概率论与数学统计课件14

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计主讲教师：李真主讲教师：李真 博士博士广东财经大学广东财经大学 数学与统计学院数学与统计学院 在实际问题中，除了要考虑某事件在实际问题中，除了要考虑某事件 A 的概的概率率P(A)外，有时还要考虑外，有时还要考虑在事件在事件B已经发生的已经发生的条件下条件下事件事件 A 发生的概率。发生的概率。1.4.1 条件概率条件概率I. 条件概率的理解条件概率的理解 通常记事件通常记事件 B 发生的条件下发生的条件下, 事件事件 A 发生发生的概率为的概率为 P(A|B)。一般情况下，一般情况下， P(A|B) P(A) 。1.4 条件概率条件概率 例例1.4.1 10

2、0件产品中有件产品中有5件是不合格品，而件是不合格品，而5件不合格品中又有件不合格品中又有3件是次品，件是次品，2件是废品。件是废品。现从现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求品被抽到的可能性都相同，求(1).(1).抽到的产品是次品的概率；抽到的产品是次品的概率；(2).(2).在抽到的产品是不合格品条件下在抽到的产品是不合格品条件下, , 产品是产品是 次品的概率。次品的概率。 解解 设设 A=抽到的产品是次品抽到的产品是次品，B=抽到的产品是不合格品抽到的产品是不合格品。(1).(1). 按古典概型计算公式，有按古典概型计算公

3、式，有 ;1003)(AP可见，可见，P(A) P(A|B)。(2). 由于由于 5 件不合格品中有件不合格品中有 3 件是次品，故件是次品，故 虽然虽然 P(A) 与与 P(A|B) 不同，但二者之间存不同，但二者之间存在什么关系呢在什么关系呢? 先来计算先来计算 P(B) 和和 P(AB)。.53)|(BAP 因为因为 100 件产品中有件产品中有 5 件是不合格品，所件是不合格品，所以以 P(B) = 5/100。P(AB)=3/100。 而而 AB 表示事件表示事件产品既是不合格品、又产品既是不合格品、又是次品是次品，再由，再由 100 件产品中只有件产品中只有 3 件产品既件产品既是

4、不合格品又是次品，得是不合格品又是次品，得通过简单运算，得通过简单运算，得.)()(1005100353)|(BPABPBAP有有.)()()|(BPABPBAP 若事件若事件 B 已发生已发生, 为使为使 A也也发生，则试验结果必须是既在发生，则试验结果必须是既在 B 中又在中又在 A 中的样本点中的样本点, 那么此点那么此点必属于必属于AB。 由于已知由于已知 B 已发生已发生, 故故 B 就就变成了新的样本空间变成了新的样本空间 , 于于是，就有是，就有(1.4.1) 式。式。II. 条件概率定义条件概率定义为在事件为在事件 B 发生条件下，事件发生条件下，事件 A 的条件概率。的条件概

5、率。定义定义1.4.1 设设 A, B 为事件，且为事件，且 P(B)0，称，称) 1 . 4 . 1 ( )()()|(BPABPBAP计算：计算：(1) 用定义计算用定义计算;(2) 根据加入条件后改变了的情况来计算根据加入条件后改变了的情况来计算.III. 条件概率的性质条件概率的性质设设 B 是一事件，且是一事件，且 P(B)0, 则则1. 对任一事件对任一事件 A，有，有 P(A|B) 0;2. P(|P(|B)=1)=1；3. 设设 A1, A2,两两互斥，则有两两互斥，则有)|()|()| )(2121BAPBAPBAAP故，故，条件概率还是概率！条件概率还是概率！那么，那么，概

6、率所具有概率所具有的一切性质，条件概率也一定具有。的一切性质，条件概率也一定具有。更多条件概率的性质（类似于概率）：更多条件概率的性质（类似于概率）：()PA()P B A ()P BC A()P BC A01()P B A()()P B AP BC A()()P B AP C A()P BC A 例例1.4.2 有外观相同的三极管有外观相同的三极管 6只，按电流只，按电流放大系数分类放大系数分类, ,4 只属甲类只属甲类, , 两只属乙类。不放两只属乙类。不放回地抽取三极管两次回地抽取三极管两次, , 每次抽一只。求在第一每次抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下次抽到是甲类三极管的条件

7、下, , 第二次又抽到第二次又抽到甲类三极管的概率。甲类三极管的概率。 解解 记记Ai= 第第 i 次抽到的是甲类三极管次抽到的是甲类三极管, i=1,2,A1A2=两次抽到的都是甲类三极管两次抽到的都是甲类三极管, P(A1)=4/6=2/3，)|(12AAP)()(121APAAP.533/22/5由第由第2讲中的例讲中的例1.3.3，可知，可知. 5/230/12)(21AAP课堂练习（另）课堂练习（另）由条件概率的定义：由条件概率的定义：当当 P(B)0 时时, 有有 P(AB)=P(B)P(A|B) . (1.4.2),)()()|(BPABPBAP1.4.2 乘法公式乘法公式在已知

