矩阵分析第5章

1、2021-11-3第五章第五章 范数范数, ,序列序列, ,级数级数 前言前言向量与矩阵向量与矩阵范数范数是向量与矩阵的一个重要是向量与矩阵的一个重要数数字特征字特征-用它可以建立向量集或矩阵集的用它可以建立向量集或矩阵集的拓扑结构拓扑结构, ,从而便于研究向量或矩阵序列从而便于研究向量或矩阵序列, ,向向量或矩阵级数的量或矩阵级数的收敛性质收敛性质. .因此因此, ,这一章的理这一章的理论在数值分析及其它领域中十分有用论在数值分析及其它领域中十分有用. .本章是本课程重点内容之一本章是本课程重点内容之一. .所有所有5 5节都要认节都要认真学好真学好. .最后一节最后一节( (矩阵幂级数矩阵

2、幂级数) )是研究矩阵是研究矩阵函数的重要工具函数的重要工具. .2021-11-35.1 5.1 向量范数向量范数 向量范数是酉空间向量范数是酉空间向量长度的推广向量长度的推广. .特别特别x x v=cv=cn n, ,的的标准长度标准长度: : x= x= (x,x)(x,x)=(|=(|x x1 1| |2 2+ +|x+|xn n| |2 2) )1/21/2 满足满足 x x v,xv,x 0; x=0; x= 0 0 x=0 x=0 ( (非负性非负性) ) x x v,kv,k c,kxc,kx=|k|x =|k|x ( (齐次性齐次性) ) x,yx,y v,x+yv,x+y

3、 x+yx+y( (三角不等式三角不等式) )定义定义5.1.15.1.1: :数域数域f f上线性空间上线性空间v v称为称为赋范空间赋范空间, ,如如果存在映射果存在映射 :v:vr r 满足上述三条公满足上述三条公理理. .xx称为称为x x的的范数范数. .2021-11-3几点注记几点注记 向量范数的概念向量范数的概念不仅限于酉空间不仅限于酉空间, ,即即: :酉空间是酉空间是赋范空间赋范空间, ,但存在不是酉空间的赋范空间但存在不是酉空间的赋范空间. . 同一酉空间可能除标准内积定义的同一酉空间可能除标准内积定义的( (标准标准) )范数范数之外还有别的范数之外还有别的范数. .例

4、如例如, ,在在c cn n中可定义下列中可定义下列范数范数: x: x c cn n, ,xx = = max|xmax|x1 1|,|,|x,|xn n|.|. ( (它显然满足非负公理它显然满足非负公理; ; kx kx = = maxmax|k|kx x1 1| |, ,|kx,|kxn n| | |kx|kxi i|=|k|x|=|k|xi i| | =|k|max =|k|max| |x x1 1| |, ,|x,|xn n|=|kx|=|kx ; ; x+y x+y = = maxmax| |x x1 1+y+y1 1| |, ,|x,|xn n+y+yn n| maxmax|

5、|x x1 1| |+|y+|y1 1| |, ,|x,|xn n|+|y|+|yn n| | maxmax| |x x1 1| |, ,|x,|xn n| |+max+max|y|y1 1| |, ,|y,|yn n| | =x =x +y+y 2021-11-3范数初等性质范数初等性质（由定义推出由定义推出）-x=|-1|x=x.-x=|-1|x=x. x,yx,y v,xv,x yy |x-y|.|x-y|.证证：首先：首先x=(x-y)+yx=(x-y)+y x-y+yx-y+y x-yx-y x-y.x-y.其次其次x-y=-(y-x)=y-xx-y=-(y-x)=y-x y-x=y

6、-x= -(x-y)-(x-y) x-y x-y |x-y|.|x-y|.此外此外 x+y=x-(-y)x+y=x-(-y) |x-y|=|x-y|x-y|=|x-y| x x yy |x-y|x-y|.|.2021-11-3holderholder不等式不等式与与minkowskiminkowski不等式不等式下面两个不等式对本章的理论推导十分有用下面两个不等式对本章的理论推导十分有用holderholder不等式不等式: :对任意给定对任意给定p1p1和和q=p/(p-1) q=p/(p-1) (1,(1,即即(1/p)+(1/q)=1)(1/p)+(1/q)=1)及任意及任意a ak k

7、,b,bk k 0 0成立成立 k=1k=1n na ak kb bk k ( ( k=1k=1n na ak kp p) )1/p1/p( ( k=1k=1n nb bk kq q) )1/q1/q. .(c-s(c-s不等式为其不等式为其( (p=2p=2时时) )特例特例) ) p,qp,q次算术根次算术根minkowskiminkowski不等式不等式: :对任意给定对任意给定p p 1 1成立成立 ( ( k=1k=1n n|a|ak k+b+bk k| |p p) )1/p1/p ( ( k=1k=1n n|a|ak k| |p p) )1/p1/p+(+( k=1k=1n n|b

