斯托克斯公式

1、斯托克斯(stokes)公式 环量与旋度第七节 第十章第十章 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式二、环量与旋度二、环量与旋度三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式有向曲面有向曲面 的正向边界曲线的正向边界曲线 ： 的的正向正向与与 的的侧侧符合符合右手法则，如图右手法则，如图. 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线右手法则右手法则n 设设是光滑或分片光滑的有向曲面是光滑或分片光滑的有向曲面,的的 .闭曲线闭曲线为光滑的或分段光滑的为光滑的或分段光滑的正向边界正向边界 如果函数如果函数上具有上具有及其边界及其边界在在 ),()

2、,(),(zyxrzyxqzyxp一阶连续偏导数一阶连续偏导数, 则则yxypxqxzxrzpzyzqyrdd)(dd)(dd)( zryqxpdddsypxqxrzpzqyrdcos)(cos)(cos)( 或或定理定理10.8斯托克斯托克斯公式斯公式 将将斯斯托克斯公式分为三式托克斯公式分为三式 xzyxpyxypxzzpd),(dddd )1(首先证明第一式首先证明第一式.证明思路证明思路: : 第二类曲面积分第二类曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分二重积分二重积分第二类曲线积分第二类曲线积分 yzyxqzyzqyxxqd),(dddd )2( zzyxrxzxrzyyrd),(ddd

3、d )3(第二类曲面积分第二类曲面积分证证 xzyxpyxypxzzpd),(dddd )1( 的正向边界曲线的正向边界曲线 yxdyxyxfz ),(, ),(:方向为上侧方向为上侧 与平行与平行 z 轴的直线轴的直线只交于一点只交于一点, , cxoy面上的投影为面上的投影为在在.xydc所围成的闭区域为所围成的闭区域为yxypxzzpdddd 左边左边 sypzpdcoscos,1cos22yxyfff coscos fy 故有故有 dcossypfzpy 左边左边yxypfzpydd ),(,yxfyxpy 2211cosyxff yfzpyp dcossypfzpy 左边左边yxyp

4、fzpydd yfzpypyxfyxpy ),(, yxyxfyxpyxyddd),(, xyxfyxpcd),(, yxypxzzpdddd yxypxzzpdddd 即即.上式仍成立上式仍成立也相应改成相反方向，也相应改成相反方向，取下侧，取下侧，若若 注注 成立成立 d),(,xyxfyxpc 成立成立 d),(xzyxp d),(dddd xzyxpyxypxzzp 同理可证其余二式同理可证其余二式: yzyxqzyzqyxxqd),(dddd三式相加可得三式相加可得yxypxqxzxrzpzyzqyrdddddd zryqxpddd zzyxrxzxrzyyrd),(dddd(2)

5、曲面曲面 与平行与平行 z z 轴的直线轴的直线交点多于一个交点多于一个, , 则可通过作辅助线面把则可通过作辅助线面把 分成分成与与z z 轴只交轴只交在每一部分上应用斯托克在每一部分上应用斯托克由于沿辅助曲线方向相由于沿辅助曲线方向相所以对这所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立类曲面斯托克斯公式仍成立. . 于一点的几部分于一点的几部分, ,然后相加然后相加, , 斯公式斯公式, ,反的两个曲线积分相加刚好抵消反的两个曲线积分相加刚好抵消, ,注注 表达了有向曲面上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系. .1 斯托克斯公式斯托

6、克斯公式的的实质实质:2 斯托克斯公式斯托克斯公式便于记忆的形式便于记忆的形式: : yxxzzydddddd zryqxpddd 或或cos cos cos ds.cos,cos,cos指定侧的单位法向量指定侧的单位法向量为为其中其中 nzyx rqp3 斯托克斯公式斯托克斯公式是是格林公式格林公式的推广的推广斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形 是是xoy面上的面上的有向闭区域时有向闭区域时；，上侧，上侧面上的区域面上的区域：事实上，设事实上，设dxoy .，逆时针，逆时针的边界的边界面上的区域面上的区域：ldxoy xyzo n = l zryqxpddd lyyxq

