9.1分式及其基本性质讲解与例题

1、数学试卷9.1分式及其基本性质1了解分式产生的背景和分式的概念，理解分式与整式概念的区别与联系2了解分式的定义，会求一个分式有意义、无意义、值为零的条件3理解分式的基本性质及其内涵要点，能灵活运用分式的基本性质进行分式的变形4增强数学的符号感，感受类比思想在数学中的巨大作用1分式(1) 分式及有理式的概念一般地，如果a， b 表示两个整式，并且b 中含有字母，那么式子aa叫做分式，其中b叫做分式的分子，b 叫做分式的分母分式是两个整式相除的一种表达方式，正如分数可看成两个整数相除的一种表达方式一样理解分式的概念还应弄清两个问题：一是分式是两个整式相除的商，那么分子就是被除式，分母就是除式， 而

2、分数线可以理解为除号，还兼有括号作用；二是分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分式的分母必须有字母并且不能为0.整式整式和分式统称为有理式，即有理式分式整式和分式的区别在于分式的分母中含有字母因此，在判断一个代数式是否是分式时，只需看未化简的代数式的分母中是否含有字母即可【例 11】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？x 4 y 2yab 3x y3， x， y ， x y， 2 ， ， x y.4y2yx y解： 分式有： x，y， x y， x y；xab3整式有： 3， 2 ， .分式是形式定义，判断一个代数式是否为分式，只看形式，不能看化简后的y2y2结果如虽然y 化简之后为

3、y，但是 y 是分式(2) 分式有意义、无意义的条件分式的分母相当于除式中的除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即分aa式 b有意义的条件是分母b0；分式 b无意义的条件是分母b 0.数学试卷【例1 2】 (1)当x_ 时，分式x2x2 4有意义(2) 当 x_ 时，分式1x 1没有意义解析：(1)2当x40，即x±2时，分式x 2x2 4有意义；(2) 当x 10，即x1 时，1分式 x 1没有意义答案： (1) ±2(2) 1使一个分式有意义或无意义，只看分母，可令分母等于零，列出方程，求出未知数的值， 若使分式有意义则该字母不等于求出的数值， 若使分式无意

4、义则该字母等于求出的数值(3) 分式值为零的条件分式值为零有两个条件：一是分子等于零，二是分母的值不为零两者必须同时满足，缺一不可【例 1 3】已知分式x1的值是零，那么x 的值是 () x1A 1B 0C1D±1解析： 由题意知，当 x 10， x10时，分式的值等于0，因此 x 1. 故选 C答案： Ca 0，且0时，分式 a值为 0.bb2分式的基本性质(1) 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以( 或除以 ) 同一个不等于零的整式，分式的值不变即aa· m a÷ m， 都是整式，且0) (b b· m b÷ m abmm(2) 理解分

5、式的基本性质的注意事项：性质中的a，b， m表示整式 m0，因为字母取值是任意的， 所以 m有可能等于零， 应用性质时应着重考查 m值是否为零应用基本 性质时，要充分理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误【例 2 1】判断下列各式中从左边得到右边的变形是否正确n 3n(1)() ；m2mbbc(2)a ac(2) ；x yxy(3)x2 y2 xy() ；24(4)xy x2y2() 解析： (1)中的变换分子、分母不相同；(2) 中的分子、分母同乘以字母c，但是题目中无法确定字母 c 是否为 0，故不一定正确；(3) 中的分式有意义，隐含条件x y0， 因此变换正确

6、； (4)中的分子的变换与分母的变换不相同，不符合分式的基本性质，故错误答案： (1)错误(2) 错误(3) 正确(4) 错误解答这类问题，主要考虑三方面：(1) 分子和分母是否进行了同样的乘除；(2) 所同乘以 ( 或同除以 ) 的数 ( 或整式 ) 是否确保不为 0；(3) 变换前后分式的值是否发生了变化，只有值不变的才可能正确数学试卷【例 2 2】填空：y(1)3x3x2y；(2)xxxy x2xyx y；(3)7xy75x2y；1a b(4)aba b.y2解析： (1)将分式 3x的分母乘以 xy，才能得到3xy，因此只有分子也同乘以xy，分式的值才能不变； (2)根据分式的基本性质

