第三章恒定磁场 2014

1、第三章 恒定磁场第第 3 3 章章 恒定磁场恒定磁场 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中它周围的媒质中 ，不仅有，不仅有恒定电场恒定电场 ，同时还有不随时间变，同时还有不随时间变化的磁场化的磁场 ，简称，简称 恒定磁场恒定磁场（Static Magnetic Field）。）。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处方法上却有许多共同之处。 学习本章时注意类比法的应用，特别是学习本章时注意类比法的应用，特别是“磁电比拟磁电比拟”。 恒定磁场的知

2、识结构框图如下。恒定磁场的知识结构框图如下。磁感应强度（B B）（毕奥沙伐定律）H H 的旋度B B 的散度基本方程磁位( )（J J=0）m分界面上衔接条件磁矢位（A A）边值问题数值法解析法分离变量法镜像法有限元法有限差分法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算图3.0 恒定磁场知识结构框图基本实验定律 (安培力定律）21211222112)sinsinrdldlIIkdFandrrel dl dIIdF212)1(2214012)(lRlReldIlIdF204安培力作用方式安培力作用方式如图所示如图所示3.1.1 3.1.1 安培力定律安培力定律式中真空中的磁导率式中真空中的磁导率 701

3、04H/mH/m3.1.2 3.1.2 毕奥毕奥沙伐定律沙伐定律 磁感应强度磁感应强度 电流之间相互作用力通过磁场传递电流之间相互作用力通过磁场传递: :BlIdRel dIlIdFlllR204对比对比: : 电荷之间相互作用力通过电场传递。电荷之间相互作用力通过电场传递。EqeRdVqFRV2041定义定义磁感应强度磁感应强度lRRel dIB204单位单位 T（wb/m2）特斯拉。特斯拉。式中式中 rrR 毕奥萨伐尔定律的应用毕奥萨伐尔定律的应用 一一. .毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律 静电场静电场: 取取dqEdEEd磁磁 场：取场：取lIdBdBBd20d4dRelIBR毕萨定律：毕

4、萨定律：Re单位矢量单位矢量大小：大小：20sind4dRlIB方向：方向： 右手螺旋法则右手螺旋法则 ? ? ?PlIdRBlIdlId电流元电流元 在磁场中的受力特点在磁场中的受力特点:(1) 电流元在磁场中的方向不同电流元在磁场中的方向不同,受力也不同受力也不同;存在一个方向使存在一个方向使0dFlId0dF定义定义lIFBddmaxB(2) 当电流元的取向与当电流元的取向与 磁感应强度的磁感应强度的方向垂直时方向垂直时, 受到的磁场力最受到的磁场力最 大大;磁感应强度的大小磁感应强度的大小定义该方向为磁感应强度的方向定义该方向为磁感应强度的方向BlIdmaxddFF 例题例题3-1 真

5、空中载电流为真空中载电流为I的的2L长直细导线在导线外任一点长直细导线在导线外任一点 P 所引起的磁感应强度所引起的磁感应强度. 解解：选择柱坐标系：选择柱坐标系, 直导线产生的磁场与直导线产生的磁场与 角无关，角无关， 1) 1) 2) z = 0 3) z = 0 半直线2/32202020) (444lllRzzdzIeReRdzIRel dIBLeIB202/ 12)(22/ 12)(240LzLzLzLzIe2/ 12202）（LLIeB2/ 12204）（LLIeB1) 方向方向: 四条线在四条线在P点产生的磁感应强度方向都是垂直点产生的磁感应强度方向都是垂直纸面向里纸面向里(如图

6、所示如图所示). 由例由例3-1,单个长度为单个长度为2l的细导线在的细导线在P点产生点产生的磁感应强度为的磁感应强度为: ellIB2220)2()2()2(2)2()2()2(22220220ababIbabaIB练习练习: :课本习题课本习题3-1-12) 方向方向: 任意元电流在任意元电流在 P点产生的磁感应强度的方点产生的磁感应强度的方 向是垂直纸面向里向是垂直纸面向里, 大小为大小为 ，所以，所以 3) 方向方向: 磁感应强度方向都是垂直纸面向里磁感应强度方向都是垂直纸面向里. P点磁场点磁场是是 两个半无限长的直线和一个半圆周共同产生两个半无限长的直线和一个半圆周共同产生, ,