7、xyxpd)0 ,(d)0 ,(xyzo n = l面上的投影为零面上的投影为零面面在在zoxyoz, yxypxqxzxrzpzyzqyrdd)(dd)(dd)( yxypxqdd)(00 yxyyxpxyxqddd) 0 ,() 0 ,( d lyyxqxyxpd)0 ,(d)0 ,(yxyyxpxyxqddd)0 ,()0 ,( 这正是这正是格林公式格林公式. .4何时采用何时采用斯托克斯公式斯托克斯公式？ zryqxpddd当对坐标的曲线积分：当对坐标的曲线积分：的积分曲线的积分曲线 的参数方程不易写出，或用直接法的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用计算较繁时，可考虑用斯

8、托克斯公式斯托克斯公式. 在在斯托克斯公式斯托克斯公式中，中， 是以是以 为边界的为边界的任意任意分片光滑曲面分片光滑曲面(只要只要p，q，r在包含在包含 的一个空的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可间区域内具有一阶连续的偏导数即可).5 如何选取如何选取 ？ 通常，取通常，取 为平面或球面等法向量为平面或球面等法向量的方向的方向余弦易求的曲面余弦易求的曲面.利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算例例1 zyyxxzddd其中其中 为平面为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形被三坐标面所截三角形的的整个边界整个边界, , 它的正方向与这个三角形上侧的法向它的正方向与这个三角

9、形上侧的法向量之间符合右手规则量之间符合右手规则.记三角形域为记三角形域为 , , 取上侧取上侧, , zyyxxzddd解解 yxxzzydddddd zyyxxzddd yxxzzydddddd利用轮换对称性利用轮换对称性 xydyxdd3.23 yxdd3zyx yxz利用利用斯斯托克斯公式托克斯公式计算曲线积分计算曲线积分zyxyxzxzyid)(d)(d )( 222222 10 , 10 , 10:23 zyxzyx截立方体截立方体是用平面是用平面其中其中例例2.,针方向针方向取逆时取逆时轴的正向看去轴的正向看去若从若从的表面所得的截痕的表面所得的截痕ox解解所围的部分，所围的部分

10、，的上侧被的上侧被为平面为平面取取23 zyx31coscoscos 即即 ,1, 1, 131 n的单位法向量的单位法向量所围的部分，所围的部分，的上侧被的上侧被为平面为平面取取23 zyxsid313131 szyxd)(34 sd2334)23,( zyx上上在在 yxxyddd332 xy 6 zyx 222222yxxzzy 438121 xy .的面积的面积为为平面上的投影区域，平面上的投影区域，在在为为其中其中xyxyxydxoyd xyi 6 .29 i 为柱面为柱面与平面与平面 y = z 的交线的交线从从 z 轴正向看为顺时针轴正向看为顺时针, 计算计算.ddd2zxzyx

11、yxyi oz2yx解解(方法方法1) ,0cos sid szyd)(21. 0 则其法线方向余弦则其法线方向余弦,21cos 21cos coscoscoszyx zxyxy2yyx222 例例3设设 为平面为平面 z = y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域且且取下侧取下侧,(方法方法2) 将将 ： zyyyx222参数化：参数化：02:sin1sin1costtztytx oz2yxzxzyxyxyiddd2 ttttttdcos)sin1(cos2)sin()sin1(022 ttttttdcos)sin1(cos2)sin()sin1(022 ttttd)2sinsin4sin3(2

12、023 tu 令令)d( 2)sin()(sin4)(sin323uuuu uuuud2sinsin4sin3(23 uud)2sin4(202 4dsin28202 uu. 0422128 二、环量与旋度二、环量与旋度定义定义 向量场向量场 kzyxrjzyxqizyxpf),(),(),(的第二类曲线积分的第二类曲线积分沿有向闭曲线沿有向闭曲线 rf d.的环量的环量沿曲线沿曲线向量场向量场 f称为称为注注改变改变的环行方向时的环行方向时, ,环量要变号环量要变号. .1. 环量环量 zryqxpddd即即记为记为,rotf,的旋度的旋度向量场向量场f为为定义定义 当函数当函数具有具有),

