高数函数极限

1、欢迎大家来到欢迎大家来到第三军医大学学习、生活！第三军医大学学习、生活！1医学高等数学医学高等数学（ Medical Advanced Mathematics ）数学教研室 罗万春办公室：基础部1061Tel: 771260-801 2本学期的主要内容Ch1 函数 、极限和连续 Ch2 一元函数微分学Ch3 一元函数积分学Ch4 多元函数微积分Ch5 微分方程基础3 医学高等数学医学高等数学的特点的特点多、快、联、难多、快、联、难u多：知识点多、内容多多：知识点多、内容多u快：教学进度快于中学快：教学进度快于中学u联：知识前后联系联：知识前后联系u难：课后习题难难：课后习题难4 学习态度学习态

2、度u积极面对积极面对u勇于克难勇于克难5 学习方法学习方法深入预习、认真听课、及时复习、适当练习深入预习、认真听课、及时复习、适当练习 u深入预习：以深入预习：以“做做”代代“看看”u认真听课：以认真听课：以“说说”促促“听听”u及时复习：以及时复习：以“讲讲”巩巩“知知”u适当练习适当练习 ：以：以“精精”替替“多多”6课终成绩课终成绩=作业、半期、讨论（作业、半期、讨论（30%30%） + + 期末考试（期末考试（70%70%）计算。）计算。 考试要求考试要求期末考试期末考试( (教考分离！教考分离！) )7 第一节 函数（Functions）医学高等数学第一章 第一、二节第二节 极限(1

3、)（Limits）8一、函数的概念 二、复合函数三、函数的几种简单性质四、极限的概念六、极限的四则 运算 91. 掌握复合函数、极限等概念及性质；2. 会分解复合函数；3. 熟练掌握极限的四则运算。复合函数的分解，极限概念的应用。 复合函数，极限概念的理解与应用。 10背景背景引例引例世界人口变化规律分析世界人口变化规律分析 u世界人口数据：世界人口数据：见右表。问题问题世界人口和时间有何关系？11年份人口（百万）1900191019201930194019501960197019801990200016501750186020702300256030403710445052806080人口数

4、据随时间变化的散点图问题的分析问题的分析19001920194019601980200001000200030004000500060007000yearpopulation(millions)Scatterplot12符号表示时间：t人口：p则人口与时间存在关系：p=p(t) 进一步分析：是否存在更明确的关系？19001920194019601980200001000200030004000500060007000yearpopulation(millions)regression曲线拟合0.008079266 1.013731tp 13一、函数的概念定义定义1. 设设 x 和和 y 是同一

5、过程中的两个变量，如果是同一过程中的两个变量，如果对于变量对于变量 x 的每一允许的取值，按照一定的规律，的每一允许的取值，按照一定的规律，变量变量 y 总有一个确定的值与之对应，则称变量总有一个确定的值与之对应，则称变量 y 是是变量变量 x 的的函数函数(function)。变量。变量 x 称为称为自变量自变量(independent variable)，变量，变量 y 称为称为因变量因变量(dependent variable) ，记为，记为 问题1：什么是函数？Dxxfy, )(14DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)(定义域) 定义域 函数的表达方法:公式法、图象法

6、、表格法、使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.例如：书上例1-3一段文字15基本初等函数（六类）（ 见书P4页） 特别地，一些函数对其定义域内的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是需要两个或多个不同的解析表达式，这类函数称为分段函数(piecewise function). 问题2：如何将电话费表示为时间的函数？16二、复合函数二、复合函数 设在定义域U上变量 y 是变量 u 的函数：y=f(u) , 在定义域D上变量u 是变量x的函数： 。如果对变量 x 的某些值，变量 u 的对应值恰在U中，因而能够确定变量 y 的值，则称 y 是 x的复合函数(compound function)

7、，记为)(xu).(xfy 问题3：函数y=sin2x的含义是什么？17;),(Uuufy;),(DxxuUD )(且构成复合函数 ( ) ,yfxxD1. 由函数链注意: )(ufyux)(x ( )yfx18例如, 函数链 :,arcsinuy ,122xuDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .,12arcsin2xy可定义复合函数2. 构成复合函数的条件 不可少. UD )( 为什么？193. 两个以上函数也可构成复合函数.例如, 0,uuy),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv20 技巧：重点抓住对应基本初等函数自变量位置上的形式。4