7、半圆周磁感应强度是整圆周的一半半圆周磁感应强度是整圆周的一半. .204RIdldBRIRdRIdlRIB20)(2024020240zzeRIeRIB4400004)4)类似于类似于1),1),得得5)5)是两个半无限的载流导线和一个半圆周，所以是两个半无限的载流导线和一个半圆周，所以产生的磁感应强为：产生的磁感应强为： 习题习题 3-1-33-1-3 求两平行长的直线的单位长度的受力求两平行长的直线的单位长度的受力. . 产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为： dIB20dIIBlIFF221012zebaabIB2/1220)2(zeRIRIB44200 磁场的高斯定理磁场的高斯定理-

8、 -磁通连续性定理磁通连续性定理静电场：静电场：磁磁 场：场：?dSBiSeqSdD(静电场是有源场静电场是有源场)一一. 磁力线磁力线1. 规定规定 (1) 方向：磁力线切线方向为磁感应强度方向：磁力线切线方向为磁感应强度BB的单位面积上穿过的磁力线条数的单位面积上穿过的磁力线条数BSNBdd的方向的方向(2) 大小：垂直大小：垂直为磁感为磁感应强度应强度的大小的大小:仿照静电场的仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用线，恒定磁场可以用 B 线描绘，线描绘，B 线的微分方程线的微分方程0d lB直角坐标系中直角坐标系中dzBdyBdxBzyx图3.2.7 两根异向长直流导线的磁场分布图3.2.

9、8 两根相同方向长直流导线的磁场分布图3.2.9 两对上下放置传输线的磁场分布图3.2.10 两对平行放置传输线的磁场分布(2) 与电流相互交链，服从右手螺旋定则与电流相互交链，服从右手螺旋定则(3) 磁力线不相交磁力线不相交二二. .磁通量磁通量SNBddSBmdd通过面元的磁力线条数通过面元的磁力线条数 通过该面元的磁通量通过该面元的磁通量SdBSd对于有限曲面对于有限曲面SBmd磁力线穿入磁力线穿入对于闭合曲面对于闭合曲面SmSBd规定规定: :0m磁力线穿出磁力线穿出0m2. 磁力线的特征磁力线的特征: (1) 无头无尾的闭合曲线无头无尾的闭合曲线三三. .磁场的高斯定理磁场的高斯定理

10、BS磁场线都是闭合曲线磁场线都是闭合曲线 00BSdBSm 磁场是无源场（涡旋场）磁场是无源场（涡旋场）例例 证明在证明在 磁力线磁力线 为平行直线的空间中，同一根磁力线为平行直线的空间中，同一根磁力线 上各点的上各点的磁感应强度值相等。磁感应强度值相等。abS解解SmSBd0SBSBbabaBB 3-2 3-2 磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理一一. .磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理静电场静电场: 0d lE静电场是保守场静电场是保守场磁磁 场场:?d lB 以无限长载流直导线为例以无限长载流直导线为例 rIB20LlBdLlBdcosLrrId20I0磁场的环流与环路中所包围的电

11、流有关磁场的环流与环路中所包围的电流有关 ILPIBrrLrldd 若环路中不包围电流的情况？若环路中不包围电流的情况？IL 若环路方向反向，情况如何？若环路方向反向，情况如何？IBrLld rdLLrrIlBd2d0I01dlI1B2B2dl1012 rIB1r2rL2022 rIBlBlBdd21对一对线元来说对一对线元来说 2211cosdcosdlBlB2201102d2drIrrIr0d环路不包围电流，则磁场环流为零环路不包围电流，则磁场环流为零 12 推广到一般情况推广到一般情况 kII 1nkII1 在环路在环路 L 中中 在环路在环路 L 外外 L1I2IiI1kInIkIP

12、LiLlBlBdd则磁场环流为则磁场环流为 LilBd010kiiI内）LIkii(10 安培环路定律安培环路定律 恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分的线积分等于路径等于路径 L 包围的电流强度的代数和的包围的电流强度的代数和的 0 倍倍内iLIlB0d环路上各点的环路上各点的磁场为所有电磁场为所有电流的贡献流的贡献例例3.2.13.2.1 试求无限大截流导板产生的磁感应强度试求无限大截流导板产生的磁感应强度 B解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋）LKLBLBl d