8、|bk k| |p p) )1/p1/p此此2 2不等式证明见教本不等式证明见教本2021-11-3不等式不等式(5.1.2)(5.1.2)的证明的证明设设p1,q=p/(p-1)1.p1,q=p/(p-1)1.对任意对任意u,vu,v 0 0有有 uvuv u up p/p+v/p+vq q/q/q (5.1.2) (5.1.2)证证: :只须证对任意只须证对任意u u 0,0,函数函数 f(v)=uf(v)=up p/p+v/p+vq q/q-uv/q-uv 在定义域在定义域d=vd=v 00内的最小值等于内的最小值等于0 0即可即可. . (u=0 (u=0或或v=0v=0时时,(5.1

9、.2),(5.1.2)显然成立显然成立) ). . 事实上事实上, ,因因f f (v(v)=v)=vq-1q-1-u=0-u=0在定义域在定义域d d内有唯一内有唯一零点零点:v=u:v=u1/(q-1)1/(q-1)0,0,并且并且f f (v(v)=(q-1)v)=(q-1)vq-2q-20(0(当当v0),v0),故故f(uf(u1/(q-1)1/(q-1)=u)=up p/p+u/p+uq/(q-1)q/(q-1)/q-uu/q-uu1/(q-1)1/(q-1)=0=0 是在是在d d中的最小值中的最小值. .证毕证毕. .( (u uq/(q-1)q/(q-1)/q-uu/q-uu

10、1/(q-1)1/(q-1)=u=up p(1/q-1)=-u(1/q-1)=-up p/p)/p)(q-1)/q=1-1/q=1/p; 1+1/(q-1)=q/(q-1)=p(q-1)/q=1-1/q=1/p; 1+1/(q-1)=q/(q-1)=p2021-11-3horderhorder不等式不等式(5.1.1)(5.1.1)的证明的证明 uvuv u up p/p+v/p+vq q/q/q (5.1.2) (5.1.2)证证: :在在(5.1.2)(5.1.2)中中, ,令令u=au=ak k/a;v=b/a;v=bk k/b/b, ,其中其中则则1/1/11;pqnnpqkkkkaa

11、bb1111/1/111111nnnpqkkkkpqkkkpqnnpqkkkka bababpaqbababpqab11pqkkkkpqaba babp aq b2021-11-3p-p-范数及其性质范数及其性质定义定义5.1.25.1.2：对复：对复n n维线性空间维线性空间c cn n, ,对任意给定对任意给定 p p 1,x=(x1,x=(x1 1, ,x,xn n) ) c cn n, ,令令 xxp p=(=( i=1i=1n n|x|xi i| |p p) )1/p 1/p p p次算术根次算术根则则xxp p是向量范数是向量范数, ,称为称为x x的的p-p-范数范数. .证证:

12、 :非负性显然成立非负性显然成立; ; kxkxp p=(=( i=1i=1n n|kx|kxi i| |p p) )1/p 1/p =(=( i=1i=1n n|k|k|p p|x|xi i| |p p) )1/p1/p =|k|(=|k|( i=1i=1n n|x|xi i| |p p) )1/p 1/p =|k|x=|k|xp p x+y x+yp p=(=( i=1i=1n n|x|xi i+y+yi i| |p p) )1/p1/p ( ( i=1i=1n n|x|xi i| |p p) )1/p1/p+(+( i=1i=1n n|y|yi i| |p p) )1/p1/p =x =

13、xp p+y+yp p minkowskiminkowski不等式不等式注注: :有无穷多个有无穷多个p-p-范数范数, ,最常用的是下列三个最常用的是下列三个: : 2- 2-范数范数xx2 2=(=( i=1i=1n n|x|xi i| |2 2) )1/21/2( (欧氏范数欧氏范数);1-);1-范数范数xx1 1= = i=1i=1n n|x|xi i| |和和 - -范数范数xx =max|x=max|x1 1|,|,|x,|xn n|. .2021-11-3 - -范数性质范数性质-定理定理5.1.15.1.1定理定理5.1.15.1.1：xx =lim=limp pxxp p

14、(5.1.8)(5.1.8)( (此式说明记号此式说明记号 中用中用 的合理性的合理性) )证证: :当当x=0 x=0时时, , p p 1,x1,xp p= = 0 0 =x=x 故结论成故结论成立立. .当当x x 0 0时时, ,令令 xx =max|x=max|x1 1|,|,|x,|xn n|=|x|=|xk k|0; |0; y=(1/|xy=(1/|xk k|)x. |)x. 则则yy =1,=1,且且maxmaxi i|y|yi i|=|y|=|yk k|=1. |=1. 于是对任意于是对任意 p1p1有有1=|y1=|yk k| | ( ( i i=1=1n n|y|yi

