第32讲不等式解法及应用

1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座32)不等式解法及应用一课标要求：1 不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2 .一元二次不等式 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。3二元一次不等式组与简单线性规划问题 从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决

2、。二. 命题走向分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节(如 函数、数列等)交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等， 解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。预测2007年高考的命题趋势：1. 结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解 答题形式出现；2 .以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考 察考生阅读以及分析、解决问题的能力；3 在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与 函数、导数综合命题这一变化趋势；4.对含参数的不等式

3、， 要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。三. 要点精讲1.不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列 的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。(1) 同解不等式( f (x) g(x)与 f(x) F(x) g(x) F(x)同解；(2 ) m 0, f (x) g(x)与 mf (x) mg(x)同解，m ： 0, f (x) g(x)与mf (x) ： mg(x)同解;f (x)(3)0与 f(x) g(x) 0 (g(x) =0 同解)

4、；g(x)2. 元一次不等式解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础，必 须熟练掌握，灵活应用。'(1)a>0ax nb = 分(2)a = 0情况分别解之。【3心03. 元二次不等式2 2ax bx c 0 (a = 0)或 ax bx c ： 0 (a = 0)= 分 a 0及 a 0情况分 别解之，还要注意 i二b2 -4ac的三种情况，即=0或厶=0或丄：:0 ,最好联系二次 函数的图象。4. 分式不等式分式不等式的等价变形：f(x)>0二f(x) g(x)>0 , f(x)丿f(x) g(x)兰° g(x)g(x).g(

5、x)式 05. 简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法： 讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为 一般不等式； 等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：2 2|x|va二 x <a a<x<a(a>0),22|x|>a：= x >a x>a 或 x< a(a>0)。一般地有：|f(x)|vg(x)二g(x)vf(x)vg(x),|f(x)|>g(x) f(x)>g (x)

6、或 f(x)vg(x)。6. 指数不等式af(x) -ag(x)(1)当 a 1时，f(x) g(x)；当0 a ：1时,f（x） ： g（x）；7 对数不等式a» = N：= b=logNlog b等,l oga(a 0, b 0, logmbn)二 niogb, ml og f (x) log g(x)二(1 )当 a 1 时，咖 0If (xg(x)当osi时，f(x) 0f (x) vg(x)&线性规划（1 ）平面区域一般地，二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示Ax By C =0某一侧所有点组成的平面区域。 我们把直线画成虚线以表示区域不包括 边界

7、直线。当我们在坐标系中画不等式 Ax By 0所表示的平面区域时，此区域应 包括边界直线，则把直线画成实线。说明：由于直线 Ax By C = 0同侧的所有点的坐标 （x, y）代入Ax By C，得（X。，y°），从 Ax0 By0 C 的特别地，当C=0时，通常把到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点 正负即可判断 Ax By C -0表示直线哪一侧的平面区域。 原点作为此特殊点。（2 ）有关概念引例：设z =2x y，式中变量x, y满| x - 4 y 一 - 3足条件“ 3x +5y兰25，求z的最大值和最x色1小值。由题意，变量x, y所满足的每个不等式 都表

8、示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点（0,0）不在公共区域内，当x =0 ,y = 0时， z =2x y =0 ,即点(0,0)在直线 1° :2x 0上，作一组平行于I。的直线l : 2x t，r R，可知：当l在I。的右上方 时，直线l上的点（x, y）满足2x y 0，即t 0，而且，直线l往右平移时，t随之增 大。由图象可知，当直线 丨经过点A（5,2）时，对应的t最大，当直线丨经过点B（1, 1时，对应的t最小，所以，zmax二252 =12Zmin 2 11=3。在上述引例中，不等式组是一组对变量 x, y的约束条件，这组约束条件都是关于

9、 x, y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z =2x y是要求最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式，叫目标函数。又由于2x y是x, y的一次解析式，所以又叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性 规划问题。满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行 域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解（5,2）和（1,1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。四典例解析题型1 ：简单不等式的求解问题x2 1c0例1 . （ 2002京皖春，1）不等式组丿的解集是（)

10、x - 3x c 0A . x |- 1 v xv 1B.x | 0v XV3 C. x | 0v xv 1D.x |- 1 v XV3答案：C2 <11 C X <1解析：原不等式等价于:0 v xv 1。Xx 3)<00c x c3点评：一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识，是解决其它问题的基 础。x 1例2 . ( 2001河南、广东，1)不等式>0的解集为()x -3A. x|x<1B.x|x>3C.x|x<1 或 x>3D. x|1<x<3答案：Cx 1解析：由已知0=(x- 1) (x-3) >0,x-3/

11、 x<1 或 x>3.故原不等式的解集为x|x<1或x>3。点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等 式的解题思路是：分式化整式(注意分母不为零)。题型2 :简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例3. ( 1) (2002全国，3)不等式(1 + x) (1-| x |)> 0的解集是( )B. x | xv 0 且 xm 1C. x |- 1 v xv 1D. x | xv 1 且 xm 1x>0(2) (1997全国，14)不等式组<3_x 2_X的解集是()>1 |-3 + x 2 + xA.