8、. 能够正确分解复合函数.解：例1 分析函数的复合结构： ) 1, 0( ,2aaayx分解为： ,uay 2xu 21例2 分解复合函数： ) 1lg(arctanxy解： 分解得： ,uy ,arctanvu ,lgwv 1 xw22初 等 函 数 1、基本初等函数(六类)2、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合运算步骤构成的，可用一个解析式表示的函数，叫。 问题4：分段函数是否是初等函数？为什么分段函数是否是初等函数？为什么？23课堂练习课堂练习11(1)cos;yx分解下列复合函数分解下列复合函数1(2)lg(cos);yx1(3)(cos).yfx24三、 函数的几

9、种特性1. 有界性2. 单调性3. 奇偶性4. 周期性（自学，书P5页）25公元前5世纪，古希腊诡辩学派哲学家芝诺（Zeno）提出“追龟说”：让阿基里斯（Achilles，古希腊奥运会中的一名长跑冠军 ）与乌龟赛跑。假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，但让乌龟在阿基里斯前100米处起跑26结结 论论11100 10 110100S 1111917世纪，微积分产生，用世纪，微积分产生，用极限极限才解决这一问题。才解决这一问题。假设假设阿基里斯追上乌龟之前，乌龟所爬的路程为阿基里斯追上乌龟之前，乌龟所爬的路程为无限、无限、 运动、无穷小、运动、无穷小、连续连续阿基里斯虽然越来越逼近乌龟，但阿基里斯虽

10、然越来越逼近乌龟，但永远追不上永远追不上乌龟乌龟27 1 1、 时函数的极限时函数的极限x四、函数的极限四、函数的极限Axfx)(limx的绝对值无限增大时的绝对值无限增大时则则f(x)无限接近无限接近A描述性定义描述性定义则称则称当当x趋于趋于无穷大无穷大时时函数函数f(x)的极限为的极限为A)()(xAxf当或如：如：01limxx28数学语言定义（分析定义）数学语言定义（分析定义）（任意小）（任意小）00N当当|xN时时总有总有|)(|Axf称称Axfx)(lim思考：思考：如何证明如何证明01limxx29oxy)(xfy A几何解释几何解释30当当x的绝对值无限增大时的绝对值无限增大

11、时 则则f(x)不趋于任何常数不趋于任何常数（1）如：如：xysin2xy （2）x趋于正无穷大和趋于负无穷大时，趋于正无穷大和趋于负无穷大时， f(x) 趋于趋于不同常数不同常数2/arctanlimxx2/arctanlimxx3lim xx3limxx 问题5：极限不存在有哪些情形极限不存在有哪些情形？31 2 2、 时函数的极限时函数的极限0 xx （1）函数）函数 在点在点 附近有定义附近有定义0 x)(xfAxfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当（2）x以任意方式无限接近以任意方式无限接近x0则则f(x)无限接近无限接近A描述性定义描述性定义则称则称当当x趋于趋于x0时时函

12、数函数f(x)的极限为的极限为A如：如：4lim22xx32数学语言定义（分析定义）数学语言定义（分析定义） （1）函数）函数 在点在点 附近有定义附近有定义0 x)(xf（2）（任意小）（任意小）00当当|00 xx时时总有总有|)(|Axf称称Axfxx)(lim0课后思考：课后思考：如何证明如何证明 ？4lim22xx33几何解释几何解释0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 34左极限左极限 : :)(0 xfAxfxx)(lim0右极限右极限 : :)(0 xfAxfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00Ax0 xy)(xfy 极限存在的充要

13、条件极限存在的充要条件左右极限定义左右极限定义极限存在的充要条件极限存在的充要条件3. 3. 数列的极限数列的极限（自学，书p9)354.极限存在性判别准则极限存在性判别准则准则准则1（夹逼定理）（夹逼定理）Axfxx)(lim0)(x之间有之间有 若在同一极限过程中，函数若在同一极限过程中，函数)()()(21xfxfxf、),()(21xfxfxf）且且),(lim)(lim2100 xfAxfxxxx)(x)(x36准则准则2（单调有界准则）（单调有界准则）单调有界数列一定有极限。单调有界数列一定有极限。课堂练习课堂练习2222111lim ()12nnnnnn利用极限准则证明利用极限准则证明37（2 2）约分型）约分型求下列极限：求下列极限：211(1)limxxx211(2)lim1xxx2112(3)lim()11xxx2211(4)lim()12xxx 222(5)lim2xxx（1 1）代入型）代入型（3 3）通分型）通