13、(),(),(zyxrzyxqzyxp一阶连续偏导数时一阶连续偏导数时, 称向量称向量 kypxqjxrzpizqyr)()()(rqpzyxkjif rot2. 旋度旋度由由哈密尔顿哈密尔顿算符算符的定义的定义 f.rotff 总总伴伴随随着着另另一一个个向向量量场场向向量量场场., 0rot为无旋场为无旋场称向量场称向量场若若 ff注注3 利用旋度利用旋度, 可将斯托克斯公式写为可将斯托克斯公式写为 rfsfddrot4 斯托克斯斯托克斯公式的物理解释公式的物理解释: :的环流量的环流量沿有向闭曲线沿有向闭曲线向量场向量场 f等于等于向量向量.所张的曲面的通量所张的曲面的通量的旋度场通过的

14、旋度场通过场场 f.的的侧侧符符合合右右手手法法则则）的的正正向向与与（ 1 2 ozxyl设某刚体绕定轴设某刚体绕定轴 l 转动转动,m 为刚体上任一为刚体上任一点点, , 建立坐标系如图建立坐标系如图, ,则则),(zyxr 角速度为角速度为 , ,r), 0, 0( 点点 m 的线速度为的线速度为rv zyxkji00 )0,(xy 5 旋度的力学意义旋度的力学意义m0 xyzyxkji )2, 0, 0( 2 线速度场中任一点处的旋度线速度场中任一点处的旋度等于刚体旋转角速度的等于刚体旋转角速度的2倍，倍，这就是这就是“旋度旋度”一词的由来一词的由来. vrot除去一个常数因子除去一个

15、常数因子2外，恰好等于物外，恰好等于物体旋转的角速度体旋转的角速度. .m ne内，内，定义在区域定义在区域向量场向量场 f 为为m，为法向量做平面为法向量做平面以以过过 nme内一点，内一点，的的闭闭曲曲线线上上任任取取包包围围在在 m.，满满足足右右手手法法则则所所围围部部分分为为 .a面积为面积为 .e内单位向量内单位向量为为 n根据斯托克斯公式和积分中值定理根据斯托克斯公式和积分中值定理 rfad1 sfadrot1 .m ne rfad1 sfadrot1 sfand)e(rot1.,erot* mfmn收缩收缩向点向点当当m rfamd1lim*erotlimmnmf mnfero

16、t 密度）。密度）。的方向旋量（或环量面的方向旋量（或环量面ne rfamd1limmnferot 称环量对面积的变化率称环量对面积的变化率处沿方向处沿方向在点在点为向量场为向量场mf有关的量，有关的量，方向旋量是一个与方向方向旋量是一个与方向ne与该点与该点当当ne.)(rot取最大值取最大值方向相同时，方向旋量方向相同时，方向旋量的旋度的旋度mf向量场的旋度是一个向量向量场的旋度是一个向量,此向量的方向是使方向此向量的方向是使方向旋量取最大值的方向旋量取最大值的方向, 此方向的模是该点处最大此方向的模是该点处最大方向旋量的值方向旋量的值.三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路

17、径无关的条件径无关的充径无关的充内有向曲线的积分与路内有向曲线的积分与路沿沿则则gzyxf),(连续偏导数连续偏导数定理定理10.9 设空间闭区域设空间闭区域g是一个是一个一维单连通域一维单连通域, 内具有一阶内具有一阶在在函数函数gzyxrzyxqzyxp),(),(),( kzyxrjzyxqizyxpf),(),(),(要条件是要条件是 0rotf即即,yrzq ,zpxr xqyp g内的任一闭内的任一闭曲线总可张曲线总可张一片完全含一片完全含于于g内的曲面内的曲面注注差）可用下式求出：差）可用下式求出：这函数（不计一常数之这函数（不计一常数之的全微分的全微分内成为某一函数内成为某一函

18、数在在表达式表达式,),(dddzyxugzryqxp ,yrzq ,zpxr xqyp 当当成立时成立时 ddd),(),(),(000 zyxzyxzryqxpzyxu或用定积分表示为或用定积分表示为 ),(zyxu.),(),(0000gzyxmgzyxm 内某一定点，点内某一定点，点为为其中其中 xxxzyxp0d),(00 d),(00 yyyzyxq d),( 0 zzzzyxr例例4zyxyxzxzyd)(d)(d)( 与路径无关与路径无关, , 并求函数并求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0( 解解 令令yxrxzqzyp ,

