第四章 应力应变关系

1、4.1 4.1 广义胡克定律广义胡克定律4.2 4.2 弹性常数之间的关系弹性常数之间的关系4.3 4.3 弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数第四章第四章 应力应变关系应力应变关系4.1 广义胡克定律广义胡克定律应力应变关系属于材料的性能，称为应力应变关系属于材料的性能，称为物理方程或物理方程或者本构方程者本构方程复杂应力状态复杂应力状态的应力应变关系难以通过试验确定的应力应变关系难以通过试验确定单向拉伸与纯剪应力应变关系可以通过试验确定单向拉伸与纯剪应力应变关系可以通过试验确定: 波松比由试波松比由试 验确定验确定 xyxxyxE xxxExxE或或单向应力状态单向应力状态的应力应变关系的

2、应力应变关系纯剪应力纯剪应力状态的应力应变关系状态的应力应变关系MnGG或G:剪切弹性模量剪切弹性模量2(1)EG22()1()1xxyyyyxE1()1()yxxxyyxyyxEEEEEEyx双向应力状态双向应力状态的应力应变关系的应力应变关系1()1()2yxxxyyxyyxxyxyxyxyEEEEEEGG22()1()12xxyyyyxx yx yx yEGG yxyxxy平面应力状态平面应力状态的应力应变关系的应力应变关系1()1()1()222yxzxxyzyxzyyxzyxzzzxyxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxEEEEEEEEEEEEGGGGGG 一般应力状态一

3、般应力状态的应力应变关系的应力应变关系1(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)xxxyxyyyyzyzzzzxzxEEEEEE 112(1)2EGGE 引入：引入：xyz (体积应力体积应力)从正应力应变关系中可得到从正应力应变关系中可得到 (1)(1)(1)xxyyzzEEE ()211()211()211xxxyyyzzzEGEEGEEGE反过来有应力表达式反过来有应力表达式则有则有体积应力与体积应变体积应力与体积应变之间的关系之间的关系3123EKK 或式中式中K为材料常数，为材料常数，312EK为体积应变，为体积应变，xyz另一方面另一方面(1)(1)(1)xxyyzzEEE (1)

4、-3(12)E将将 代入应力表达式有代入应力表达式有式中式中 称为称为Lame 常数常数31112(1)(12)EEK3K 223211223211223211xxxxyyyyzzzzGGKGGGKGGGKG 整理应力应变关系整理应力应变关系222xxxyyyzzzGGG222xyxyyzyzzxzxGGG3xyzkkm2ijkkijijG 由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达弹性体变形过程的功与能弹性体变形过程的功与能能量守恒是一个物理学重要原理，利用能量原理能量守恒是一个物理学重要原理，利用能量原理可以使得问题的分析得到简化可以使得问题的分析

5、得到简化 能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理 推导。推导。 在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态的称为平衡状态。如果宏观性质的变化足够缓慢，以状态的称为平衡状态。如果宏观性质的变化足够缓慢，以致系统在每一瞬时都看作出于平衡状态，则称为准静态过致系统在每一瞬时都看作出于平衡状态，则称为准静态过程。每一步都能反向重演的过程称为可逆过程，否则称为程。每一步都能反向重演的过程称为可逆过程，否则称为不可逆过程。不可逆过程。 关于物质系统的几个简单概念关于物质系统的几个简单概念: 与外界交换能量（

6、热量或机械功）和质量是导致系统与外界交换能量（热量或机械功）和质量是导致系统状态发生变化的外部原因。与外界既无能量交换又无质量状态发生变化的外部原因。与外界既无能量交换又无质量交换的系统称为孤立系统。与外界没有质量交换的系统称交换的系统称为孤立系统。与外界没有质量交换的系统称为封闭系统。为封闭系统。dA热力学第一定律热力学第一定律封闭系统中总能量的增量（包括动能增量封闭系统中总能量的增量（包括动能增量 和内能增和内能增量量 ）等于外力对系统所做的功）等于外力对系统所做的功 和系统从外界吸和系统从外界吸收的热量收的热量 之和，也就是能量守恒定律之和，也就是能量守恒定律：dK + dU = dA