7、分子分母同时乘以( x y) ，值不变，且最后结果的分子是xyx2；(3)分子分母同时除以xy；(4)分子分母同时乘以(a ) b答案： (1)xy2(2)x y x yx2 2xyy2(3)5x (4)a b a b a2 b23分式的约分(1) 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分即约分时分式的分子和分母都同除以分子和分母的公因式(2) 约分的方法：当分子、分母是单项式时，约去分子、分母的公因式；当分子、 分母是多项式时， 要先将分子、 分母因式分解， 将其转化为因式相乘的形式，然后进行约分；当分 子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身

8、的前边(3) 最简分式分子与分母只有公因式1 的分式，叫做最简分式一个分式约分的结果应为最简分式或者整式x2 6x9【例 3】约分： (1)x2 9；x2 4 4y2xy(2)4y2 x2 .分析： (1) 分子是一个完全平方式，可以分解，分母符合平方差公式的结构特点，也可以分解 (2) 分子、分母是多项式，要先将分子、分母因式分解，将其转化为因式相乘的形式，然后进行约分，还应注意分母中符号的处理x2 6x 9x2x 3解： (1)x2 9xx x 3.x24 4y2x 22x 2yxyy(2)4y2 x2x 2yx 2y x 2y.(1) 能熟练地分解因式，是进行约分的关键，一般一个一次多项

9、式，不能提取公因式的话就不能再分解；二次二项式，且符号相反，每一项都是平方项，考虑用平方差公式分解；二次三项式，有两项是平方项，且符号相同，另外一项是两个底数积的2 倍或者倍的相反数，考虑用完全平方公式分解2(2) 切记约分是对于分子、分母是乘积形式时进行的变形，分子、分母不是乘积形式的 1 12y1yx 1a不能进行约分诸如abb，xaa或等于 b 都是错误的c13x，x ac 1xbb 14分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件的综合运用分式有意义、 无意义的条件及分式值为零的条件的考查，常与绝对值、 乘方等知识一起综合出题， 特别是考查分式值为零的题目，在利用分子求出字母的取值后，一

10、定要代入分母中进行检验，看是否使分母为零，把使分母为零的值舍去数学试卷【例 4】 (1)如果分式| a| 2的值为 0，则 a _ ；ax2 9a(2) 若分式 2x 的值为 _的值为零，则x 4x3解析： 分式的值为零的条件是：分子等于零，且分母不等于零(1) 由条件可得 | a| 2 0，且 ( a2)( a3) 0，解得 a 2.(2) 由条件可得 x2 9 0，且 x2 4x30，解得 x 3.答案： (1) 2(2) 35分式的求值由已知条件， 根据分式的基本性质， 适当把分式进行变形， 然后把已知条件代入变形后的分式，来求分式的值若是已知条件是分式的形式， 常常把要求值的分式的分子

11、、 分母同除以一个适当式子 进行变形，使要求值的分式出现已知的形式有的还要把已知条件变形x【例 5】已知 y 3，求分析： 由已知条件可知x2 2 3 2xyyx2 xy y2 的值y0. 利用分式的基本性质，用 y2 去除待求式的分子与分母，再x x将其变形，使之出现条件式 y，把 y 3 代入即可求解x解： 由题意可知 y0， y3，因此x 22x 3x23y2yy96 3 12 2xy x 293 1 7 .x2 xy y2xyy 16分式基本性质的灵活运用分式的变形是多样的，但无论哪一种变形，其依据都是分式的基本性质分式基本性质的应用主要有以下几种情况：(1) 分式的分子、分母改变符号

12、的问题分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变它是处理分式的分子、 分母和它本身的符号问题的主要依据，在使用时， 可以分为以下三种情况， 分列为三条法则：分式的分子、分母同时改变符号，分式的值不变；分式的分子、分母中有一个改变符号，仅当分式本身的符号也改变，分式的值不变；分式的本身若改变符号，仅当分子、分母中的一个也改变符号，分式的值不变m m mmm m例如，根据有n n， n n， n n ；m m mm根据和，有 n n ， n n.应用这 个法则时，应注意：当分子、分母是多项式时，它们的第一项的符号并不一定是分子或分母的符号因此应注意添括号法则的应用 2x2 3