13、BL021根据对称性根据对称性BBB21By02Key02Ke0 x0 x解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，eB)(B应用安培环路定律应用安培环路定律, ,得得202120lRIdBdlBeB210R2I) 1 ( 例例 3.2.23.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。图图3.2.12 3.2.12 同轴电缆截面同轴电缆截面1R01)212221RIRII取安培环路取安培环路 交链交链的部分电流为的部分电流为)(1R图图3.2.1 3.2.1 无限大截流导板无限大截流导板22232232223222

14、,32RRRIRRRIIIRR)3的圆面积的电流为这时穿过半径为应用安培环路定律，得应用安培环路定律，得2022232230lRR)R( IdBdlB0R)43B的分布图如图示)(BeB223223RRR2I) 3(21) 2RR200lIdBdlBeB2I0) 2( 图图3.2.12 3.2.12 同轴电缆截面同轴电缆截面恒定电场恒定电场与与静电场静电场一些典型几何图形的对比一些典型几何图形的对比dVeR)r(JB;dVeR)r(E)r(J)r(RR2020441eRIB;eREIR2200 xyeKB;eEK2200共同特征共同特征:0012. 2. 媒质的磁化媒质的磁化( (Magnet

15、ization) 媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。2) 媒质的磁化媒质的磁化无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，无外磁场作用时，媒质对外不显磁性， n1ii0m图3.2.14 磁偶极子 用用磁化强度磁化强度（Magnetization Intensity）M 表示磁化的程度，即表示磁化的程度，即)(米安A/mVn1ii0VmMlim1) 磁偶极子磁偶极子分子电流，电流方向与分子电流，电流方向与 方向成右手螺旋关系方向成右手螺旋关系ISdSmIdAm2 2磁偶极矩磁偶极矩 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，在外磁场

16、作用下，磁偶极子发生旋转， 转矩为转矩为 Ti=miB ， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。n1ii0m图3.2.16媒质的磁化3 3）磁化电流）磁化电流4 4）磁偶极子与电偶极子对比）磁偶极子与电偶极子对比体磁化电流体磁化电流dSJIMJmmm模型模型 电量电量产生的电场与磁场产生的电场与磁场电电偶偶极极子子磁磁偶偶极极子子SmdI0PpnpePnmeMKMJmnmeMK面磁化电流面磁化电流 有磁介质存在时，场中任一点的有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流是自由电流 和磁化电流和磁化

17、电流共同作用共同作用在真空中产生的磁场。在真空中产生的磁场。结论：结论： 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应磁化电流具有与传导电流相同的磁效应例例 3.2.3 判断磁化电流的方向。判断磁化电流的方向。qdP3. 3. 一般形式的安培环路定律一般形式的安培环路定律sJlBdI)II(Idsm00m00L有磁介质时有磁介质时将将 代入上式，得代入上式，得MJmlMsMlBdId)(IdLsL0移项后移项后Id)(L0lMB定义定义磁场强度磁场强度m/A0 MBH则有则有IdLlH说明说明: : H 的环量仅与环路交链的自由电流有关。的环量仅与环路交链的自由电流有关。 环路上任一点的环路上任一点的

18、H 是由系统全部载流体产生的。是由系统全部载流体产生的。 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手螺旋关系，电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手螺旋关系， 是为正，否为负。是为正，否为负。sJsHlHdd)IdsLs( JH 恒定磁场是有旋的恒定磁场是有旋的图3.2.18 H 与I 成右螺旋关系4. 4. B B 与与H H 的构成关系的构成关系实验证明，在各向同性的线性磁介质中实验证明，在各向同性的线性磁介质中式中式中 磁化率，无量纲量，代入磁化率，无量纲量，代入 中中 HMmxmxMBH0HHHMHBr0m00)x1()(式中式中 相对磁导率，无量纲，相对磁导率，无量纲