15、i| |p p) )1/p 1/p =y=yp p n n1/p 1/p ( (* *) ) lim limp pn n1/p1/p=n=n0 0=1=1 在在( (* *) )式中令式中令 p p取极限得取极限得1=1=limlimp pyyp p = =limlimp pxxp p/ /xx 由此得证明所需的等式由此得证明所需的等式. . 2021-11-31=|y1=|yk k| | ( ( i i=1=1n n|y|yi i| |p p) )1/p 1/p =y=yp p n n1/p 1/p ( (* *) ) ( ( i|yi|yi i|=|=|xi|/|x|/|xk k| | 1

16、 1) )1=1=limlimp p1 1 limlimp pyyp p limlimp pn n1/p1/p=n=n0 0=1=1 1=1=limlimp pyyp p= =limlimp pxxp p/ /xx xx =lim=limp pxxp p2021-11-3同一向量的三种范数之间的大小关系同一向量的三种范数之间的大小关系例例：取：取n n维线性空间的分量全为维线性空间的分量全为1 1的向量的向量e=(1,e=(1,1),1)t t为例为例. . 易见易见 ee =1; e=1; e2 2= = n; en; e1 1=n.=n.它们之间的大小关系是它们之间的大小关系是: :ee

17、ee2 2e0)0), ,齐次性显然齐次性显然; ;三角不等式见教本三角不等式见教本( (有小错有小错) ). .相容性相容性: :ababi i= = = = =a =ai ibbi i|max|max1|0ayxaxyx|max0 xabxx|max0&0 xabxbxxx 0&bx=0 |abx|/|x|=0|max|max|max000&0 xbxxaxxbxbxabxxxbxx=2021-11-3 aai i = = maxmaxx x 0 0ax/xax/x证证: :非负性非负性 aai i=0 =0 对所有非对所有非0 0向量向量x x都有都有 ax=0,

18、ax=0,由此由此推出推出: a=ae=(ae: a=ae=(ae1 1, ,ae,aen n)=(0,)=(0,0)=0,0)=0 齐次性齐次性 kakai i = = maxmaxyy=1=1kaykay = = |k|max|k|maxyy=1=1ayay = = |k|a|k|ai i2021-11-3| | 1| | 1max|() | max|iyya ba b yay by| | 1max()yayby| | 1| | 1max()max()yyaybyiiab三角不等式三角不等式2021-11-3i i与向量范数与向量范数相容的结论相容的结论直直接由诱导范数定义推出接由诱导范数

19、定义推出: :aai i= = a a c cm m n n,0,0 x x c cn n,a,ai i ax/xax/x由此推出由此推出 a a c cm m n n,x,x c cn n,ax,ax aai ixx( (注意：注意：x=0 x=0时时,ax,ax aai ixx显然成立显然成立. .) )|max0 xaxx2021-11-3诱导矩阵诱导矩阵p-p-范数范数对任意正数对任意正数p p 1,a1,a c cm m n n, ,由向量由向量p-p-范数诱导的矩范数诱导的矩 阵范数阵范数 aap p= = 称为称为a a的的矩阵矩阵p-p-范数范数. .c cm m n n有无穷

20、多矩阵有无穷多矩阵p-p-范数范数, ,其中最为常用的是下其中最为常用的是下列列3 3个个: :aa1 1 ,a ,a2 2 和和aa 并分别称之为并分别称之为a a的的列和范数列和范数, ,谱范数谱范数和和行和范行和范数数. .这些名称的由来见下面的定理这些名称的由来见下面的定理5.3.2.5.3.2.pyppxayxax|max|max1|02021-11-33 3个最常用矩阵个最常用矩阵p-p-范数的计算公式范数的计算公式定理定理5.3.25.3.2: :对任意对任意 a a c cm m n n成立下列公式成立下列公式: : a a1 1= = maxmax1 1 j j n n( (

21、 i=1i=1m m|a|aijij|) |) 列和范数列和范数 aa2 2=(=(maxmax(a(a* *a)a) )1/2 1/2 =(=(maxmax(aa(aa* *) ) )1/21/2谱范数谱范数 aa = = maxmax1 1 i i m m( ( j=1j=1n n|a|aijij|)|)=w=w 行和范数行和范数证证: : 自己看书自己看书. . 2021-11-33 3个最常用矩阵个最常用矩阵p-p-范数的计算公式范数的计算公式 aa2 2=(=(maxmax(a(a* *a)a) )1/2 1/2 =(=(maxmax(aa(aa* *) ) )1/21/2谱范数谱范

22、数证证 : : rayleiphrayleiph商性质商性质, ,定理定理3.11.1(3.11.1(第第175175页页) )由第由第3 3章习题章习题(3-28),a(3-28),a* *a a和和aaaa* *都是半正定都是半正定hermitehermite矩阵矩阵, ,且它们有完全相同的非零且它们有完全相同的非零( (正正) )特征值特征值. .因此因此, , maxmax(a(a* *a)=a)=maxmax(aa(aa* *) ) 从而从而, ,成立成立. . 注：注：aa2 2是是a a的最大奇异值的最大奇异值. .推论推论: : a a c cm m n n,a,a2 2=a=