12、 x | 0v xv 2B. x | 0v xv2.5C. x | 0v xv.6 D. x | 0v xv 3解析：(1)答案：D ；解法一：x> 0时，原不等式化为:( x+ 1) (x- 1)v 0,(1 + x) (1 - x)> 0,T v x v1二*二 0w xv 1。x色0xv 0 时，原不等式化为：(1 + x) (1 + x)> 0= (1 + x) 2>0,-x m 1,- xv 0 且 xm 1 o 综上，不等式的解集为xv 1 且 xM 1 o解法二：原不等式化为:'1 + x>0'1 + XC0J-|x|>0 或：

13、1-|x|£0x> -1解得二一1 v xv 1 ,Jx|£1x v 1解得即xv 1,l|x|>1原不等式的解集为 xv 1且xM 1 o点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。(2)答案：C解法一：当x>2时，原不等式化为3- x x-2去分母得(x+2) (3 x)>( x+3) (x 2),即一x?+ x + 6 > x? + x 6, 2x2 12 v 0，一 . 6 ：: X ：: ：. 6。 注意x> 2，得2< xv 6 ;3 x 2 x当0vxv 2时，原不等式化为，去分母得x2 +

14、 x+ 6> x2 x+ 6。3+x 2+x即 2x> 0 注意 0v xv 2，得 0 v xv 2。综上得0v xv6，所以选Co解法二：特殊值法取x=2，适合不等式，排除 A ;取x=2.5，不适合不等式，排除 D ;再取x= . 6，不适合不等式，所以排除B;选Co点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。1 2例4. ( 1) (1995全国理，16)不等式(一)x> 3 2x的解集是。3(2)(2002全国文5,理4)在(0,2n )内，使sinx>cosx成立的x取值范围为()A.兀5兀)U(、n ,)2471B.C.Ji，4D.Ji,4x4-2

15、t ,x £2,(3)(06 山东理，3 )设 f(x)= log t(x?-1), x2,则不等式f(x)>2的解集为()(A) (1, 2) - (3, +1(B) ( . 10 , +R)(D) (1, 2)(C) ( 1, 2) _(10 , +R)解析：(1)答案：x| 2v xv 4 将不等式变形得3"2 >3x则一x2+ 8> 2x,从而 x2 2x 8v 0, (x+ 2) ( x 4)v 0, - 2v xv 4，所以不等 式的解集是 x| 2 v xv 4.评述：此题考查指数不等式的解法；(2)答案：C解法作出在(0, 2 n )区间上

16、正弦和余弦函数的图象， 解出两交点的横坐标'和4由图46可得C答案。图4 6图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.(如图4 7 )。(3) C ；点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题 的有效手段。题型3:含参数的不等式的求解问题例5. (1)设不等式x2 2ax+a+2 < 0的解集为 M，如果MG : 1, 4,求实数a的 取值范围？(2)解关于x的不等式a(x 一1)> 1( a 1)。x2分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二 次函数之间的内在联系是关键所在；数形

17、结合的思想使题目更加明朗。解析：(1) M1 : 1 , 4有两种情况：其一是 M=._ ,此时 V 0;其二是M工_ , 此时 =0或厶>0，分三种情况计算 a的取值范围。设 f(x)=x 2ax+a+2，有 =( 2a)2 (4a+2)=4(a2 a 2)当< 0 时，一1v av 2, M= ： _ : 1, 4 ;当 =0 时，a= 1 或 2;当 a= 1 时 M= 1区:1, 4;当 a=2 时，m=2 § : 1, 4。当4> 0 时，av 1 或 a> 2。设方程f(x)=0的两根X1, X2,且X1< X2,那么 M= Xi, X2,

18、MU 1 , 4 = 1 W XiV X2< 4兰丿(1) 0, 且 f(4) 0 _a _4,且.： 0，-a +3aO18 _7a >0a 0a、1 或 a 2，解得 2v av 18 ,7 M - : 1, 4时，a的取值范围是（一1, I8 ）。7（2）原不等式可化为：（a _1）x （2 a）>0,x -2当a> 1时，原不等式与（x）（x 2） > 0同解。a1由于土 "2，原不等式的解为（一3当av 1时，原不等式与a - 2 )u (2, +3)。a -1a _2(x)(x 2) v 0 同解。a1a - 21由于1 -a -1a 1a

19、- 2 彳 1 a v 0,1a 1a=0 时，2a 1a -1=1:2，解集为（匸2a1,2)；a _ 20 v a v 1,a 1a -11=2，解集为加;=1 2,a -1解集为（2,汙。综上所述：当a> 1时解集为（ a.冷）U（2宀）；当Ov a v 1时，解集为（2,a 2a 2）;当a=0时，解集为0 ;当av 0时，解集为（，2）。a 1a -1点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及 一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 一是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构 造