8、在已知 P(B), P(A|B) 时时, 可反解出可反解出 P(AB)。将将 A与与 B 位置对调，有位置对调，有当当 P(A)0 时，有时，有 P(AB)=P(A)P(B|A). (1.4.3)(1.4.2) 式和式和 (1.4.3) 式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。当当 P(A1A2An-1) 0 时，有时，有P (A1A2An) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1) .多个事件乘法公式多个事件乘法公式(1.4.4)可用可用乘法公式乘法公式的情形：的情形：求几个

9、事件同时发生的概率；求几个事件同时发生的概率；分步骤完成一个试验。分步骤完成一个试验。 例例1.4.3 一批灯泡共一批灯泡共100100只，其中只，其中1010只是次只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只, ,求第三次才取到正品的概率。求第三次才取到正品的概率。 解解 设设 Ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3；A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。则。则A)()(321AAAPAP, 321AAA)|()|()(213121AAAPAAPAP.0083. 0989099910010 例例1.4.4 袋中有

10、同型号小球袋中有同型号小球 b+r 个，其中个，其中b 个是黑球，个是黑球，r 个是红球。每次从袋中任取一个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回球，观其颜色后放回, ,并再加入同颜色、同型并再加入同颜色、同型号球号球 c 个。若个。若 B=第一、第三次取到红球第一、第三次取到红球, ,第第二次取到黑球二次取到黑球 ，求求 P(P(B) )。 解解 设设 Ai=第第 i 次取到红球次取到红球, , i =1,2,3,1,2,3,则则.)()(c)()|()|()()()(213121321crcbrcrbbrbrAAAPAAPAPAAAPBP，321AAAB 全概率公式和贝叶斯公式主要用于

11、计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3和和1.4.4 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 例例1.4.5 一批同型号螺钉由编号为一批同型号螺钉由编号为I、II、的三台机器共同生产的三台机器共同生产, ,各台机器生产的螺钉各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为占这批螺钉的比例分别为35%,%,40% %和和25%

12、%, 各台各台机器生产螺钉的次品率分别为机器生产螺钉的次品率分别为3%,%,2% %和和1% %。求。求该批螺钉的次品率。该批螺钉的次品率。 解解 记记 A=螺钉是次品螺钉是次品，Bi=螺钉由螺钉由 i号号机器生产机器生产, i =1, 2, 3(分别表示分别表示I、II、 )。即即 A= B1AB2AB3A， 且且 B1A，B2A 和和 B3A 两两互斥。两两互斥。因因 A发生总是伴随着发生总是伴随着B1, ,B2, ,B3 之一同时发生，之一同时发生，于是，于是，P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A)运用加法公式运用加法公式将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的

13、方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式。全概率公式。对和式中的各项对和式中的各项运用乘法公式得运用乘法公式得.021. 001. 025. 002. 040. 00.0335. 0)|()(31iiiBAPBP31)()(iiABPAP 定义定义1.4.2 设设为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间， B1, B2, Bn两两互斥，且两两互斥，且B1B2Bn=，则称则称 B1, B2, , Bn为样本空间为样本空间的一个的一个划分划分。 易见，若易见，若 B1, B2, Bn为样本空间为样本空间的一的一个划分，则每次试验时，个划分，则每次试验时，事件事

14、件 B1, B2, , Bn 之中必有一个，且仅有一个发生。之中必有一个，且仅有一个发生。即分情况！即分情况！ 定理定理1.4.1 设设是试验是试验 E 的样本空间，的样本空间，A为一个事件，为一个事件，B1, B2, Bn为为的一个划分，且的一个划分，且 (1.4.5) . )|()()(1niiiBAPBPAP P(Bi)0, i =1, 2, , n。则有。则有 公式公式 (1.4.5) 称为称为全概率公式全概率公式。 在较复杂情况下，在较复杂情况下，直接计算直接计算P(A)不容易不容易, 但总可以但总可以适当地构造一组两两互斥的适当地构造一组两两互斥的Bi , 使使A伴随着某个伴随着某

15、个Bi 的发生而发生，且的发生而发生，且每个每个 P( Bi A) 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 P( Bi A) 之和计算之和计算 P(A)。niiniiiABPBAPBPAP11)()()()(由公式由公式“全部概率全部概率” P(A)，可分成多个，可分成多个“部分概率部分概率” P( Bi A) 之和。之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:不难看出不难看出:niiniiiABPBAPBPAP11)()()()(由公式由公式“全部概率全部概率” P(A)，可分成多个，可分成多个“部分概率部分概率” P( Bi A) 之和。之和。不难看出不难看出:适用问题的特点：适用问