7、+ dQdQdUdK若若 ，则系统与外界无热交换，称为绝热过程，则系统与外界无热交换，称为绝热过程， 如如系统的与外界有充分的热交换，则系统温度保持不变，称系统的与外界有充分的热交换，则系统温度保持不变，称为等温过程。热力学第一定律阐明了热力学过程必须满足为等温过程。热力学第一定律阐明了热力学过程必须满足的能量关系。的能量关系。（动能和内能是状态量；外力功和供热量是过程量）（动能和内能是状态量；外力功和供热量是过程量）d Q= 0 0温度表示法温度表示法绝对温标绝对温标摄氏温标摄氏温标华氏温标华氏温标 KCt FtF其中其中15.273t热力学第二定律热力学第二定律热力学第二定律中涉及一个重要

8、的状态量：温度热力学第二定律中涉及一个重要的状态量：温度T与熵与熵S熵是热力学系统的一个状态函数。熵是热力学系统的一个状态函数。熵的定义为熵的定义为：或或 ， 为系统从外界吸收的热量为系统从外界吸收的热量, T 指外界的绝对温度。指外界的绝对温度。dS=dQ/Td Q 用一个具体的实际热过程来描述热力学第二定用一个具体的实际热过程来描述热力学第二定律，可以有很多表述法，被大家普遍采用的所律，可以有很多表述法，被大家普遍采用的所谓热力学第二定律的经典描述，是谓热力学第二定律的经典描述，是1850年由克年由克劳修斯和劳修斯和1851年开尔文分别提出的：年开尔文分别提出的：v开氏描述：不可能从单一热

9、源吸收热量，使开氏描述：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用的功而不引起其它变化，即第之完全变为有用的功而不引起其它变化，即第二类永动机是不可能造成的。二类永动机是不可能造成的。v克劳修斯描述：不可能把热量从低温物体传克劳修斯描述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。到高温物体而不引起其它变化。热力学第二定律的经典描述：热力学第二定律的经典描述：对于绝热过程对于绝热过程 dQ = 0， dA - dK= dU物体的弹性变形过程是一个可逆过程，可逆过程物体的弹性变形过程是一个可逆过程，可逆过程可分解为多个绝热过程与等温过程。可分解为多个绝热过程与等温过程。 对于静态过程对于

10、静态过程 dK= 0，则，则 dA = dUiiiiVSdududAfdVTdSdtdtdtiiijijVSdudufdVldSdtdt,()iiiijjVVdudufdVdVdtdt,()i jiij jiijVVfu dVudVijjiVdUdVdt内能为物体的应变能，由内能为物体的应变能，由()ijijVddUdV dtdt这样有：这样有：ijijW （2）则则dWdWdijijijij得单位体积的应变能得单位体积的应变能 W()ijijijijWdW（1）对于等温过程对于等温过程 dQ = T dS = d( T S)dA - dK= dU dQ = d(U- T S)= dFF= U

11、- T S 物体物体系统的自由能系统的自由能ijijW()ijijijijWdW仍成立。仍成立。因此，因此，对于弹性过程，它是一个可逆过程，对于弹性过程，它是一个可逆过程，S=0对于静态过程对于静态过程 dK= 0，则，则 dA = dF（2）应变能在数值上等于外力对物体所作的功，）应变能在数值上等于外力对物体所作的功，( )ijijijijWdeese=()ijijijijW且且（4）且应力与应变存在一一对应的函数关系。且应力与应变存在一一对应的函数关系。（3）应力与应变存在着函数关系应力与应变存在着函数关系;结论结论:（1）存在应变能函数）存在应变能函数ijijklklC对于对于 取一阶近