19、， ，单位，单位 H/m。 rr0构成关系构成关系HB例例3.2.4: : 一矩形截面的镯环，如图示，试求气隙中的一矩形截面的镯环，如图示，试求气隙中的B和和H。图图3.2.20 3.2.20 镯环磁场分布镯环磁场分布解：解： 在镯环中在镯环中, , ， 有限，故有限，故H = 0。HB取安培环路（与取安培环路（与I I交链），由交链），由 ，得，得NIdLlHNIrH,rNI eHeBrNI05. 5. H 的旋度的旋度sLdIdsJlHssdd)(sJsH积分式对任意曲面积分式对任意曲面S S都成立，则都成立，则JH 恒定磁场是有旋的恒定磁场是有旋的例例 3.2.43.2.4 有一磁导率为

20、有一磁导率为 ，半径为，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流处有无限长的线电流I I，圆柱外是空气，圆柱外是空气( (0)，如图所示。试求圆柱，如图所示。试求圆柱内外的内外的 B，H 与与 M 的分布。的分布。解：磁场为平行平面场解：磁场为平行平面场, ,且具有轴对称性，应用且具有轴对称性，应用安培环路定律安培环路定律, ,得得IH2dllH磁场强度磁场强度02IeH磁化强度磁化强度HBMa0a2I0e磁感应强度磁感应强度BaIaI2020e 图3.2.21 磁场分布3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条

21、件3.3.1 3.3.1 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程媒质的性能方程媒质的性能方程HB 例例 3.3.13.3.1 试判断试判断 能否表示为一个恒定磁场？能否表示为一个恒定磁场？eFeeFa)b(byax)a(2xy1F2不可能表示恒定磁场不可能表示恒定磁场。0a2)d(1)F(1)b(22F恒定磁场的基本方程表示为恒定磁场的基本方程表示为S0dSBIdllH（磁通连续原理磁通连续原理）（安培环路定律（安培环路定律）0 BJH （无源无源）（有旋有旋）恒定磁场是有旋无源场恒定磁场是有旋无源场, ,电流是激发磁场的涡旋源电流是激发磁场的涡旋源000yFxFay1x11 )(FF1可以表示

22、为恒定磁场可以表示为恒定磁场。解：3.3.2 3.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1. 1. B 的衔接条件的衔接条件在媒质分界面上，包围在媒质分界面上，包围P P 点作一小扁圆柱，点作一小扁圆柱，令令l0，则根据，则根据 , , 可得可得0dsSBn2n1BBB 的法向分量连续的法向分量连续2. 2. H 的衔接条件的衔接条件 H 的切向分量不连续的切向分量不连续KHHt 2t 1H 的切向分量连续的切向分量连续当当 K = 0t 2t 1HH 3. 3. 分界面上的折射定律分界面上的折射定律 当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无

23、自由电流线密度K，则，则2121tantan折射定律折射定律图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件 在媒质分界面上，包围在媒质分界面上，包围P P 点作一矩形回路点作一矩形回路 。 l令令 , , 根据根据02l, IdllH可得可得11211lKlHlHtt例例.3.3.2.3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。解：解：, 0102,0tantan110202 它表明它表明只要铁磁物质侧的只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，不与分界面平行，那么在空气侧的那么在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。可认

24、为近似与分界面垂直。图图3.3.33.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射射 即即yxxn2yt 22410HHeeeeHA/m)1230(yx0222eeHBT解：解：T4030865yx0yx0111)()( eeeeHBHB,21KHHtt448KHHt1t210222nnBH0n1n230BB n2n1BB 图图3.3.4 3.3.4 含有含有K K的分界面衔接条件的分界面衔接条件 例例 3.3.3 设设x = 0平面是两种媒质的分界面平面是两种媒质的分界面. .1=50, , 分界面上有面电流分界面上有面电流023z4eKA/m ，且且 A/m，试求，

25、试求 B1，B2与与 H2 的分布。的分布。 yx186eeH 若面电流若面电流 , , 答案有否变化？答案有否变化？zy43eeK 若表达式是三维的形式，则只能用矢量式了若表达式是三维的形式，则只能用矢量式了 VmMMBHiV00limHdll dHl dH平行1. 媒质的磁化媒质的磁化: 分子电流分子电流 分子磁矩分子磁矩 磁化强度磁化强度M磁化电流磁化电流Jm 磁化电流强度磁化电流强度Im 顺磁材料和逆磁材料顺磁材料和逆磁材料2. 磁场强度磁场强度H3.3.与静电场中的介质极化对比与静电场中的介质极化对比 介质的极化强度介质的极化强度 媒质的磁化强度媒质的磁化强度 VpPiVlim)(0

