(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准

1、1高等数学(A) 06-07-3 期中试卷参考答案及评分标准填空题(本题共 5 5 小题，每小题 4 4 分，满分 2020 分)1 1 .曲线xyz 1在点(1,1,1)处的切线方程为y 1M ;x y232 2.方程xyz x2y2、2所确定的函数z z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分为dz dx 2dy；交换二次积分的积分次序0idy21 yf (x, y)dx2 01dx1 xf(X,y)dy;4 4. 设曲线C : x cost, ysin t, z、3,0 t，则c x2y2z2ds5 5.设曲面：x1，则b(xy)ds加.二.单项选择题(本题共4 4 小题，每小题4 4

2、 分，满分 1616 分)6 6设f(z) 2xy i x2那么D (A)(A)f (z)在原点解析(B(B) )f(Z)在复平面上处处不可导(C)(C)f (z)仅在原点可导(D)(D)f (z)仅在实轴上可导cos7 7.二次积分d0f(cos,sin)d可以写成1(A)ody1(C)dxy y2010f(x, y)dyf(x, y)dx1/ y2(B)0dy0f(x, y)dx14 X X2(D)0dx0f(x, y)dy& &设由3x2y2乙z 1 x2所围成,f(x,y,z)dvC 1(A)42dx01 4x21 x20dy3x2y2f (x, y,z)dz(B(B)

3、12 dx0i! 4x2Rdy1 x23x2y2f (x, y,z)dz1(C)21dx2-h 4x21 x21 4x2 dy3x2y2f (x, y, z)dz(D(D)1 4x23x21 x2y2f(x, y, z)dz2 2xy9.9.函数f (x,y)x4y20 x2x2(A(A )连续且偏导数存在y2y2在(0, 0)点处(B(B)连续但偏导数不存在2423(C C)不连续但偏导数存在(D D)不连续且偏导数不存在三. .计算下列各题( (本题共 5 5 小题，每小题 8 8 分，满分 4040 分) )1010.设f (x,y),g(x,y)有连续的二阶偏导数，令(x) f(x,g

4、(x,x2)，求dx11.11.求函数u z2、.x22y2在点M01,1,1处沿曲面2方向上的方向导数.6 ,6- 1 2 26333 3 3f (i). .解dx1f2 2xg2)(3 3 分)d2dx21122f12(g12xg2) f22 2xg2) f2(g1124xg124x g222g?) (5 5 分)u(M。)2 2xz2yz2222，22，2z x 2yx22y2x22y2M(3(3 分)MoM1 1 1o,n4 2 2M(2(2 分)1212.已知解析函数f (z)的虚部v(x, y)2xy eysin x, ,求实部u(x, y)及解析函数f (z)和-2x yy e

5、sin x,ux2ycosx ( y), (2 2 分)ycosxv(y)2yeycosx,(y)y2C,u(x, y)ye cos x(3分)f(z)z2C, ( 2 2 分)f (i)2 e1i(1(1 分)13.13.计算zdv，其中(x, y,z)R32z. .解原式= =2 -2sin0cos2cosdcosr3dr( 5 5 分)152cos5sin0(3(3 分)1414.计算(x2y2)dx2xydy，其中L是由极坐标方程2 sin所表示的曲线上从2y271在该点的外法线Mo.6.6 (3 3 分)2440 0到 2 2 的一段弧. .解P2x2y ,Q2xy,2x2yPP，积

6、分与路径无关，y（3 3 分）du d13-x2xy，（2 2 分）(x22y )dx2xydy】x32xy(0,1)(2,0)-（3 3 分）3L33四（1515）.（本题满分 9 9 分）在平面3x 2z 0上求一点，使它与点A（1,1,1）及点B（2,3,4）的距离平方之和为最小. .2 2 2 2 2 2解令L （x 1） （y 1） （z 1） （x 2） （y 3） （z 4）（3x 2z）， （ 3 3 分）Lx2(2x 3) 30, Ly2(2 y 4)0, Lz2(2z 5) 2216321223即为所求( (3 3 分)1 26解 设质心坐标为（x , y），由对称性知y0

7、，（ 1 1 分）平板区域的极坐标表示为:a(1 cos ), ,( 2 2 分)五（1616）（本题满分 9 9 分）设在xoy平面上有薄板x2y2a(.x2y2x)( (其中常数a 0），其面密度为|y|2 2x y，求此薄板的质心坐标Myxyd2 2d.x y202cossina(1 cos2d22sin0a(1质心坐标为39a,0. .40(1(1 分)六（1717）. .（本题满分6 6 分）设函数z对任意常数C, ,f （x, y）(fy)2fxx2fXfyfXycos )d， （2 2 分）f （x, y）具有二阶连续偏导数，且C为一直线的充分必要条件是fyy(fx)20y0，证明:0，（ 3 3 分）得唯一驻点的坐标:212,z広，由问题的实际意义知道，该问题一定存在最小值，故点证由题设条件知，由方程f(x, y) C唯一确定了二阶可导函数y y(x)，从而得知:5