16、题的特点：1、有多种原因、有多种原因(或情况或情况)引起一个事件的发生，引起一个事件的发生，一个划分一个划分2、求这个事件发生的概率。、求这个事件发生的概率。nBBB,11A分情况，分情况， 求结果求结果!例例10（另）（另）P23，习题：，习题：1.18 有两批相同的产品，第一批共有两批相同的产品，第一批共14件，件，其中有两件为次品，装在第一个箱中；第二其中有两件为次品，装在第一个箱中；第二批有批有10件，其中有一件是次品，装在第二个件，其中有一件是次品，装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中，然后再从第二箱中任取一件。求从二箱中，然后

17、再从第二箱中任取一件。求从第二箱中取到的是次品的概率。第二箱中取到的是次品的概率。设事件是难点！设事件是难点！作为思考题，下次课讲解。作为思考题，下次课讲解。 实际中还有下面一类问题：已知某种结实际中还有下面一类问题：已知某种结果出现，求这种结果出现根源或原因的概率。果出现，求这种结果出现根源或原因的概率。 这一类问题在实际中常见，它所求的是条这一类问题在实际中常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。的可能性大小。接例接例1.4.5，考虑如下问题：，考虑如下问题：若从该批螺钉中任取一颗若从该批螺钉中任取一颗, 发现它是次品

18、发现它是次品, 求这求这颗螺钉由颗螺钉由 I、II台机器生产台机器生产的概率各是多少？的概率各是多少？)()()|(APABPABPii 记记 Bi = 螺钉由第螺钉由第 i 台机器生产台机器生产， i =1, 2; A = 螺钉为次品螺钉为次品。则所求则所求为为 P(Bi |A)，31)()()|()(jjjiiBAPBPBAPBP运用全概率公式运用全概率公式 计算计算P(A)将上述公式一般化，就得到将上述公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式。) 7 . 4 . 1 ( . , 2 , 1 , )()()()()|(1 niBAPBPBAPBPABPnjjjiii 该公式于该公式于1763

19、1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (BayesBayes) 给出。给出。 它是在观察到事件它是在观察到事件A 已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致A发生的各原因的概率。发生的各原因的概率。 定理定理1.4.2 设设是是样本空间样本空间, A为一个事件为一个事件, B1, B2, Bn为为为为的一个划分的一个划分, 且且 P(A)0， P(Bi)0，i=1, 2, , n，则有，则有 由结果，寻原因由结果，寻原因! 例例1.4.7 一批同型号的螺钉由编号为一批同型号的螺钉由编号为I,II,IIII,II,III的三台机器共同生产。各台机器生的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉

20、的比例分别为产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%, 35%,40%, 25%25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 3%, 2%2%和和1%1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求: :这颗螺钉由这颗螺钉由I, II, IIII, II, III号机器生产的概率各号机器生产的概率各为多少为多少? ?解：解：设设 A=螺钉是次品螺钉是次品, B1 1=螺钉由螺钉由I I号机器生产号机器生产, , B2 2=螺钉由螺钉由IIII号机器生产号机器生产, B3 3=螺钉由螺钉由IIIIII号机器生产号机器生产 。则则由由贝叶

21、斯公式贝叶斯公式，得，得)()|()()|()|(31111jjjBPBAPBPBAPABP. 5 . 001. 025. 002. 040. 003. 035. 003. 035. 0. 425)|( 218)|(32ABPABP，P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。作业：作业： P23，1.17； P24，1.18, 1.19。 例例1.4.6 8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概校准。一名射手用校准过的枪射击

22、时，中靶概率为率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从。现从8 8支枪中任取一支用于射击，结果中支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求所用的枪是校准过的概率。靶。求所用的枪是校准过的概率。 解解 设设 A=射击时中靶射击时中靶 ，B1 1=枪校准过枪校准过, , B2 2=枪未校准枪未校准 ，则，则 B1 1, ,B2 2 是是一个划分，由一个划分，由贝叶斯公式，得贝叶斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP.8163. 04940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/5(8 .

23、0 补例补例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患，患者对一种试验反应呈阳性的概率为者对一种试验反应呈阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反应呈阳性的概率为人对这种试验反应呈阳性的概率为0.04，现抽，现抽查了一个人，试验反应呈阳性，问此人是癌症查了一个人，试验反应呈阳性，问此人是癌症患者的概率有多大患者的概率有多大? 解解 设设 B1 = 抽测者患癌症抽测者患癌症，B2= 抽测者抽测者不患癌症不患癌症，A = 试验结果是阳性试验结果是阳性。则。则求求 P(B1|A)。. 04. 0)|( ,95. 0)|(, 995. 0)( ,005. 0)(2121BAPBAPBPBP现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义：代入数据计算，得代入数据计算，得 P(B1 | A)= 0.1066。 (2). 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? (1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌有无该试验对于诊断一个人是否患有癌有无 意义？意义？， )|()()|()()|()()|( 2211111BAP