八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）02图4图1方法:a找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）b2c2，求出Rb2 c2，即 2R（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（16B 20C. 24D. 32(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为. 3，则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AMMN，若侧棱SA 2二，则正三棱锥S ABC外接球的表面积是解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 ，证明如下:

2、如图（3） -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD , AE, CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形 ABC的中心， SH 平面ABC , SH AB ,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,7一二丄丄H同理：BC SA, ACSB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图（3） -2 ,AMMN , SB/MN ,AM SB, ACSB,SB平面SAC,SB SA, SB SC,SB SA, BC SA,SA 平面SBC ,SA SC ,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互垂直，(2R)2(2 .3)2 (2 .3)2 (2 .3)2 36，即

3、 4R2 36,外接球的表面积是36(4)在四面体S ABC中，SA 平面ABC ,BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为()A.11B.7d.403(5 )如果二棱锥的二个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是(6 )已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为 贝U该几何体外接球的体积为 1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形,类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, PA平面ABC解题步骤：第一步:将 ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心0 ；第二步:

4、Oi为ABC的外心，所以OOi 平面ABC，算出小圆径OiDr （三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理，得asin A12pa ；b c2r)，OOi sin B sin C第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2(2r)22RPA2 (2r)2 ；R2r2 OO12R ,r2 OOi2Pp图8-102DBO图8-3h （也是圆锥的高），解出R.解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取 ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆 Oi的半径AOi r，再算出棱锥的高 POi第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r2方法二：小圆直径参

5、与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为16A. 3B. 2C.D .以上都不对3类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2图9-3图9-4BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC 2r ；第二步：在PAC中，可根据正弦定理asin Absin B2R，求出R。sin C2 .如图9-2，平面 PAC平面ABC，且ABBCOC2O1C2 O1O2R2r2 O1O2AC3 .如图9-3，平面 PAC平面ABC，且ABBC(即AC为小圆的直径)2R2OQ2(即AC为小圆的直径)，

6、且P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心01，则PQOj三点共线；第二步：先算出小圆 Oi的半径AOi r，再算出棱锥的高 POi h (也是圆锥的高)第三步：勾股定理：OA2 OiA2 OiO2R2 (h R)2 r2，解出R4 .如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且PA AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)22R . PA2 (2r)2 ;2 2 2 '2 2 R r

7、OO1 R r OO1例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2<3，则该球的表面积为 (2 )正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(3)在三棱锥P ABC中，PA PB PC .3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为()4A.B.C. 4D.33(4)已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 O的求面上，ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且 SC 2;则此棱锥的体积为()逅証42V2A.B.C.D.6632类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）CAOBAiCi

8、O2BiO图 10-1CiA1BOABOi-ACBiOAOiBO2图 I0-2图 I0-3题设：如图io-i，图I0-2，图I0-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心 O的位置，Oi是 ABC的外心，则OOj平面ABC ；11第二步：算出小圆 Oi的半径AOi r , OO1AAh （ AAi h也是圆柱的高）;222222 h 22'2 h 2第三步：勾股定理： OA O1A O1OR （?） r R f （），解出R例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱

9、柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为8（2） 直三棱柱ABC ABQ1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120，则此球的表面积等于 。（3） 已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60，则多面体E ABCD的外接球的表面积为。（4） 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB 4, AC 6, A,AA 4则直三棱柱 ABC A1BQ1的外接球3的表面积为。类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）图11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和

10、 ABD的外心 已和H?；第二步：过H1和H?分别作平面BCD和平面A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 0 ,连接OE,OC ；第三步：解 0EH1，算出0H1，在Rt OCH1中，勾股定理： OH； CH； 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC，PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为.类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB CD，AD BC，AC BD） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c，AD BC x，AB

11、 CD y，AC BD z，列方程组，2ab22cb22c2a2x2y2z(2R)2 a2b2 c2补充:VaBCDabc6abc14 abc3第三步：根据墙角模型,2R.a2b2c2R22 2 2x y z，求出R，8例如,正四面体的外接球半径可用此法。例6( 1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个题截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()3、3b.tC.12(3 )在三棱锥ABCD中，若ABCD2, ADBC 3, AC BD 4,则三棱锥

12、A BCD外接球的表面积为。(4 )在三棱锥 A BCD中，AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积 为.(5)正四面体的各条棱长都为-2，则该正面体外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型题设： APB ACB 90 ,0P,0C，贝U 0A OB 0CC求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点0,连接OP - AB20为三棱锥P ABC外接球球心，然后在0CP中求出半径）例7 （1）在矩形ABCD中，AB 4,BC沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D ,则四面体ABCD的外

13、接球的体积为（125125A.B.-129(2)在矩形 ABCD 中，AB 2 , BC125125D.633,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥 A BCD的外接球的表面积为 类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求 DH -BD，PO PH r，PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 坐，解出rDH PD2 题设：如图15，四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；1第二步

14、：求FH BC , PO PH r , PF是侧面 PCD的高；2OG po第三步：由 POG相似于 PFH，建立等式：，解出HF PF3 题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等图14第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步：设内切球的半径为r，建立等式： V ABCabcVoPABPACVo PBC1Vp ABC S ABC r3111Spab r Spac r Spbc333_ ( S ABC3S PABSpacS pbc ) r第三步：解出3VP ABCSo ABCSo PABSo pacSo pbc习题：1 若三棱锥SA. 3ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA 2 ,B.6C.36D.9SB SC4,则该三棱锥的外接球半径为 (.3的正三角形，SA 2 < 3，则该三2 三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面ABC是边长为棱锥的外接球体积等于 .3 .正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为 3的正三角形，侧棱长为 2，则该三棱锥的外接球体积等于.4 三棱锥P