23、a* *2 2)(max|max|*max*0222022aaxxaxaxxaxaxx2021-11-33 3个最常用矩阵个最常用矩阵p-p-范数的计算公式范数的计算公式 aa = = maxmax1 1 i i m m( ( j=1j=1n n|a|aijij|)|)=w=w 行和范数行和范数证证 记记的右边为的右边为w.w. a a = =得证得证:a:a w.w.为证为证,还需要证明还需要证明w a |max1|ayy|,.,max|max1111|njjmjnjjjyyaya|,.,|maxmax1111|njjmjnjjjyyayawaanjmjnjj |,.,|max1112021

24、-11-3 下证下证:w:w aa ( (设设w=w= j=1j=1n n|a|ak kj j|)|)令令 a akjkj=|a=|akjkj|exp(i|exp(ij j),i),i= = -1, -1, exp(x)=eexp(x)=ex x y y =(exp(-i=(exp(-i1 1),),exp(-i,exp(-in n)t t则则 yy =1,=1,ayay =(=( , , j=1j=1n n|a|akjkj|, |, ),(ay ),(ay ) )k k=w.=w.从而从而 w w ayay maxmaxy=1y=1ayay = =aa 2021-11-3由矩阵范数诱导由矩阵

25、范数诱导与之相容的与之相容的向量范数向量范数定理定理5.3.35.3.3: :由由c cm m n n中已知的矩阵范数中已知的矩阵范数m m及任及任意非零向量意非零向量 a a c cn n定义定义c cm m中向量范数中向量范数: : x xv v=xa=xa* *m m, , 则则xxv v满足向量范数的满足向量范数的3 3条公理条公理; ;并且并且m m与与v v是相容的是相容的. .证证: : x x c cm m,xa,xa* * c cm m n n,x,xv v=xa=xa* *m m 显然满足显然满足非负及齐次性公理非负及齐次性公理; ; x+yx+yv v=(x+y)a=(x

26、+y)a* *m m=xa=xa* *+ya+ya* *m m xaxa* *m m+ya+ya* *m m =x=xv v+y+yv v. .v v称为由矩阵范数称为由矩阵范数m m诱导的向量范数诱导的向量范数. .相容性相容性: : x x c cm m,a,a c cn n m m,ax,axv v=axa=axa* *m m aam mxaxa* *m m=a=am mxxv v2021-11-3定理定理5.3.35.3.3: :由由c cn n m m中已知的矩阵范数中已知的矩阵范数m m及任及任意非零向量意非零向量 a a c cm m定义定义c cm m中向量范数中向量范数: :

27、 x xv v=xa=xa* *m m, , 则则xxv v满足向量范数的满足向量范数的非负性公理非负性公理. .证证: : x x c cm m, x, xv v=xa=xa* *m m 显然显然. .若若x x c cm m,x,xv v=xa=xa* *m m = =则则 ( (因因a a 0 0a a* *a0)a0)xaxa* * = = xa xa* *a a = = x=0 x=02021-11-3定义定义5.3.35.3.3: :由方阵由方阵a a的特征值的最大模数称为的的特征值的最大模数称为的谱半径谱半径, ,常记为常记为 (a).(a).2021-11-3方阵的任何矩阵范数

28、都比其谱半径大方阵的任何矩阵范数都比其谱半径大定理定理5.3.45.3.4: : a a c cn n n n, , (a)(a) aa,是是a a的任的任一矩阵范数一矩阵范数. . 证证: : 由定理由定理5.3.35.3.3知知: :存在向量范数存在向量范数,使使 y y c cn n,ay,ay ayay ( (* *) )令令 (a)=|(a)=|k k|,ax|,ax =k k x,0 x,0 x x c cn n, ,则则x0,x0,且且 (a)x=(a)x=k kx x=ax=ax axax 从上式消去正的公因子从上式消去正的公因子xx即得即得 (a)(a) a.a.2021-1

29、1-3正规矩阵正规矩阵的谱范数等于其谱半径的谱范数等于其谱半径定理定理5.3.55.3.5: : a a c cn n n n,a,a* *a=aaa=aa* * aa2 2= = (a).(a).证证: a: a2 2=(=(maxmax( (a a* *a a) ) )1/21/2. .由由p.192p.192的定理的定理4.3.24.3.2知知: :正规矩阵的奇异值是其正规矩阵的奇异值是其特征值的模数特征值的模数, ,故故(maxmax(a(a* *a)a)1/21/2= = (a),(a),从而从而得证得证aa2 2= = (a).(a).注注: :定理定理5.3.55.3.5说明说明