26、EPVmMiVlim)(BMmEPED0BMBH110qdVSdDSkIll dH4.4.安培定律可解的情况安培定律可解的情况本节小结本节小结0)/(ldlIHIdlHl dHlkklS补充例题：补充例题：(使用安培环路定律求使用安培环路定律求分区均匀分区均匀的问题的问题) 同轴电缆的同轴电缆的内导体半径为内导体半径为R1, 外导体的半径为外导体的半径为R2 , 外导体的厚度可以忽略不计外导体的厚度可以忽略不计.内外导体之间对半填充两种导磁媒质，求磁感应强度和磁场强度内外导体之间对半填充两种导磁媒质，求磁感应强度和磁场强度. 解解: :在两种媒质分界面两侧中在两种媒质分界面两侧中, , 相同相

27、同 不同不同, , 且且当当 时时, , 当当 时时, BHnnBBBB2211,10RIRl dHl212,2211eRIHeRIB21012IHHIdHdH)(222102222121RR利用两种媒质分界面上的衔接条件利用两种媒质分界面上的衔接条件: :或或1122BB222211HH联立联立，得，得eIH)(21221eIB)(212121eIH)(211223. 4. 1 磁矢位磁矢位1. 矢量分析中矢量分析中 磁矢位磁矢位 与与 磁位磁位 的几个结论的几个结论: : 1)1)包括静电场包括静电场(=0=0)在内的所有三个恒定场都是在内的所有三个恒定场都是无源场无源场， 但是静电场中但

28、是静电场中0 处，处， D= E=。2)2)三个恒定场中无旋处三个恒定场中无旋处E= B =J=0 矢量函数可以用一个标量函数矢量函数可以用一个标量函数 表达。表达。1)1)当当 中中 时，由于时，由于 称称 为为磁矢位。磁矢位。JH0J使得存在AB0ABA根据矢量恒等式根据矢量恒等式: :定义库仑规范条件定义库仑规范条件 得得JAAAAAJAJBJH22)()(0AzzyyxxJAJAJAJA2222矢量形式的泊松方程矢量形式的泊松方程44,44VzzVyyVxxVRdVJARdVJARdVJARdVJA或)()1() (1) ()1() () (4)1() (4) (40020rJRrJR

29、rJRRrJABdVRrJdVRrJdVRerJBR这里使用且根据比萨定律得：根据比萨定律得：得令040dVRJA 注意注意1 1）这个方程其他形式参看课本，）这个方程其他形式参看课本， 特别要注意特别要注意 A 与与 J ( (或或 K, I) )方向相同；方向相同；2 2）有电流存在的区域）有电流存在的区域, ,只能选择磁矢位；只能选择磁矢位；3 3）对比毕萨定理表达式，）对比毕萨定理表达式，A 的表达式已经简化，从而更加容易计算和分析。的表达式已经简化，从而更加容易计算和分析。例例 3-7 应用磁矢位分析真空中磁偶极子的磁场应用磁矢位分析真空中磁偶极子的磁场.解解: 注意到注意到讨论的区

30、域讨论的区域J=0,0,并且题中使用的是圆周并且题中使用的是圆周 1) 磁矢位方向与圆周上相应电流元电流方向一致；磁矢位方向与圆周上相应电流元电流方向一致；2)SnlldSaedzzyxadyzyxadxzyxalad)(),(),(),()4)1( 41200dSReeIAdSReIARaSRzSz)4,0dSeeIAeerRSrzRr让可求出又可确定；BABA例例3-8: 空气中有一长度空气中有一长度为为l, 截面积为截面积为S, z轴上的短轴上的短铜线铜线. .电流密度电流密度J沿沿e ez z方向方向. .设电流是均匀分布的设电流是均匀分布的, ,求离铜线较远处求离铜线较远处( )(

31、)的磁场其强度的磁场其强度. 解解: 选择坐标系原点在铜线中心选择坐标系原点在铜线中心, 根据对称性，有根据对称性，有 由由A泊松方程的积分解得泊松方程的积分解得lr JSIeJJz且.4444402/2/02/2/000zllzllSzerIlIdlredlJdSerdVrJdVRJA. rRlr由磁矢位的定义可知由磁矢位的定义可知:eryxrIlrxeryerIlAByxo222024)(4补充例题补充例题 1 两根无限长细直导线，相距为两根无限长细直导线，相距为2a, 导线通有导线通有相反的电流相反的电流I, 求空间任意一点的磁矢位求空间任意一点的磁矢位.解解: :电流仅电流仅 z 方向

