樊昌信数字通信第二章

1、第二章 信号2.1 信号的类型2.1.1 确知信号和随机信号确知信号和随机信号u什么是确知信号什么是确知信号u什么是随机信号什么是随机信号l 确知信号的类型确知信号的类型n按照周期性区分：u周期信号： T0信号的周期， T0 0 u非周期信号n按照能量区分：u能量信号：能量有限，u功率信号：p归一化功率：p平均功率P为有限正值：n能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于 tTtsts),()(0dttsE)(022/2/2)(1limTTTdttsTP2222/IVRIRVP能量信号和功率信号能量信号和功率信号u信号的功率信号的功率: 设设 R = 1, 则则 P = V2/R = I2R =

2、 V2 = I2u信号的能量：设信号的能量：设S代表代表V或或I，若，若S随时间变化，则写为随时间变化，则写为s(t), 于是，信号的能量于是，信号的能量 E = s2(t)dtu能量信号：满足能量信号：满足 u平均功率：平均功率：，故能量信号的，故能量信号的P = 0。u 功率信号：功率信号：P 0 的信号，即持续时间无穷的信号。的信号，即持续时间无穷的信号。u能量信号的能量有限，但平均功率为能量信号的能量有限，但平均功率为0。u功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。/22/21lim( )TTTPs t dtT20( )Es t dtl1、“归一化

3、能量归一化能量”和和“能量信号能量信号”的概的概念念l为了分析简便、统一，我们令负载为为了分析简便、统一，我们令负载为1欧欧姆，这样无论是姆，这样无论是f(t)是电压还是电流，其作是电压还是电流，其作用在负载上的能量都可记为用在负载上的能量都可记为能量谱密度和功率谱密度称为归一化能量,)(2dttfE若一个信号的归一化能量不是无穷大，若一个信号的归一化能量不是无穷大，则称之为能量信号，如单个门函数则称之为能量信号，如单个门函数t2、 “功率信号”和“归一化功率”的概念l若一个信号的在整个时间域内的能量是无若一个信号的在整个时间域内的能量是无穷大的，则称之为功率信号，如方波穷大的，则称之为功率信

4、号，如方波l其平均功率为其平均功率为称为归一化功率,)(lim2/2/2TdttfSTTTTdttfStfT02)(,)( 则为周期信号若3、巴塞伐尔(Parseval)定理)(tf若能量信号，则)(FdFdttf22)(21)(即信号能量即信号能量E)(),()(tftf且肯定也是功率信号为周期信号若，则)(FNnTTCdttfT22/2/2000)(1即信号功率即信号功率S如果用语言描述巴塞伐尔定理就是：l一个能量信号的能量一个能量信号的能量 等于等于 n信号的付立叶变换的模值的平方付立叶变换的模值的平方在频率域内的积分，再除以2l一个周期（功率）信号的功率一个周期（功率）信号的功率 等于

5、等于n信号的各级付立叶级数的模值的平方付立叶级数的模值的平方和上面红色字体描述的内容体现了能量（或功率）在频率域的分布的情况，于是，我们引入“能量（或功率）谱密度”的概念4、能量谱密度)(tf若能量信号，则)(F2| )(|)(Ftf的能量谱密度为定义dGEGEE)(21, )(并且有记为5、功率谱密度)(),()(tftf且肯定也是功率信号为周期信号若，则)(F)(|2)()(02nCPtfnnS的功率谱密度为定义这样定义的目的主要是使这样定义的目的主要是使E和和S的表达式形式上的统一的表达式形式上的统一可写成功率信号的功率定义式由上面的SPs,)(dPSS)(21小结(对比表格)能量能量(

6、或功率或功率)谱密度谱密度能量信号能量信号功率信号功率信号dFE2)(212| )(|FNnCS2)(|202nCnn周期函数的付立叶变换与功率谱密度的区别)(2:0nCnn周期函数的付立叶变换)(|2)(02nCPnnS功率谱密度为二者最明显的区别为：付立叶变换可能是复数二者最明显的区别为：付立叶变换可能是复数;而功而功率谱密度一定是实数。率谱密度一定是实数。另外，付立叶变换通常不考虑单位，而功率谱密度另外，付立叶变换通常不考虑单位，而功率谱密度的单位是的单位是(瓦瓦/Hz)例2.1下列信号哪些是能量信号，哪些是功率信号，分别求出其归一化能量（或功率）及谱密度秒的单一门函数宽度为一个高度为1