19、1xqyp ,1yrzq ypxr 1验证曲线积分验证曲线积分 积分与路径无关积分与路径无关, , 因此选择特殊路径因此选择特殊路径zyxxy)( yxyd0 zyxzd)(0 zxyzxy xxd00 xzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xzyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0( 例例5 求电场强度求电场强度 rrqe3333rotrqzrqyrqxzyxkjie 的旋度的旋度 . .解解 )0, 0, 0( ( (除原点外除原点外) )这说明这说明, , 在除点电荷所在原点外在除点电荷所在原点外, , 整个电场无旋整个电场无旋.

20、.保守场：保守场：而而与从与从 a 到到 b 的路径无关的路径无关.的的内沿任意曲线弧内沿任意曲线弧在区域在区域向量场向量场abgf abbarf两点的位置有关，两点的位置有关，、只与只与积分积分d，内是无旋场，即内是无旋场，即在在若若 0rotfgf.内是保守场内是保守场在在则则gf内容小结内容小结1. 斯斯托克斯公式托克斯公式yxypxqxzxrzpzyzqyrdddddd zryqxpdddsrqpzyxdcoscoscos 的环量。的环量。沿曲线沿曲线向量场向量场 f. 2 zryqxprfdddd的旋度的旋度向量场向量场f. 3rqpzyxkjif rot kzyxrjzyxqizy

21、xpf),(),(),(4. 向量向量径无关的充要条件径无关的充要条件内有向曲线的积分与路内有向曲线的积分与路沿沿g 0frot即即,yrzq ,zpxr xqyp uuzuyuxu ,grad本章小结本章小结, ),(zyxuu 设设, ),(rqpa 梯度梯度: aazryqxpdiv arqpkjiazyxrot散度散度:旋度旋度:则则1. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念场论中的三个重要定理场论中的三个重要定理 ddyqxpypxqddd)( （1）格林公式）格林公式（2）斯托克斯公式）斯托克斯公式 drffrotdsd（3）高斯公式）高斯公式 svdfdfdiv分分积积线线曲

22、曲本章知识结构图本章知识结构图曲线积分曲线积分第一类第一类 曲线积分曲线积分第二类第二类 、可可加加性性）性性质质（可可积积性性、线线性性性性定义定义、引力）、引力）物理应用（质量、重心物理应用（质量、重心化为定积分）化为定积分）计算方法（用参数方程计算方法（用参数方程、可加性、方向性）、可加性、方向性）性质（可积性、线性性性质（可积性、线性性定义定义 场场沿沿曲曲线线的的环环流流量量力力沿沿曲曲线线运运动动做做功功物物理理应应用用 全全微微分分求求积积积积分分与与路路径径无无关关分分）格格林林公公式式（平平面面曲曲线线积积）计算方法（化为定积分计算方法（化为定积分线线）斯斯托托克克斯斯公公式

23、式（空空间间曲曲分分积积面面曲曲 曲面积分曲面积分第一类第一类曲线积分曲线积分第二类第二类 定义定义、可可加加性性）性性质质（可可积积性性、线线性性性性为为二二重重积积分分）计计算算方方法法（用用投投影影法法化化、引引力力）物物理理应应用用（质质量量、重重心心 定定义义、可可加加性性、方方向向性性）性性质质（可可积积性性、线线性性性性为为二二重重积积分分）计计算算方方法法（用用投投影影法法化化高高斯斯公公式式指指定定侧侧的的通通量量）物物理理应应用用（场场穿穿过过曲曲面面备用题备用题例例1-1 是球面是球面其中其中计算计算,ddd222 zyxzzyyxx在在第第一一卦卦限限与与坐坐标标平平面面2222azyx 相交的圆弧连接而成的闭曲线相交的圆弧连接而成的闭曲线.解解 在球面上，所以在球面上，所以 zzyyxxazyxzzyyxxddd1ddd2222从从x轴正向轴正向看看为逆时针方向为逆时针方向. zzyyxxaddd12zyxzyxyxxzzya dddddd12yxxzzyadd0dd0