32、方向, ,是平行平面矢量场是平行平面矢量场( (仿照例仿照例3-1).3-1). 同理同理当当 时时, , LLrLrLIzrdzIA122102210124lnL222202ln2rLrLIAzerrLrLLrLIAAA.ln122222210212zeayxyaxIA22220)()(ln2 磁矢位对应的边界衔接条件磁矢位对应的边界衔接条件: : 1212121212121212011ttnnslnnSVnttttB dSA dlAA (BB)AAA dSAdVAA( HH )eK(A )(A )K(HHK )等价于等价于特别对平行平面磁场；特别对平行平面磁场；A只有只有z方向方向分量分量

33、nAeexAeyAeHeHnAyAeexAeyAeHeHexAeyAAHexAeyAAHeAAeAAxyxxtxyxxtyxyx22222221111111112222221111112221111)(111)(1)(1)(1)(1)(1KnAnA221111例例 3-9 一半径为一半径为a的长直圆柱导体通有电流的长直圆柱导体通有电流,电流密度电流密度 . 求导体求导体内外的磁矢位内外的磁矢位(内外磁导率均为内外磁导率均为 )解解: :由对称性可知由对称性可知 ，Az仅仅为仅仅为 的函数且满足方程的函数且满足方程 ( (是平行平面矢量场是平行平面矢量场) ). 边值问题为边值问题为zzeJJ0

34、zzeAAJA02有限1221121201, 0|1|1; 0|, 0)(1,)(1AAAAAaAaJAaaaaz方程积分后得方程积分后得使用前面的四个条件确定四个参数后得使用前面的四个条件确定四个参数后得43221201lnln4CCACCJAz和zzzzeaaJAeaJAln2)(42022201和3.5 3.5 磁位及其边值问题磁位及其边值问题3.5.1 3.5.1 磁位磁位 的引出的引出mmH0H恒定磁场无电流区域恒定磁场无电流区域lHdLmm标量磁位，标量磁位，简称磁位简称磁位（Magnetic PotentialMagnetic Potential），单位：），单位：A（安培）。（

35、安培）。 磁位磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。m磁位磁位 的特点：的特点：m 等磁位面（线）方程为等磁位面（线）方程为 常数，等磁位面（线）与磁场强度常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直线垂直m 的多值性的多值性m则则 AmBmAAlBmAd,dlHlH在恒定磁场中，在恒定磁场中， 设设B 点为参考磁位，点为参考磁位，由安培环路定律，得由安培环路定律，得图图3.5.5 3.5.5 磁位磁位 与积分路径的关系与积分路径的关系m3.5.2 3.5.2 磁位边界条件磁位边界条件 nnmmttmmBBnnHH2122112121 磁位磁位与电位有

36、相似但也有不同与电位有相似但也有不同, ,如两点间的磁压定义为：如两点间的磁压定义为： 必须选障碍面等办法使磁位唯一必须选障碍面等办法使磁位唯一 ( (看课本看课本P115).).mBmAmBAmABmBmAdl dHUIddddBmAAlBAlBmAlHlHlHlHImAmA 推论推论 多值性多值性 磁屏障面磁屏障面kImAmA mH0 B0)()(mHB0m02m0H磁位函数的拉普拉斯方程磁位函数的拉普拉斯方程因而在空间媒质的磁导率因而在空间媒质的磁导率为常数情况下为常数情况下3.5.3. 磁场的拉普拉斯方程磁场的拉普拉斯方程在磁场的无电流区域，即在磁场的无电流区域，即 处处)(21122

37、121ttmmHH 或)(2112121211nnmmBBnn或 磁场的唯一性定理为：磁场的唯一性定理为：满足拉普拉斯方程，且满满足拉普拉斯方程，且满足一定边界条件的标量磁位函数是唯一的足一定边界条件的标量磁位函数是唯一的。以磁位函。以磁位函数所表示的媒质交界面处边界条件为数所表示的媒质交界面处边界条件为0J习题习题 3-5-1 题目请阅读书题目请阅读书, 如图所示如图所示.解解: 在在 内有恒定电流内有恒定电流, ,不能使用磁位函数不能使用磁位函数, ,而在其他区域建立磁位函数如下：而在其他区域建立磁位函数如下：边界条件边界条件: :四个条件可以确定四个系数，最后得四个条件可以确定四个系数，