7、01,)2(0008cos2000cos) 1 (ttA必为功率信号为周期函数解,0008cos2000cos) 1 (:ttA0006cos00010cos2A0008cos2000costtttA)(46000cos210000cos2122/2/2000瓦根据归一化功率定义AdttAtATSTT例2.1（续）进行付利叶级数展开对0006cos00010cos2Att0,453均为而其他的可得nCACC)(|2)(02nCPnnS功率谱密度为/Hz)()5(16)3(16 )5(16)3(16202020202瓦AAAA42200020A肯定为积分后除以可以证明对上式在频域注：例2.1（续

8、）所以这是能量信号的总能量此门函数在整个时域中10110)()2(2102dttDEs)(tD)2(Sa)2()(SaF22)2()()(SaFGE 其能量谱密度)/()5(100)210(1022HzSaSa焦耳2.2 确知信号的性质2.2.1频域性质频域性质n功率信号的频谱：设功率信号的频谱：设s(t)为周期性功率信号，为周期性功率信号，T0为周期，则有为周期，则有式中，式中， 0 = 2 / T0 = 2 f0 C(jn 0)是复数，是复数， C(jn 0) = |Cn|ej n式中，式中，|Cn| 频率为频率为nf0的分量的振幅；的分量的振幅； n 频率为频率为nf0的分量的相位。的分

9、量的相位。u信号信号s(t)的傅里叶级数表示法：的傅里叶级数表示法： 2/T2/Ttjn00000dte) t ( sT1)jn(Cntjn00e)jn(C) t ( s【例2.1】 试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V 求频谱： t)Tt ( f) t ( f) 2/T(t2/02/t2/V) t ( f2nsinTnV2jneeTVejnVT1dtVeT1)jn(C0002/jn2/jn2/2/2/2/tjn0tjn00000频谱图频谱图u【补充例】试求图2-3所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1) ：因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。 T-Tt

10、0Vs(t)tTtstsTttVts),()(, 00,)(TnjnfjtnfjtnfjnenjVnfjeTVenfjVTdtVeTC/202020021221211000【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为求频谱：信号的傅里叶级数表示式：ttftftttf)1()(10)sin()(10222/2/00) 14(2)sin()(1)(000ndtetdtetsTjnCntjTTtjn1f(t)tnntjentf221412)(由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。n能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度设一能量信号为设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：，则其频谱

11、密度为：S( )的逆变换为原信号：的逆变换为原信号：【例【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：dtetsStj)()(deStstj)()(2/02/1)(tttg2/) 2/sin()(1)(2/2/2/2/jjtjeejdteG矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/ ) Hz。【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。解：抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱密度为：和上

12、例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。ttsin) t (Sa其他处011sin)(dtettSatj【例2.5】试求单位冲激函数及其频谱密度。 解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是： (t)的频谱密度：00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftjuSa(t)Sa(t)及其频谱密度的曲线：及其频谱密度的曲线：u 函数的物理意义：函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1 1的脉冲。的脉冲。u用抽样函数用抽样函数Sa(t)表示表示 函数：函数：Sa(t)

13、Sa(t)有如下性质有如下性质当当 k k 时，振幅时，振幅 ， 波形的零点间隔波形的零点间隔 0 0，故有故有 1)(dtktSakttt)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)0u 函数的性质函数的性质p对对f(t)的抽样：的抽样：p 函数是偶函数：函数是偶函数：p 函数是单位阶跃函数的导数：函数是单位阶跃函数的导数：u能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱和周期性功率信号的频谱C(jn 0)的区别的区别:pS(f ) 连续谱；连续谱； C(jn 0) 离散谱离散谱pS(f )的单位：的单位：V/Hz； C(jn 0) 的单位：的单位：VpS(f )在一

