多元函数极限与连续学习教案

1、会计学1多元函数极限与连续多元函数极限与连续第一页，编辑于星期一：十八点 四分。2定义 设DRn为函数f的定义域，P0为D的一个聚点。如果M0,P0的一个空心邻域使当PD时,则称f在D上当PP0时，存在非正常极限+，记作),(0无穷小量的定义与性质.第1页/共30页第二页，编辑于星期一：十八点 四分。3命题： 设DRn,f:DR.点P0(x0,y0)Rn是D的一个聚点(P0D),AR.P(x,y) D第2页/共30页第三页，编辑于星期一：十八点 四分。4|),(|Ayxf有时使当，MyxM,|0, 0, 0, 0第3页/共30页第四页，编辑于星期一：十八点 四分。5性质:(1)四则运算法则(2

2、)归结原理(3)唯一性、局部有界性、局部保号性(3)无穷小量性质第4页/共30页第五页，编辑于星期一：十八点 四分。6如何求多元函数的极限？（1）由定义求多元函数的极限。例1 证明:证明:例2 证明:第5页/共30页第六页，编辑于星期一：十八点 四分。7例3 证明:证明：第6页/共30页第七页，编辑于星期一：十八点 四分。8此时，第7页/共30页第八页，编辑于星期一：十八点 四分。9(2)利用极限的四则运算和复合运算求极限.(经变形后)第8页/共30页第九页，编辑于星期一：十八点 四分。10第9页/共30页第十页，编辑于星期一：十八点 四分。11(3)化为一元函数求极限.如第10页/共30页第

3、十一页，编辑于星期一：十八点 四分。12(4)应用代换x=rcos,y=rsin(0r0,y0.于是第13页/共30页第十四页，编辑于星期一：十八点 四分。15例 求解：所以第14页/共30页第十五页，编辑于星期一：十八点 四分。16可设2x4,|y|8.第15页/共30页第十六页，编辑于星期一：十八点 四分。17第16页/共30页第十七页，编辑于星期一：十八点 四分。18第17页/共30页第十八页，编辑于星期一：十八点 四分。19第18页/共30页第十九页，编辑于星期一：十八点 四分。20第19页/共30页第二十页，编辑于星期一：十八点 四分。21二、多元连续函数 定义 性质（局部性质与有界

4、闭集上的连续函数的性质） 一致连续 有界闭区域上连续函数的性质第20页/共30页第二十一页，编辑于星期一：十八点 四分。22(二)多元函数连续的定义定义 设f 是定义在点集DRn上的n元函数，P0D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。若0,=(P0, )0,只要PU(P0,) D,就有则称f关于集合D在点P0连续，简称f在点P0连续。若P0是D的孤立点，则P0必为f关于D的连续点;第21页/共30页第二十二页，编辑于星期一：十八点 四分。23若P0是D的聚点,则f在P0点连续，要求满足：(1)f在P0点有定义f(P0);(2)(3)若f在D上每一点都连续，则称f在D上连续。如果P0是D的

5、聚点，而不成立，则称P0是f的不连续点（或间断点）。特别，当上式左端的极限存在但不等于f(P0),称 P0是f的可去间断点。第22页/共30页第二十三页，编辑于星期一：十八点 四分。24而及所以第23页/共30页第二十四页，编辑于星期一：十八点 四分。25在定义域上连续第24页/共30页第二十五页，编辑于星期一：十八点 四分。26证明: (1)f在R2上有界；（2）f在R2上一致连续。证明：由于存在M0,使当rM时有 而当x2+y2M2,在此有界闭区域上,连续函数f有界，即 取W=max|A|+1,K,则第25页/共30页第二十六页，编辑于星期一：十八点 四分。27（2）当在有界闭区域上函数f一致连续。再证f 在R上一致连续.),(),(2211yxfyxf第26页/共30页第二十七页，编辑于星期一：十八点 四分。28),(),(2211yxfyxf从而,f 在R上一致连续.第27页/共30页第二十八页，编辑于星期一：十八点 四分。29证明： P0(x0,y0)G，由于f对x连续，G是开集，从而存在U(P0,)G,从而f(x,y0)在x0连续，于是0,1