30、定理定理5.3.45.3.4中关于矩阵范数的中关于矩阵范数的下界下界 (a)(a)可以达到可以达到( (例如例如, ,对于正规矩阵此下对于正规矩阵此下界是矩阵的谱范数界是矩阵的谱范数) ). .2021-11-3命题命题 单位矩阵单位矩阵e e的的任意诱导矩阵范数任意诱导矩阵范数都等于都等于1. 1. 证证: e: ei i= =注注: :其它范数不一定有此性质其它范数不一定有此性质, ,例如例如: :eef f= = n n 1,1,当当n1n11|max|max00 xxxexxx2021-11-3矩阵范数小于矩阵范数小于1 1的方阵的方阵定理定理5.3.65.3.6: : a a c c

31、n n n n, ,对任意诱导矩阵范数对任意诱导矩阵范数, ,若若a1,a0,0,存在正存在正整数整数n n使使 k k n,|an,|a(k)(k)-a|-a|0,0,存在正整数存在正整数 n n 使使 k k n,|an,|a(k(k) )-a|-a| . .相当于在相当于在2 2维平面上按维平面上按范数范数2 2收敛。收敛。 2021-11-3矩阵矩阵( (包括向量包括向量) )序列的极限序列的极限定义定义5.4.15.4.1: c: cm m n n中的矩阵序列中的矩阵序列aak k=a=a1 1,a,a2 2,a,a3 3, , 收敛于收敛于a a c cm m n n, ,记为记为

32、limlimk k a ak k=a,=a,如果如果 i=1,i=1,m,j=1,m,j=1,n, ,n, limlimk k(a(ak k) )ijij=lim=limk ka aijij(k(k) )=a=aijij, , 这里这里, ,记记 a ak k=(a=(aijij(k(k) ); a=(a); a=(aijij).).例例1 v1 vk k=(1,1/k)|k=1,2,=(1,1/k)|k=1,2, lim limk kv vk k=(1,lim=(1,limk k(1/k)=(1,0).(1/k)=(1,0).例例2 a2 ak k= lim limk ka ak k= =,

33、.2 , 1|1111kkkk11012021-11-3矩阵矩阵( (包括向量包括向量) )序列极限性质序列极限性质设极限设极限limlimk ka ak k=a,=a,limlimk kb bk k=b=b存在存在,u,v,u,v为任意为任意常数常数 矩阵序列的极限若存在必唯一矩阵序列的极限若存在必唯一; ; limlimk k(u(ua ak k+vb+vbk k)=u)=ulimlimk ka ak k+v+vlimlimk kb bk k; ; 线性组合线性组合 limlimk k( (a ak kb bk k)=)=limlimk ka ak klimlimk kb bk k; ;

34、乘积乘积 设设 k,ak,ak k可逆可逆和和limlimk ka ak k可逆可逆, ,则则aak k-1-1 收敛且收敛且 limlimk ka ak k-1-1=(lim=(limk ka ak k) )-1 -1 逆元逆元注注: :中要求中要求: : k,ak,ak kb bk k有意义有意义. .若若p,qp,q为任意常矩为任意常矩阵使乘积阵使乘积papak kq q有意义有意义, ,则由则由推出推出 limlimk k(p(pa ak kq q)=)=limlimk kp plimlimk ka ak klimlimk kq q=paq=paq2021-11-3矩阵序列极限性质矩阵

35、序列极限性质的证明的证明 设设 a ak k可逆和可逆和a=lima=limk ka ak k可逆可逆, ,则则aak k-1-1 收敛且收敛且 limlimk ka ak k-1-1=(lim=(limk ka ak k) )-1 -1 证证: :由线性代数知由线性代数知: :方阵方阵a a可逆可逆detadeta 0&a0&a-1-1=(1/deta)adj(a),=(1/deta)adj(a),其中其中adj(aadj(a) )是是a a的的伴随矩阵伴随矩阵, ,其其ijij元是元是a a的的jiji元的元的代数余子式代数余子式; ;由于由于detadeta及及adj(a

36、adj(a) )的每个元素的每个元素均是均是a a的元素的的元素的连续函数连续函数( (多项式多项式) )又得又得 limlimk kdetadetak k=det(lim=det(limk ka ak k)=deta; )=deta; limlimk kadj(aadj(ak k)=adj(lim)=adj(limk ka ak k)=adj(a)=adj(a).). limlimk ka ak k-1-1=lim=limk k(1/deta(1/detak k)adj(a)adj(ak k) =(1/deta)adj(a)=a =(1/deta)adj(a)=a-1-1=(lim=(lim