14、频率点上的幅度无穷小。在一频率点上的幅度无穷小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00dttttftf)()()(00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu当当t10图2.2.6 单位阶跃函数【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-19)，上式可以改写为u引入引入 (t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0

15、000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 频谱密度(a) 波形n能量谱密度能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号的频谱密度，为S(f )，则由巴塞伐尔定理得知：上式中|S(f )|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：式中，G(f )|S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。uG(f )的性质：因的性质：因s(t)是实函数，故是实函数，故|S(f )|2 是偶函数，是偶函数，dttsE)(2dffSdttsE22)()(dffGE)(0)(2dffGEn功率谱密度功率谱密度令s(t)的截短信

16、号为sT(t)，-T/2 t T/2，则有定义功率谱密度为：得到信号功率：dffSdttsETTTT22/2/2)()(2)(1lim)(fSTfPTTdffPdffSTPTTTT)()(1lim2/2/22.2.2 时域性质n自相关函数自相关函数u能量信号的自相关函数定义：能量信号的自相关函数定义：u功率信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：u性质：性质：pR( )只和只和 有关，和有关，和 t 无关无关p当当 = 0时，能量信号的时，能量信号的R( )等于信号的能量；等于信号的能量； 功率信号的功率信号的R( )等于信号的平均功率。等于信号的平均功率。dttstsR)()()(2

17、/2/)()(1lim)(TTTdttstsTRn互相关函数互相关函数u能量信号的互相关函数定义：能量信号的互相关函数定义：u功率信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：u性质：性质：p1. R12( )只和只和 有关，和有关，和 t 无关；无关；p2. 证：令证：令x = t + ，则，则 ,)()()(2112dttstsR2/2/2112,)()(1lim)(TTTdttstsTR)()(1221 RR)()()()()()()()(1221121221RdxxsxsdxxsxsdttstsR2.3 随机信号的性质2.3.1 随机变量的概率分布随机变量的概率分布n随机变量的概念：

18、若某种试验随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用的随机结果用X表示，则称此表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为为一个随机变量，并设它的取值为x。 例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。随机变量。n随机变量的分布函数：随机变量的分布函数：u定义：定义：FX(x) = P(X x) u性质：性质： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a) u离散随机变量的分布函数：离散随机变量的分布函数：p设设X的取值为：的取值

19、为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别，其取值的概率分别为为p1, p2, , pi, , pn，则有，则有P (X x1) = 0,P(X xn) = 1p P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi), p性质：性质： FX(- ) = 0 FX(+ ) = 1 若若x1 x2，则有，则有: FX(x1) FX(x2) ，为单调增函数。为单调增函数。nikikXxxxxxpxxxF10)(1111u连续随机变量的分布函数：连续随机变量的分布函数： 当x连续时，由定义分布函数定义 FX(x) = P(X x) 可知， FX(x) 为一连续单

20、调递增函数：2.3.2 随机变量的概率密度随机变量的概率密度n连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX (x)upX (x)的定义：的定义：upX (x)的意义：的意义：ppX (x)是是FX (x)的导数，是的导数，是FX (x)曲线的斜率曲线的斜率p能够从能够从pX (x)求出求出P(a 0, a = 常数常数u概率密度曲线：概率密度曲线：222)(exp21)(axxpXn均匀分布随机变量均匀分布随机变量u定义：概率密度定义：概率密度式中，式中，a，b为常数为常数u概率密度曲线：概率密度曲线：其他0)/(1)(bxaabxpXbax0pA(x)n瑞利瑞利(Rayleigh)分布分

21、布随机变量随机变量 u定义：概率密度为定义：概率密度为式中，式中，a 0，为常数。，为常数。u概率密度曲线：概率密度曲线：0)exp(2)(2xaxaxxpX2.5 随机变量的数字特征2.5.1 数学期望n定义：对于连续随机变量定义：对于连续随机变量n性质：性质：u u u u u 若若X和和Y互相独立，且互相独立，且E(X)和和E(Y)存在。存在。u dxxxpXEX)()(CCE)()()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE)()(XECXCE)()()(YEXEXYE CE(X)E(CX)2.5.2 方差n定义：定义：式中，式中，u方差的改写：方差的改写：