38、最后得 注注: 零磁位的选择比零电位宽松零磁位的选择比零电位宽松.21RR24321211222112,0, 00, 0RCCRCCRRmmmmImmmm22210201|, 0|, 0|0|)(2);0(02211RIRmm)(2);0(0222111ReIHRHmm补充例题补充例题2 有一个载电流有一个载电流I的无限长直导线的无限长直导线, 求图中求图中A, P两点磁压两点磁压.解解: 注意到注意到 , , 并且磁压计算中的积分并且磁压计算中的积分与路径无关与路径无关, 因此选择因此选择如图所示便于计算的如图所示便于计算的积分路径，得积分路径，得P109 利用磁矢位可以计算通过任意曲面利用

39、磁矢位可以计算通过任意曲面S磁通量：磁通量： 磁场与静电场也有磁场与静电场也有比拟关系比拟关系如下如下: : erIH2PACAcpmAPIerderIl dHU120)2(60lSSml dASdASdB 无电流区域恒定磁场无电流区域恒定磁场 无自由电荷区域静电场无自由电荷区域静电场 所以对应关系为：所以对应关系为：在边界条件相似情况下在边界条件相似情况下, 我们求得某一静电场结果之后我们求得某一静电场结果之后, 把把相应的结果按照上述关系转换，就得到恒定问题的结果相应的结果按照上述关系转换，就得到恒定问题的结果.注意注意: 请结合恒定电场比拟关系及其对应量归纳请结合恒定电场比拟关系及其对应

40、量归纳.ll dH0ll dE0)(0SSdSBSdB)(0SSdSDqSdDHBEDmHE00BH00DEnnttBBHH2111nnttDDEE211102m02/ 1qEHDBm图图3.5.8 3.5.8 恒定磁场与恒定磁场与恒定电流场的比拟恒定电流场的比拟3.5.3 3.5.3 磁位磁位 、磁矢位、磁矢位 A 与电位与电位 的比较的比较m位位 函函 数数比较内容比较内容引入位函数的依据引入位函数的依据位与场的关系位与场的关系微分方程微分方程位与源的关系位与源的关系电位电位)(m磁位磁位)(磁矢位磁矢位（A）0E0H0BE0pdlE202mH0pmdlH0m2ABSlddSBlAJA20

41、2 A(有源或无源）(无源）(有源或无源）VR4dVV0R4dVJA4Im答：可以。答：可以。 下述两个场能进行磁电比拟吗？下述两个场能进行磁电比拟吗？3.6 3.6 镜像法镜像法（Image Method in Static Magnetic Field） 联立求解，得联立求解，得IIII12112122 ,21ttHH IIIsinr2Isinr2Isinr2I 由由 得得由由 得得I)II (cosr2Icosr2Icosr2I21211 n2n1BB 例例 3.6.13.6.1 图示一载流导体图示一载流导体 I 置于磁导率为置于磁导率为 的无限大导板上方的无限大导板上方 h 处，为求处

42、，为求媒质媒质 1 与媒质与媒质 2 中的中的 B 与与 H 的分布，试确定镜像电流的大小与位置？的分布，试确定镜像电流的大小与位置？2解： 根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定 与 。II 图图3.6.1 3.6.1 两种不同磁介质的镜两种不同磁介质的镜像像 与静电场镜像法类比与静电场镜像法类比 ，这里的，这里的 原因何在？原因何在？ ),q2q,qq(2122121 ,1,12211 例例3.6.23.6.2 空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流 I 位于空气位于空气 中，试求磁中，试求磁场分布。场分布。0空气中空气中)rIrI