37、k ka ak k) )-1 -1 2021-11-3矩阵序列矩阵序列按范数收敛按范数收敛的概念的概念定义定义: c: cm m n n中的矩阵序列中的矩阵序列aak k=a=a1 1,a,a2 2,a,a3 3, , 按范按范数数收敛收敛于于a a c cm m n n, ,如果如果limlimk ka ak k- -a a=0.=0.利用任二矩阵范数的等价性立即推出利用任二矩阵范数的等价性立即推出命题命题: :对任意两个等价的矩阵范数对任意两个等价的矩阵范数 , , , , 都有都有limlimn naak k-a-a=0 =0 lim limn naak k-a-a=0=0( (即按任意

38、两个矩阵范数的收敛实质上等价即按任意两个矩阵范数的收敛实质上等价) )0 0 limlimn naak k-a-a d d limlimn naak k-a-a0 0 limlimn naak k-a-a (1/c)lim(1/c)limn naak k-a-a2021-11-3矩阵序列的收敛与按范数收敛等价矩阵序列的收敛与按范数收敛等价定理定理5.4.15.4.1: : 对对c cm m n n中的矩阵序列中的矩阵序列aak k 和任意范和任意范数数都有都有limlimk ka ak k=a=a limlimk ka ak k- -a a=0=0证证: :由矩阵范数等价性只须对任意范数由矩阵

39、范数等价性只须对任意范数, ,例如例如 1 1证明即可证明即可. . 因因a ak k- -a a1 1= =maxmax1 1 j j n n( ( i=1i=1m m|a|aijij(k)(k)-a-aijij|),|),故故 limlimk k a ak k=a =a i,ji,j, , limlimk k|a|aijij(k)(k)-a-aijij|=0|=0 j,j, limlimk kmaxmax1 1 j j n n( ( i=1i=1m m|a|aijij(k)(k)-a-aijij|)=0|)=0 limlimk ka ak k- -a a1 1=0=02021-11-3矩阵

40、范数小于矩阵范数小于1 1的方阵幂的极限的方阵幂的极限定理定理5.4.25.4.2: :对对c cn n n n中的任意矩阵中的任意矩阵a a和任意范和任意范数数成立成立: : a a11 limlimk ka ak k=0=0 称称a a收敛于收敛于0 0证证: lim: limk ka ak k-0-0=lim=limk ka ak k limlimk ka ak k =0=0按相容性公理按相容性公理 a ak k=aaaak-1k-1 a aa ak-1k-1 a aa aa ak-2k-2 a aa a=a ak k 2021-11-3矩阵范数小于矩阵范数小于1 1的方阵幂的极限的方阵

41、幂的极限续续推论推论: :对对c cn n n n中的任意矩阵中的任意矩阵a a和任意范数和任意范数 成立成立: : a a11 (e-a) (e-a)-1-1=e+a+a=e+a+a2 2+ +a+ak k+ +证证: :对任意正整数对任意正整数k k成立成立(e-a)(e-a)(e+a+ae+a+a2 2+ +a+ak k)=e-)=e-a ak+1k+1令令k k趋向于趋向于 取极限得取极限得( (因因limlimk ka ak+1k+1=0=0) )(e-a)lim(e-a)limk k( (e+a+ae+a+a2 2+ +a+ak k)=e )=e lim limk k( (e+a+

42、ae+a+a2 2+ +a+ak k)=(e)=(e a)a)-1-12021-11-3复习复习jordanjordan标准形标准形定理定理2.3.12.3.1(95(95页页) ): : 若若a a c cn n n n 的初等因子是：的初等因子是：则存在可逆变换矩阵则存在可逆变换矩阵p,p,使使 a=pa=pdiag(jdiag(j1 1, ,j jr r) )p p-1-1其中其中 j ji i=j=ji i(i i)=)=1212,rdddr111iiiiidd112rjjppj2021-11-3方阵收敛于零的充要条件方阵收敛于零的充要条件定义定义: : a a c cn n n n称

43、为收敛于零称为收敛于零, ,如果如果limlimk ka ak k=0=0定理定理5.4.35.4.3: : a a c cn n n n 收敛于零的充要条件是收敛于零的充要条件是(a)1 (a)3i3ddkikikkikkidkidkkikkikkiccccc11111122110101010kkkkkkkkkkkkkkkkcccccc112211332211000100010000000010002021-11-3limlimk ka ak k=0 =0 i,limi,limk kj ji i(i i) )k k=0=0 i,limi,limk ki ik k=0 =0 ( (公式公式(

44、(* *) )注注) ) i,|i,|i i|1|1 (a)1 (a)1注注: lim: limk ki ik k=0 =0 | |i i|1|1 幂级数幂级数k=0k=0 i ik k当当|i i|1|1时绝对收敛时绝对收敛, ,从从而逐项微分而逐项微分k k次所得级数次所得级数k=ik=i k!ck!ck ki ii ik-ik-i也绝对也绝对收敛收敛. .所以对任意所以对任意i, limi, limk kc ck ki ii ik-ik-i=0=0 从而从而 limlimk kj ji i(i i) )k k= =0 02021-11-3例例5.4.15.4.1对下列已知矩阵对下列已知矩