12、似：取一阶近似：()ijij 广义胡克定理广义胡克定理材料应力应变关系材料应力应变关系展开上式，对于展开上式，对于ijklC11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=61112132223331111 1112 2213 3314 2315 1316 122221 1122 2223 3324 2325 1326 123331 1132 2233 3334 2335 1336 122341 1142 2243 3344 2345 1346 121351 1152 225CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC3 3354 2355 1356 121261 1162

13、2263 3364 2365 1366 12CCCCCCCCC展开上式展开上式ijijklklC111213141516111121222324252622223132333435363333414243444546232351525354555613136162636465661212CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC写成矩阵的形式写成矩阵的形式 D22ijklijklklijklijWWsseeeeee抖=抖抖抖故 有所以所以 是对称的矩阵。是对称的矩阵。 ijklC即即ijklklijCC=因为因为()()ijijijijWesee=ijklklC各

14、向同性材料：各向同性材料：完全各向同性完全各向同性正交各向异性材料：在正交各向异性材料：在3个坐标轴方向上对个坐标轴方向上对称称各向异性材料：各个方向都不同性各向异性材料：各个方向都不同性对于金属材料有：对于金属材料有：各向同性材料，正交各向异性材料，各向异性材料。各向同性材料，正交各向异性材料，各向异性材料。存在十三个弹性常数具有一个对称具有一个对称面的材料：面的材料：不同材料其弹性常数的简化不同材料其弹性常数的简化x1x3x2ox1-x3x2ox3 = - | x3 |当当 x3 = -| x3 | 时，时， u3 = - | u3 | 有有3321232323131313323122uu

15、uuxxxxgeggeg抖抖=+= -=+= -抖抖为使为使 不变，不变， 的系数须为零。的系数须为零。( )ijWe1323gg1111 111222133316 122221 112222233326 123331142315 13242325 13342335 1341 11422243113222333336 12234423346 1251 115222345 13135CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC542355 131261 1162226333633356 126423656 1213CCCCCCCCC存在十三个弹性常数具有一个对称具有一个对称面的材料：面

16、的材料：x1x3x2ox1-x3x2ox3 = - | x3 |存在十三个弹性常数具有一个对称具有一个对称面的材料：面的材料：不同材料其弹性常数的简化不同材料其弹性常数的简化x1x3x2ox1x3x2ox3 = - | x3 | 1112131622232633364445556600000000CCCCCCCCCDCCCC相互垂直的三个相互垂直的三个平面中有两个弹平面中有两个弹性对称面，第三性对称面，第三个必为弹性对称个必为弹性对称面面正应力仅与正应正应力仅与正应变有关；切应力变有关；切应力仅与对应的切应仅与对应的切应变有关。变有关。两个弹性对称面两个弹性对称面 九个弹性常数九个弹性常数 1

17、11213222333445566000000000000CCCCCCDCCCx3x2ox1-x1-x3x2ox3 = - | x3 |x1 = - | x1 | 物理意义物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。 数学反映应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。 金属材料各向同性弹性体，是最常见的工程材料。 弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体各向同性弹性体本构方程, , G称为称为拉梅拉梅（Lame）弹性常数弹性常数各向同性材料广义胡克（各向同性材料广义胡克（ Hooke ）定律）定律222xxxyyyzzzGGG222xyxyyzyzzxzxGGG3xyzkk

18、m式中：式中：根据正交各向异性本构关系根据正交各向异性本构关系 各向同性材料沿各向同性材料沿 x，y 和和 z 座标轴的的弹性性质相同；座标轴的的弹性性质相同；1.弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关。弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关。222xxxyyyzzzGGG222xyxyyzyzzxzxGGG 写成张量的形式写成张量的形式2ijijijG应力表示的本构方程应力表示的本构方程11()(1)11()(1)11()(1)xyxxyzxxyyzyyxzyyzxzzzxyzxzEEGEEGEEG E: 为弹性模量G:为剪切弹性模量: 为横向变形系数泊松比2(1)EG11()(1)11()(1)11()(1)xyxxyzxxyyzyyxzyyzxzzzxyzxzEEGEEGEEG 写成张量的形式写成张量的形式32