22、证：证：u对于离散随机变量，对于离散随机变量，u对于连续随机变量，对于连续随机变量，n性质：性质：uD( C ) = 0 uD(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) uD(X+Y)=D(X)+D(Y)uD(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn) )()(22XXEXDX的数学期望标准偏差，XXX22)(XXXD2222222222)(XXXXXXXXXEXXEiiipXxXD2)()(dxxpXxXDX)()()(22.5.3 矩n定义：随机变量定义：随机变量X的的k阶矩为阶矩为uk阶原点矩：阶原点矩：a = 0时的矩：时的矩：uk阶中心矩：阶中

23、心矩： 时的矩：时的矩：n性质：性质：u 一阶原点矩为数学期望：一阶原点矩为数学期望：u 二阶中心矩为方差：二阶中心矩为方差：dxxpaxaXEXkk)()()(dxxpxXmXkk)()(Xa dxxpXxXMXkk)()()()()(1XEXm22)()(XXDXM2.6 随机过程2.6.1 随机过程的基本概念nX(A, t) 事件事件A的全部可能的全部可能“实现实现”的总体；的总体；nX(Ai, t) 事件事件A的一个实现，为确定的时间函数；的一个实现，为确定的时间函数；nX(A, tk) 在给定时刻在给定时刻tk上的函数值。上的函数值。u简记：简记： X(A, t) X(t) X(Ai

24、, t) Xi (t)n例：接收机噪声例：接收机噪声n随机过程的数字特征：随机过程的数字特征：u统计平均值：统计平均值：u方差：方差：u自相关函数：自相关函数：)()()(iXXitmdxxxptXEi2)()()(iiitXEtXEtXD)()(),(2121tXtXEttRX2.6.2 平稳随机过程n平稳随机过程的定义：平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）（又称严格平稳随机过程）n广义平稳随机过程的定义：广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。平均值、方差和自相关函数等与时间起点

25、无关的随机过程。n广义平稳随机过程的性质：广义平稳随机过程的性质：u u u n严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。 常数Xm EX(t) 常数22X)t (XE) t (XE)t (XD21tt)(R )t -(tR )t ,(tRX21X21X2.6.3 各态历经性n“各态历经各态历经”的含义：的含义： 平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。n各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平

26、均值，例各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例u各态历经过程的统计平均值各态历经过程的统计平均值mX：u各态历经过程的自相关函数各态历经过程的自相关函数RX( ):u一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。性。 2/2/)(1limTTiTXdttXTm2/2/)()(1lim)(TTiiTXdttXtXTRn稳态通信系统的各态历经性：稳态通信系统的各态历经性： 假设信号和噪声都是各态历经的。假设信号和噪声都是各态历经

27、的。u一阶原点矩一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量；是信号的直流分量；u一阶原点矩的平方一阶原点矩的平方mX 2 是信号直流分量的归一化功率；是信号直流分量的归一化功率；u二阶原点矩二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率；是信号归一化平均功率；u二阶原点矩的平方根二阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是信号电流或电压的是信号电流或电压的均方根值（有效值）；均方根值（有效值）；u二阶中心矩二阶中心矩 X2 是信号交流分量的归一化平均功率是信号交流分量的归一化平均功率;u若若mX = mX 2 = 0，则，则 X2 = E X 2( t ) ；u标准偏差标准偏差 X

28、 是信号交流分量的均方根值；是信号交流分量的均方根值； u若若mX = 0，则，则 X就是信号的均方根值就是信号的均方根值 。2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度n自相关函数的性质自相关函数的性质u u u u u n功率频谱密度的性质功率频谱密度的性质 u复习：确知信号的功率谱密度：复习：确知信号的功率谱密度：u类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：p平均功率：平均功率：XPtXER)()0(2)()( RR)0()(RR)()(2tXER2)()0(XRRTfSfPTT2)(lim)(TfSEfPEfPTTX2)(lim)()(dfTfSEdf

