑞利金斯公式还是根据维恩公式，能量U很大，而v/T很小，在这种情况下，瑞利金斯公式成立，D与能量的平方成正比；当T很小时，无论是根据瑞利金斯公式还是根据维恩公式，能量U很小，而v/T很大，在这种情况下，瑞利金斯公式成立，维恩公式成立，D与能量的平方成正比，由

14、此可进行内插，得到）为常数 (5.6) (5.7)将（5.7）对U积分得 (5.8) (5.9)由此可得 (5.10)将（5.10）式与维恩位移定律比较： (5.11)得到 (5.12)这就是普朗克辐射公式，若取适当的常数值，它与黑体辐射的实验曲线完全吻合5。6 普朗克公式和量子假说普朗克得到了与实验曲线完全吻合的黑体辐射公式之后，认为这个新的黑体辐射公式虽然精确的符合了实验曲线，但仅仅是一个侥幸揣测出来的内插公式，必须找到它真正的物理含义。为了摆脱困难，普朗克提出如下非同寻常的假设:谐振子能量的值只取某个基本单元的整数倍，即 (6.1)这样一来， (6.2) 利用等比级数的求和公式，可得 (

15、6.3)将（6.2）式带入（6.2）式，不难求得 (6.4) 将（6.4）式带,不难得出 (6.5) 要使此式符合（2.1.1）式给出的普遍形式，必须另正比于v，即，这样，上式化为 (6.6)从而获得普朗克公式6综合上述，为了推导出与实验相符的黑体辐射公式，人们不得不做出这样的假设：频率为v的谐振子，其能量取值为的整数倍，称为能量子，这个假设称为普朗克量子假说7。这样黑体辐射问题完全解决了，公式中的为普朗数, ,k为波尔兹曼常数，k =1.38065*J/K.7 人们得到启示7.1光的波粒二象性假说1905年，爱因斯坦明确提出光的波粒二象性假说，其根据是黑体辐射腔内辐射能量涨落的表达式。从光的

16、波动观点出发，黑体辐射腔中的电磁波能够与空腔交换能量，因此达到平衡时，他遵从正则系棕分布。按照统计物理学，辐射能量及涨落公式为 (7.1.1)从光的微粒观点出发，黑体辐射腔中的辐射粒子与空腔壁交换能量时是通过交换辐射粒子来实现的，因此，达到平衡时，它遵从巨正则系综分布，按照统计物理学，辐射粒子数能量及涨落公式的表达式为 (7.1.2)由瑞利金斯公式得到 (7.1.3)式(7.1.3)与(7.1.1)式相同，可见瑞利金斯公式反映的是辐射的波动性。由维恩公式得到，, (7.1.4) 式(7.1.4)与(7.1.2)式相同，可见维恩公式反映的是辐射的微粒性，由普朗克公式到得到 (7.1.5)由此式可

17、知，爱因斯坦得到的辐射能量涨落公式由微粒项和波动项组成的，这反映了辐射的二象性。由此爱因斯坦提出了光的波粒二象性：光既具有波动特性，又具有粒子特性。7.2 光电效应当光束照射在金属表面时，使电子从金属中脱出来的现象叫做光电效应。光电效应的实验规律是光的波动理论完全不能解释的。1905年，爱因斯坦在德国物理学年鉴发表了光电效应理论的论文，基于普朗克的“作用量子”的假设，爱因斯坦提出了光量子概念，他认为电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量为hv的粒子形式出现，而且按这种形式以速度c在空间转播。当光速和物质相互作用时，其能流不像波动理论那样，是连续分布的，而是集中于一些光之的例子上，但这种粒子仍保持着频

18、率（及波长）的概念光子的能量正比于其频率v，即其中，为普朗克常量，爱因斯坦的这个假说，是普朗克假说的发展。普朗克起初把能量量子化的概念局限于谐振子及其发射或吸收的机制，而爱因斯坦建议，根据爱因斯坦的光子假说，当光照射在金属上时，它的能量有部分用于克服金属材料的逸出功A，另有一部分转化为光子的动能，即 (7.2)这个公式与勒纳德通过实验得到的光电效应规律完全吻合。光电效应特点：任何一种金属，都有一个极限频率，入射光频率必须大于这个极限频率才能产生光电效应；光电子的最大动能与入射光的强度无关，只随入射光频率的增大而增大；入射光照到金属上时，光电子的发射是瞬时的。7.3 康普顿散射康普顿从实验上发现

19、：X射线被电子散射后，波长有增大的现象，这就是著名的康普顿效应，这种现象与经典电动力学是相矛盾的。按照经典电动力学理论，电磁波被散射后波长不应改变，康普顿把X射线被电子射线看成想射线的光子与电子碰撞的过程，这样一来可以圆满的解释实验现象了。7.4 固体比热固体比热随温度而下降的现象是经典物理学无法解决的困难。为解决这个困难，爱因斯坦把量子论从辐射领域引入物质领域。他假设，固体中所有的原子，都在他们的平衡位置以频率v振动。他用量子论的平均代替了经典理论平均能量式，即：代替了此可得 (7.4.1)在高温时x1，得到 (7.4.2)这就是杜隆-珀蒂定律，而在低温下，有 (7.4.3)这表明随温度而降

20、低，这趋势与实验结果相吻合。8 普朗克能量量子化的意义从普朗克常数h的发展可看出量子论的发展，普朗克常数h演绎着重要的角色，量子理论的公式无一例外的含有普朗克常数。能量子 ；光电效应方程；微观粒子的波粒二象性；康普顿效应，其中为散射角；德布罗意波长不确定关系 由此可见，微观物理具有两个最基本的特征：其一，微观粒子具有波粒二象性，h起联系微粒波粒二象性的桥梁。其二，微观物理是量子化的，起定性和和定量两个方面的作用。 对于上述量子理论的公式和方程，如果我们使，则有：德布罗意波长 ，即物质没有波动性，这是经典物理的结论；康普顿效应，,即电磁波经物质散射后波长不变的经典结论；不确定关系，则粒子就有准确

21、的位置和动量以上说明，如果，则波粒二象性和量子效应都消失，微观与宏观没有差别，但实际上，h不等于0，使得微观领域上有两个基本特征，但h很小，所以两个特征明显的存在于微观领域，而不存在于宏观领域，由此可见，h起着微观与宏观的分界线的作用10。总结：普朗克抛弃了经典物理学中能量可连续变化、物体辐射或吸收的能量可以为任意值的旧观点，提出了能量量子化，物体辐射或吸收能量只能一份一份的按不联系的方式进行的新观点，这不仅成功的解决热辐射中的难题，而且开创了物理学研究新局面，标志着人类对自然规律的认识已经从宏观领域进入微观领域，为量子力学的诞生奠定了基础。参考文献1徐来自,张雪峰.量子论M.北京:科学出版社

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