20、关于a的不等式要全面、合理，易出错。例6. （1） （06重庆理，15）设a>0,n - 1,函数f（x）=alg（x2-2n+1）有最大值.则不等式 logn（x -5x+7） > 0 的解集为最大的数学模型中，约束条件为（)(2) (06 重庆文，15)设 a .o,a"，函数 f(x)=loga(x -2x 3)有最小值，则不等式loga(x -1)0的解集为 。解析：(1 )由于函数有最大值，则0 ： a ： 1。所以原不等式可转化为225 2320 ： x -5x 7 ： 1，又因为 x 5x，7=(x ) - 0 恒成立，由 x - 5x 7 ： 14解得 2

21、 ： x <3 ；(2)由于函数有最小值，故a .1。原不等式化为x-1 .0，即x .1。点评：含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类标准为a .1,0 ：a ：1两种情况，这也是分类的标准。题型4:线性规划问题x - y 1 _0例7. (1) (06安徽，10)如果实数x、y满足条件<y+1A0,那么2x y的最大值为(A . 2.1 C . -2(2)( 06天津理，3)设变量x、y满足约束条件y沁x + y 兰2冷二 3x -6，则目标函数z = 2x y的最小值为(A . 2C. 4解析：(1)当直线2x -y二t过点(0 , -1)时,

22、t最大，故选B；(2) B.点评：近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分知识大多都属 于基础题目，属于中低档题目。例8.( 1) (06四川理，8)某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1, ,生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2, b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1,d2元，月初一次性够进本月用原料A,B各Ci,Q千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润 d1x d2ya1xJra2y >c (A)严x+bzy | x

23、 R y-oQx +a2y “ (C)jbx+by 兰C2'x 30y-oa+b y eg(B)2x+b2y 兰C2|xX0y 一0Kx +a2y = g(D) jbix+dyg'x30y-0(2) (06浙江理,3）在平面直角坐标系中，不等式组x y - 2 _ 0,x - y 2 _ 0,表示的平面区x乞2域的面积是（1（A）-23（b）21(C)8（3）（ 06北京理,13)已知点9（D）-8x y冬4IP（ x，y ）的坐标满足条件y _X, 点O为坐标原y -1,点，那么|PO|的最小值等于，最大值等于a1x a2y _c1解析：（1）约束条件为dx by _C2，选

24、c；I x0y 一0（2）A ；（3）、2、, 10。点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经 常出现。题型5:不等式的应用例9. （06湖南理，20 ）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为:污物质量物体质量（含污物）为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙 ：分两次清洗。该物体初次清 洗后受残留水等因素影响，其质量变为 a(1乞a空3)。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x 0.8 (x a -1)，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是x 1中c (0.8 : c : 0.

25、99)是该物体初次清洗后的清洁度。(I )分别求出方案甲以及c二0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少;(n)若采用方案乙，当 a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使 总用水量最小？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。解析：(I )设方案甲与方案乙的用水量分别为x与乙由题设有 0翌=0.99,解得x +1x=19。y 0.95ay a由c =0.95得方案乙初次用水量为 3,第二次用水量y满足方程:= 0.99,解得y=4a,故z=4 a+3.即两种方案的用水量分别为19与4 a+3。因为当1 _a 一3时,x-z =4(4-a)，即x z,故方案乙的用水

26、量较少。(II )设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(I)得5c 4X =5(1-c)y=a(99 100c) (*),5c 41于是 x ' y+ a(99 - 100c)100a(1 - c) - a -1 ,5(1c)5(1c)当 a为定值时,x + y 启2一1"00a(1_c) _a_1 = -a + 4V5a-1 ,5(1-c)当且仅当15r100a(_c)时等号成立。1 1此时c =1 =(不合题意，舍去)或c =1 一= : (0.8,0.99),10(5a1W5a将 c = 1 一1一 代入(*)式得 x = 2.5a -1 a -1, y = 2

27、.5a - a.10 -5a1故10$时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为2 5a -1与2 5a - a ,最少总用水量是 T(a) = -a 4. 5a-1.当 1 <3W ,T'(a)-10，故T（ a）是增函数 他可以用二次函数的单调性判断）。这说明，随着 a的值的最少总用水量，最少总用水量最少总用水量。点评：通过实际情景建立函数关系式求解不等式问题成为高考的亮点，解题的关键 是建立函数模型，通过函数的性质特别是单调性建立不等关系求得结果。例10 . （1998全国文24、理22）如图6 1,为处理含有某种杂质的污水，要制造一 底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水

28、从A孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最 小（A、B孔的面积忽略不计）？解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则ky= ，其中k> 0为比例系数，依ab题意，即所求的a、b值使y值最小。根据题设，有 4b+2ab+2a=60 (a >0, b> 0),得b=30 - a2 a(0v a v 30),于是abkkk30a - a2丄"6464-a 32 -34 - (a 2)2 aa+2a + 234-2 (a 2)64a 21864当a+2=时取等号，y达到最小值。a +2这时a=6, a= 10 （舍去）将a=6代入式得 b=3,故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大。由题设知 4b+2ab+2a=60 (a>0, b>0),即 a+2b+ab=30 (a>0, b>0)。/ a+2b> 2 2ab 2、2、ab + ab< 30,当且仅当a=2b时，上式取等号.由 a >0, b> 0,解得 0v abw 18即当a=