微积分换元积分法5.2ppt课件

1、5.2换元积分法1；. xxd2cosCx 2sin解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令xt2 xxd2costtdcos21 Ct sin21Cx 2sin21 x2sinx2cos xxdcosCx sinx2cos2.2x因为因为 xd)d(221x,d21dtx tdt21xt2 第一换元积分法第一换元积分法2；.例5.6求下列不定积分22x ax dx求3；.定理定理( ) ( ) ( ) dg x dxfxxx uufd)(第一类换元公式第一类换元公式 )(d)(xxf )(xu （）)(xu 可导可导,则有换元公式则有换元公式设设)(uf具有原函数具有原函数,注注 “

2、凑微分凑微分”的主要思想是的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择合理选择 是凑微分的关键是凑微分的关键.)(xu )(xu 4；.小结小结常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有 xbaxfd)( xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0()(d)(1abaxbaxfa 2d)1(xxxf )1d()1(xxf xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf xeefxxd)()d()(xxeef xxxfd)()d()(2xxf 5；. xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxx

3、fd11)(arcsin2 xxxfd11)(arctan2小结小结 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctanCxf )(ln xxfarcsind)(arcsin xxfxfd)()( )()(dxfxf6；.例5.7求下列不定积分50(1) (2)xdx221(2)dxax221(3)dxax221(4)dxax(5) tan xdx1(6)lndxxx7；.例例5.75.7（4 4） )0(d122 axxa解解:因为因为 221xa

4、原式原式= xxaxxaad1d121 Cxaxaa lnln21Cxaxaa ln21 xaxaa1121)0(ln21d122 aCaxaxaxax8；.例例5.7 5.7 （5 5） xxdtan解解：原式原式=xxxdcossin xxcoscosdCx coslnCxxx sinlndcot换元积分法换元积分法9；.例例5:85:8求下列积分求下列积分2(1) sindx x2cosd =x x思考：？10；.例例5.10 5.10 求下列积分求下列积分223(1)d1xxxx11；.补充例题补充例题 求求 xxd2sin法一法一 xxd2sind2sin xCx 2cos21 法二

5、法二 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx Cx 2sinxu2 uudsin21xusin Cu cos21 uud2Cu 221)2( x解解Cxxx cosdsinCxxx 1d1 12；. 法三法三 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx Cx 2cosxucos uud2Cu 2 同一个积分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的可能得到表面上不一致的结果结果,但是实际上都表示同一族函数但是实际上都表示同一族函数. 注注换元积分法换元积分法Cxxx 1d1 13；.第二换元积分法xxd11 有根式有根式解

6、决方法解决方法 消去根式消去根式,xt 令令 xdxxd11 ttt1d2tttd1112 tttd11d2Ctt )1ln(22Cxx )1ln(22)0(2 ttx困难困难即即则则ttd2tttd2 回代回代14；.根据被积函数根据被积函数f(x)的形式，选择不同的变量代换，如：的形式，选择不同的变量代换，如：.)()()()()(1)(1cxFctFdtttfdxxfxttxdttdx）（）（第二种换元积分法第二种换元积分法 1.根式换元法（消去根式法）举例：根式换元法（消去根式法）举例：x1dx.1313dxxx当被积函数中含有被开方因式为一次式的根式当被积函数中含有被开方因式为一次式

7、的根式 ,baxn则设则设. tbaxn1d(1665.12)xxx课本页例（1）15；.2. 三角换元法（课本三角换元法（课本164页）页）三角换元的目的是化掉根式三角换元的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 16；.axa22 ax例例 5.11 求下列积分求下列积分22(1)d(0)axxa解解令令taxsin ttaxdcosd 2,2 txxad22 ttadcos22 taa222sin)d2cosd1(2d22cos122tttattaCtta )2sin21