29、fPPTTXX)(lim)(2n自相关函数和功率谱密度的关系自相关函数和功率谱密度的关系由由式中，式中， 令令 =t t，k =t + t，则上式可以化简成，则上式可以化简成 于是有于是有2/2/2/2/) (2/2/2/2/2/2/2/2/2) (1) ()(1) (*)(1)(TTTTttjTTtjTTtjTTtjTTTtjTTdtdtettRTdtetsdtetsTEdtetsdtetsTETfSE)()()(tstsEttRTTjTdeRTTfSE)(1)(2deRdeRTTfSEfPjTTjTTTX)()(1lim)(lim)(2上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：nP

30、X(f )的性质：的性质：uPX(f ) 0, 并且并且PX(f )是实函数。是实函数。u PX(f ) PX(-f )，即，即PX(f )是偶函数。是偶函数。 【例【例2.7】设有一个二进制数字信号设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅，如图所示，其振幅为为+a或或-a；在时间；在时间 T 内其符号改变的次数内其符号改变的次数k服从泊松分布服从泊松分布 式中，式中， 是单位时间内振幅的是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。符号改变的平均次数。试求其相关函数试求其相关函数R( )和功率谱密度和功率谱密度P(f)。deRfPjX)()(dfefPRjX)()(0,!)()(kkeTkP

31、Tk+a-ax(t)tt0t-解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式 可以化简为： R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 11 )(eaeeaeaR由于

32、在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当 取负值时，上式应当改写成 将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R( )的傅里叶变换求出： P( f )和R()的曲线：22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj【例2.8】设一随机过程的功率谱密度P( f )如图所示。试求其自相关函数R()。解：功率谱密度P( f )已知， 式中，u自相关函数曲线：自相关函数曲线：0022cos22sin42cos22cos)(2)()(21ffffAdffAdfffPdfefPRfffj2,212012f

33、fffff【例2.9】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。 解：白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn( f )的噪声，即Pn( f ) n0/2式中，n0为单边功率谱密度（W/Hz） 白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得: 由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 0时）的抽样值都是不相关的。 白噪声的平均功率 : 上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。 )(22)()(00ndfendfefPRjjX)0(2)0(0nRPn(f)n0/20fRn()n0/20n带限白噪声的功率谱密度和自相关函数带限白噪声的功率谱密度和自相关函数u带限白噪声：带宽受到限制的白噪声带限白噪声：带宽受到限制的白噪

34、声u带限白噪声的功率谱密度：带限白噪声的功率谱密度：设白噪声的频带限制在设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有之间，则有 Pn(f) = n0 / 2,-fH f fH= 0,其他处其他处其自相关函数为：其自相关函数为：u曲线：曲线：HHHffjfffndfenRHH22sin22)(00n0/2Pn(f)0f-fHfHRn()01/2fH-1/2fH2.7 高斯过程（正态随机过程）n定义：定义：u一维高斯过程的概率密度：一维高斯过程的概率密度：式中，式中，a = EX(t) 为均值为均值 2 = EX(t) - a2 为方差为方差 为标准偏差为标准偏差u高斯过程是平稳过程，故高斯过

35、程是平稳过程，故其概率密度其概率密度pX (x, t1)与与t1无关，无关，即，即， pX (x, t1) pX (x)upX (x)的曲线：的曲线：2212exp21),(axtxpXu高斯过程的严格定义：任意高斯过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足：维联合概率密度满足：式中，式中，ak为为xk的数学期望（统计平均值）；的数学期望（统计平均值）； k为为xk的标准偏差；的标准偏差； |B|为归一化协方差矩阵的行列式，即为归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk为行列式为行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子；的代数余因子； bjk为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即njnkkk

36、kjjjjknnnnXaxaxBBBtttxxxp112/1212/212121exp)2(1),;,(11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkaxaxEbnn维高斯过程的性质维高斯过程的性质upX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)仅由各个随机变量的数学期望仅由各个随机变量的数学期望ai、标准偏差、标准偏差 i和归一化协方差和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义决定，因此它是一个广义平稳随机过程平稳随机过程 。u若若x1, x2, , xn等两两之间互不相关等两两之间互不相关 ，则有当，则有当 j k 时，时，bjk = 0。这时，。这时，即，