45、阵a,a,判断判断a ak k的敛散性的敛散性 a= a= , , , . , , , .解解: :对任意正整数对任意正整数k,k, a ak k= = 故故 limlimk ka ak k 不存在不存在, ,即发散即发散. . 解解: :因因 (a)=1/2,1/3,1/4,(a)=1/2,1/3,1/4,故故(a(a)=1/21,)=1/21, limlimk ka ak k=0=0, ,即即 a ak k 收敛于零收敛于零. .解解: :易见对任意正整数易见对任意正整数k,k, a ak k= =故故 limlimk ka ak k =diag(1,0,0),=diag(1,0,0),收

46、敛收敛. .解解: :(a(a)aa1 1= = 0.90.9 1,1,故故limlimk ka ak k=0=0, ,即即 a ak k 收收敛于零敛于零. .9 . 019 . 0110111 . 03 . 08 . 06 . 0101kkkkk9.09.09.0114/ 1113 / 112/ 12021-11-3 a= , a= , a ak k = = . .证证: :对对k k用归纳法证明用归纳法证明. .当当k=1k=1时成立时成立, ,设等于设等于k k时时已成立已成立, ,则则 a ak+1k+1=aa=aak k= = 另外另外, ,10111011011kk1011101

47、k10.910.911,0.90.9kkkadiagbb( )0.9 1lim0kkbb1 0 0lim(1, lim)0 0 00 0 0kkkkadiagb1,1,21,3,.kkkkaakaaak一般有2021-11-35.5 5.5 矩阵幂级数矩阵幂级数定义定义5.5.15.5.1: :对于对于c cm m n n中的矩阵序列中的矩阵序列aak k|k|k=1,2,=1,2, =(a=(aijij(k)(k)|k)|k=1,2,=1,2,称矩阵级数称矩阵级数 k=1k=1 a ak k=a=a1 1+a+a2 2+ +a+ak k+ + ( (绝对绝对) )收敛收敛于于a=(aa=(a

48、ijij) ) c cm m n n, ,记为记为 k=1k=1 a ak k=a,=a,如果如果( (在绝对收在绝对收敛意义下敛意义下) ) i,j,i,j, k=1k=1 a aijij(k)(k)=a=aijij例例1 1: a: ak k=diag(-1)=diag(-1)k-1k-1/2/2k k,0),0) k=1k=1 a ak k=diag(=diag( k k=1=1 (-1)(-1)k-1k-1/2/2k k,0),0) =diag( =diag(1/21/2)/(1-(-)/(1-(-1/21/2),0),0) =diag( =diag(1/31/3,0) ,0) 绝对收

49、敛绝对收敛例例2 2: b: bk k=diag(-1)=diag(-1)k-1k-1/k,1/2/k,1/2k k) ) k=1k=1 b bk k=diag(=diag( k k=1=1 (-1)(-1)k-1k-1/k,/k, k=1k=1 1/21/2k k) ) =diag(ln =diag(ln 2,1) 2,1) 收敛非绝对收敛收敛非绝对收敛2021-11-31111112(1)(1)22001112 1()300kkkkkkkka1111111111( 1)( 1)ln211122( 1)( 1)ln(1)ln(1)ln2kkkkkkkkkkkkkkkkbxxxkk此变项级数非

50、绝对收敛！此变项级数非绝对收敛！2021-11-3矩阵幂级数之例矩阵幂级数之例( (第第240240页页) )定义定义5.5.25.5.2形如形如 k=0k=0 c ck ka ak k=c=c0 0e e+c+c1 1a+a+c+ck ka ak k+ +, , a a c cn n n n, ,的矩阵级数称为的矩阵级数称为a a的一个的一个矩阵幂级数矩阵幂级数. .例例5.5.55.5.5(1)(1): :下列矩阵幂级数不收敛下列矩阵幂级数不收敛: : (2)(2): :下列矩阵幂级数收敛但不绝对收敛下列矩阵幂级数收敛但不绝对收敛: : 21221112111 11111111kkkkkk

51、kkkkkk12122112111( 1)11( 1)( 1)111( 1)()1)1(kkkkkkkkkkkkkkkkkk2021-11-3复习正项级数的一些性质复习正项级数的一些性质 正项级数正项级数 k=1k=1 a ak k收敛就是绝对收敛收敛就是绝对收敛. . 正项级数正项级数 k=1k=1 a ak k收敛收敛 递增递增部分和部分和数列数列 s s1 1, ,s,sn n, ,有有限上界有有限上界. . 即即: :存在与存在与n n无关的正数无关的正数 m m 使使 n,n,s sn n m m, , s sn n= = k=1k=1n na ak k前前n n项和项和( (部分和