13、x 5如把分式的分子、分母的最高次项的系数化为正数时，应有添括号的步骤，x 52x2 3x 5x2 3x，再应用法则，同时改变分子及分式本身的符号，则分x 5x 5式的值保持不变，即 2x2 3x5 x2 3x 2x2 3x 5.x 5x 5x 5 y3 y2 1又如 1 y y2数学试卷 y3 y2 y2y y21 y2 y 1 .y3把分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数的一般方法是：先将分子、分母降幂排列；若分 子 ( 或分母 ) 的最高次项的系数是负数，则将整个分子 ( 或分母 ) 放入带有“”的括号内 ( 注意：放入括号内的各项都要变号 ) ；再根据分式的符号变化法则调整即可(2

14、) 分式中系数化整问题把分式中的分子、分母的各项系数化为整数，只要找各项系数的最小公倍数即可(3) 分式中字母倍增问题当分式中的字母有倍数变化时，要分别观察分子、分母的倍数变化，方可探究整个分式的变化【例 6 1】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号：5xyx 2y ax 3y(1)2a ； (2) x y；(3) bx .分析：由分式的基本性质可得， 分式的分子、 分母以及分式本身的符号改变其中的任何两个，分式的值不变(1) 需将分子的负号去掉，则分式本身的符号要改变； ( 2) 只改变分母的符号，则分式本身的符号也要改变；(3) 同时改变分子和分母的符号，分式本身不改变符号 5

15、xy5xy解： (1)2a 2a .x 2yx 2y(2) x y x y . ax 3yax 3yax 3y(3) bx bxbx .【例 6 2】下列各式从左到右的变形正确的是() x12x y0.2 ab2a b2yA1 x 2yB a 0.2 b a 2b2x yx 1 x1a b a bC x y xyD a b a b解析： 根据分式的基本性质，把分式的分子和分母扩大相同的倍数，不能漏乘分子、 分母中的任何一项，故B 项错误同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变其中的两个符号其值才不变，故C， D 两项也错误 A 项是分式的分子、分母都乘

16、以2 得到的，是正确的故选 A答案： A41 323 4a a【例 6 3】不改变分式的值，把分式中的分子、分母的各项系数化为整数，1212a a 3并使次数最高项的系数为正数分析：分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数是12，利用分式的基本性质，分式413216 3a3 12a212，得3 4a a ×12的分子、 分母同乘以1 21 6a2 12a4，再利用分式的符号变化法则，2a a 3 ×12数学试卷改变分式及分式分子的符号，结果不变41323 4a a12，解： 分式中的分子、分母同时乘以1212a a 341 3216 3a3 12a23 4aa ×

17、12得 1 21 6a2 12a4 .2a a3 ×12分式本身及分式分子的符号都变为“”，得16 3a312a2 3a3 12a23a3 12a2166a2 12a 4 6a2 12a 4 6a2 12a4 .x 2y【例 6 4】若分式xy中的 x， y 的值都扩大为原来的3 倍，则此分式的值 () A不变B扩大为原来的 3 倍11C缩小为原来的 3D缩小为原来的 6解析： 当 x，y 都扩大为原来的3 倍时，分母 xy 的值相应地扩大为原来的9 倍，分子 x2y 相应地扩大为原来的13 倍，故分式的值缩小为原来的.33xyx2yx 2y具体化简过程如下：xy9xy 3xy .答案： C7分式的实际应用分式的知识在现实生活、经济生活及生产实际中都有广泛应用主要是利用分式表示现实情境中的数量关系， 同时它也是表示现实世界一类量的数学模型， 解答的关键是认真审题，找到题目中的数量关系，列出分式解答有关分式的应用题时，要记住常用的几个数量关系，如工作效率与工作时间和工作量之间的关系，路程、速度、时间之间的关系等再者要明确常用图形的面积、体积公式及公式变形【例 7】如图，在一幅矩形风景画四周镶有宽度相同的木条，风景画的长为a cm，设四周木条的宽为x cm. 整幅风景画 ( 包括四周木框 ) 的矩形面积是S cm 2，则它的宽为 () SSSSA xaB 2x a