37、此即，此n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。u若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相互不相关关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者密度之积，则称为两者互相独立互相独立。互不相关的两个随机变。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。相关。u高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立

38、。 ),(),(),(2exp21),;,(22112212121nnXXXkkknkknnXtxptxptxpaxtttxxxpn正态概率密度的性质正态概率密度的性质up(x)对称于直线对称于直线 x = a，即有：，即有：up(x)在区间在区间(- , a)内单调上升，在区间内单调上升，在区间(a, )内单调下降，内单调下降，并且在点并且在点a处达到其极大值处达到其极大值 当当x - 或或 x + 时，时，p(x) 0。 u u若若a = 0, = 1，则称这种分布为标准化正态分布：，则称这种分布为标准化正态分布： )()(xapxap)2/(11)(dxxpaadxxpdxxp2/1)(

39、)(2exp21)(2xxpn正态分布函数正态分布函数u将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数 ：式中，式中， (x)称为概率积分函数称为概率积分函数 ：此积分不易计算，通常用查表方法计算。此积分不易计算，通常用查表方法计算。 axdzazdzazxFxx22222)(exp212)(exp21)(dzzxx2exp21)(2n用误差函数表示正态分布用误差函数表示正态分布u误差函数定义：误差函数定义：u补误差函数定义：补误差函数定义： u 正态分布表示法：正态分布表示法：dzexerfxz022)(dzedzexerfxerfcxzxz22221)

40、(1)(0axaxerfcaxaxerfxF,2211,22121)(频率近似为fc2.8 窄带随机过程2.8.1 窄带随机过程的基本概念n何谓窄带？何谓窄带？ 设设随机过程的频带宽度为随机过程的频带宽度为 f，中心频率为，中心频率为fc。若。若 f fc，则称此随机过程为窄带随机过程。则称此随机过程为窄带随机过程。 n窄带随机过程的波形和表示式窄带随机过程的波形和表示式u波形和频谱：波形和频谱：u表示式表示式式中，式中，aX(t) 窄带随机过程的随机包络；窄带随机过程的随机包络； X(t) 窄带随机过程的随机相位；窄带随机过程的随机相位； 0 正弦波的角频率。正弦波的角频率。 上式可以改写为

41、：上式可以改写为：式中，式中， X (t)的同相分量的同相分量 X (t)的正交分量的正交分量 00)t (a),t (tcos)t (a)t (XXXXtsin)t (Xtcos)t (X)t (Xsc00)(cos)()(ttatXXXc)(sin)()(ttatXXXs2.8.2 窄带随机过程的性质nXc(t)和和Xs(t)的统计特性：的统计特性：设设X(t)是一个均值为是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则的平稳窄带高斯过程，则u Xc(t)和和Xs(t)也是高斯过程；也是高斯过程；u Xc(t)和和Xs(t) 的方差相同，且等于的方差相同，且等于X(t)的方差；的方差；u在同一时刻上得

42、到的在同一时刻上得到的Xc和和Xs是不相关的和统计独立的。是不相关的和统计独立的。naX(t)和和 X(t)的统计特性：的统计特性：u窄带平稳随机过程包络窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于：的概率密度等于：u窄带平稳随机过程相位窄带平稳随机过程相位 X(t)的概率密度等于：的概率密度等于： 02exp)(222XXXXXXaaaap2021)(XXp2.9 正弦波加窄带高斯过程l通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：l正弦波加噪声的表示式：式中， A 正弦波的确知振幅； 0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位； n(t) 窄带高斯噪声。lr (t )的包络的概率密度 ：式中， 2 n(t

43、)的方差； I0() 零阶修正贝塞尔函数。lpr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布。当A = 0时， pr(x) 变成瑞利概率密度。)()cos()(0tntAtr0,21exp)(222202xAxAxIxxprlr (t )的相位的条件概率密度 ：式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪声的相位 pr( / ) 给定 的条件下， r( t )的相位的条件概率密度lr (t )的相位的概率密度:n当当 = 0时，时，式中，式中，2/12222/1222cos1sin2exp22cos22/exp)/(AerfAAApr dppprrr/)(2020exp)(1 12