52、部分和) ) 比较判别法比较判别法: :若正项级数若正项级数 k=1k=1 a ak k收敛和收敛和|b|bk k| | a ak k, ,则级数则级数 k=1k=1 b bk k绝对收敛绝对收敛. .证证: : n,n, k=1k=1n n|b|b(k)(k)| | k=1k=1 a a(k)(k)= = m m . .例例 b bk k=|a=|aijij(k)(k)|,b|,bk ki i=1=1m m j=1j=1n n|a|aijij(k)(k)|=|= a ak k= =a ak k2021-11-3矩阵级数绝对收敛的充要条件矩阵级数绝对收敛的充要条件定理定理5.5.15.5.1:

53、 : 设设a ak k c cm m n n, ,为任意矩阵范数为任意矩阵范数. . k=1k=1 a ak k绝对收敛绝对收敛 正项级数正项级数 k=1k=1 a ak k收收敛敛证证:(:(按矩阵范数等价性按矩阵范数等价性) )不失一般性可取不失一般性可取 a ak k= = i=1i=1m m j=1j=1n n|a|aijij(k)(k)|. |. 例例5.2.15.2.1(p.218)(p.218)又按正项级数收敛的比较判别法又按正项级数收敛的比较判别法 k=1k=1 a ak k收敛收敛 i,j,i,j, k=1k=1 |a|aijij(k)(k)| |收敛收敛, ,从而得证从而得

54、证充分性充分性. . 反之反之, ,由于由于i,ji,j的有限性及绝对收敛性的有限性及绝对收敛性, , i,j,i,j, k=1k=1 |a|aijij(k)(k)| |收敛收敛i=1i=1m m j=1j=1n n( ( k=1k=1 |a|aijij(k)(k)|)|) 交换求和顺序交换求和顺序 = = k=1k=1 ( ( i=1i=1m m j=1j=1n n|a|aijij(k)(k)|)|)收敛收敛得证得证 k=1k=1 a ak k收敛收敛. . 2021-11-3复习数项幂级数的一些性质复习数项幂级数的一些性质数项幂级数数项幂级数: : k=0k=0 c ck kx xk k,

55、x,c,x,ck k c,xc,x为变元为变元,x,x0 0=1.=1. 存在存在r r 0 0使得使得: :当当|x|r,|x|r,|x|r, k=0k=0 c ck kx xk k发散发散.|x|r.|x|r称为称为 k=0k=0 c ck kx xk k的收敛的收敛圆圆;r;r称为它的称为它的收敛半径收敛半径. .在收敛圆内在收敛圆内, ,幂级数幂级数可对可对x x逐项求导逐项求导, ,所得幂级数仍绝对收敛所得幂级数仍绝对收敛. . 计算收敛半径计算收敛半径的的dalembertdalembert公式公式: :r=limr=limk k|c|ck k/c/ck+1k+1|.|.例例:e:

56、ex x= = k=0k=0 (1/k!)x(1/k!)xk k, r=lim, r=limk k|(k+1)!/k!|=|(k+1)!/k!|= . . ln(1+x)= ln(1+x)= k=1k=1 ( (-1)(-1)k-1k-1/ /k k)x)xk k, , r=lim r=limk k| |(-1/k)/(1/(k+1)(-1/k)/(1/(k+1)|=1.|=1.2021-11-3矩阵幂级数绝对收敛的充分条件矩阵幂级数绝对收敛的充分条件 定义定义5.5.25.5.2形如形如 k=0k=0 c ck ka ak k=c=c0 0e e+c+c1 1a+a+c+ck ka ak k

57、+ +, , a a c cn n n n, ,的矩阵级数称为的矩阵级数称为a a的一个的一个矩阵幂级数矩阵幂级数. . 定理定理5.5.35.5.3( (绝对收敛充分条件绝对收敛充分条件) ): : 设设a a c cn n n n, ,为为c cn n n n任意矩阵范数任意矩阵范数,r,r为数项幂为数项幂级数级数: : k=0k=0 c ck kx xk k的收敛半径的收敛半径. .如果如果a a r,r,则则 k=0k=0 c ck ka ak k绝对收敛绝对收敛. .证证: :按假设按假设 k=0k=0 | |c ck ka ak k| |= = k=0k=0 | |c ck k|

58、|a ak k收敛收敛. .此外此外, , a ak k a aa a a ak k c ck ka ak k | |c ck k| |a ak k . . 由正项级数比较定理由正项级数比较定理, , k=0k=0 c ck ka ak k收敛收敛, ,再由再由定理定理5.5.1,5.5.1, k=0k=0 c ck ka ak k绝对收敛绝对收敛. .注注: :若若r=r= , ,则对任意则对任意a a c cn n n n, , k k=0=0 c ck ka ak k绝对收敛绝对收敛. .2021-11-3收敛判别应用举例收敛判别应用举例 e ex x= = k=0k=0 (1/k!)x(1/k!)xk k,r=lim,r=limk k|(k+1)!/k!|=|(k+1)!/