44、exp21)0/(222GGerfGApr2cosAG GtdteGerf022)(瑞利分布r概率密度包络r(a) 莱斯分布包络的概率密度均匀相位相 位概率密度(b) 莱斯分布相位的概率密度l莱斯分布的曲线n当当A/ = 0时，时，包络包络瑞利分布瑞利分布相位相位均匀分布均匀分布n当当A/ 很大时，很大时，包络包络正态分布正态分布相位相位冲激函数冲激函数2.10 信号通过线性系统2.10.1 线性系统的基本概念n线性系统的特性线性系统的特性u有一对输入端和一对输出端有一对输入端和一对输出端u无源无源u无记忆无记忆u非时变非时变u有因果关系：当前输出只决定于当前和过去的输入有因果关系：当前输出只

45、决定于当前和过去的输入u有线性关系：满足叠加原理有线性关系：满足叠加原理若当输入若当输入为为xi(t)时，输出为时，输出为yi(t)，则当输入为，则当输入为 时，输出为：时，输出为：式中，式中，a1和和a2均为任意常数。均为任意常数。)()()(2211txatxatx)()()(2211tyatyatyn线性系统的示意图线性系统的示意图2.10.2 确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统n时域分析法时域分析法设设h(t) 系统的冲激响应系统的冲激响应 x(t) 输入信号波形输入信号波形 y(t) 输出信号波形输出信号波形则有：则有：线性系统输入输出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H

46、(f)图2.10.1 线性系统示意图t(t)h(t)t00dhtxdthxthtxty)()()()()()()(dtthtth)(0,0)(对于物理可实现系统：对于物理可实现系统：n频域分析法频域分析法u设：输入为能量信号，令设：输入为能量信号，令 x( t ) 输入能量信号输入能量信号H( f ) h( t )的傅里叶变换的傅里叶变换 X( f ) x( t )的傅里叶变换 y( t ) 输出信号 则此系统的输出信号则此系统的输出信号y( t )的频谱密度的频谱密度Y( f )为：为：p由由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出的逆傅里叶变换可以求出y( t )：)()()(fHfXfYdfe

47、fYtytj)()(u设：输入设：输入x( t )为周期性功率信号，则有为周期性功率信号，则有 式中，式中， 输出为：输出为：u设：输入设：输入x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理为非周期性功率信号，则当作随机信号处理ntjnejnCtx0)()(02/2/00000)(1)(TTtjndtetxTjnC0 = 2/T0T0 信号的周期 f0 = 0 / 2是信号的基频ntjnenHjnCty0)()()(00u【例【例2.10】若有一个若有一个RC低通滤波器，如图低通滤波器，如图2.10.4所示。试所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信求出其冲激响应，以及当

48、有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。号表示式。 解解:设设 x(t) 输入能量信号输入能量信号 y(t) 输出能量信号输出能量信号 X(f) x(t)的频谱密度的频谱密度 Y(f) y(t)的频谱密度的频谱密度则此电路的传输函数为：则此电路的传输函数为： 此滤波器的冲激响应此滤波器的冲激响应h(t)： 图2.10.4 RC滤波器RCx(t)y(t)RCjCjRCjfH11)/1 (/1)(RCttjtjeRCdfeRCjdfefHth/111)()(滤波器输出和输入之间的关系：假设输入x(t)等于：则此滤波器的输出为： dexRCdthxthtxtyRCt/ )()(1)()()()()(0, 00,)(ttetxataRCeeaRCeRCedeeRCtyRCtattaRCRCttRCta1/11)(/0)/1 (/0/ )(n无失真传输条件无失真传输条件设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t) ，则其无失真输出信号则其无失真输出信号y(t)为：为：式中，式中，k 衰减常数，衰减常数， td 延迟时间。延迟时间。u求系统的传输函数：求系统的传输函数： 对上式作傅里叶变换：对上式作傅里叶变换： 式中，式中，u无失真传输条件：无失真传输条件：p振幅特性与频率无关；振幅