43、(2221101eeB铁磁中铁磁中)(0,222222HBHB为有限rIrIrIHB0200222222)2(2 空气中空气中 B 线垂直于铁磁平板，表明线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面铁磁平板表面是等磁位面。镜像电流镜像电流0I2IIII2002002 解：解：图图3.6.2 线电流线电流 I I 位于无限大铁板上方的镜位于无限大铁板上方的镜像像 铁磁中磁感应强度铁磁中磁感应强度 B2=0 =0 吗？吗？课本课本p144 习题习题312，求图中的镜像电荷，求图中的镜像电荷求解时注意有效区域，以及具体的方向求解时注意有效区域，以及具体的方向3.6.1. 磁链磁链(全磁通全磁通)及其

44、计算及其计算穿过导线回路所围成面积的磁通量称穿过导线回路所围成面积的磁通量称磁链磁链, 用用 表示表示.对于密绕线圈对于密绕线圈 03210321SSSSSSdBSdBSdBSdBSdBSSdBNNroIN例例 求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量(磁链磁链) 解解 h1R2RSrd 在螺绕环内部做一个环路，可得在螺绕环内部做一个环路，可得LldBLlB drB2NI0rNIB2/0 若在外部再做一个环路，可得若在外部再做一个环路，可得 0iI0外B螺绕环内的磁通量为螺绕环内的磁通量为21dRRmSBrhrNIRRd2210120ln2RRhNI3.

45、7 3.7 电电 感感3.7.1 3.7.1 自感自感 在线性各向同性媒质中，在线性各向同性媒质中，L L 仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。回路的电流无关。自感计算的一般步骤：自感计算的一般步骤：),(0iLLLIBHA设设回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。LIdsSB即即单位：单位：H（亨利亨利）IL 自感又分为内自感自感又分为内自感 L Li i 和外自感和外自感 L0 。0iLLLILii内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链

46、与回路电流比值。IL00外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。图图3.7.1 3.7.1 内磁链与外磁链内磁链与外磁链解：解： 总自感总自感设安培环路包围部分电流设安培环路包围部分电流 ，则有，则有I221221LRIRIIdlH210212,2RIBRIH磁链中的匝数，可根据磁链中的匝数，可根据212RIINN:I1:I因此，有因此，有sRoil IdRRl INd100212211828011lILii内自感内自感例例 3.7.13.7.1试求图示长为试求图示长为 的同轴电缆的自感的同轴电缆的自感 L。l图3.7.3 同轴电缆内导体纵截面穿

47、过宽度为穿过宽度为 , ,长度为长度为 l 的矩形面积的的矩形面积的磁通为磁通为dldR2Idd210SB图3.7.2 同轴电缆截面1) 1) 内导体的内自感内导体的内自感 )R0(L11i021LLLLii,IRRR)RRR( III22232232223222HB,2)RRR( I2IH02223223ld2)RRR( IBdSd222322302i)RR(8)RR( l)RR(2lRRRln)RRR(2l22232223022232302322223230工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感 。)0L(2i3

48、 3） 内、外导体间的外自感内、外导体间的外自感 )(210RRL120RR000RR2ld2II1IL21lndl)RRR(2II1NdI1L32RR2222322302i2i故总电感为总电感为02i1iLLLL,2IB0ld2Idd0002 2）外导体内自感）外导体内自感 2i2idIII1L32RR2223223RRRIIN 例例 3.7.23.7.2 设传输线的长度为设传输线的长度为 , , 试求试求图示两线传输线的自感。图示两线传输线的自感。l解：解：总自感总自感0iLL2LSB d00RDR0ldx)xD(21x21IRRDlnIl0RRDlnlIL000设设z02z01RDRln

49、2IRRDln2IIeAeAlAlAd2100lARRDlnlIL000HBeH0)xD(2Ix2II设设总自感为总自感为RRDlnl4lLL2L000i内自感内自感4lL2,8lL0i0i解法一解法一)(0LB由解法二解法二)(0LA由RRDlnlI0图3.7.4 两线传输线的自感计算3.7.2 3.7.2 互感互感12121IM12121IM式中，式中，M21 为互感，单位：为互感，单位：H（亨利）亨利） 互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置

50、有关。几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。 在线性媒质中，回路在线性媒质中，回路1 1的电流的电流 产生与回路产生与回路2 2相交链的磁链相交链的磁链 与与 成正比。成正比。1I211I同理，回路同理，回路2 2对回路对回路1 1的互感可表示为的互感可表示为21212IM2112MM可以证明可以证明计算互感的一般步骤：计算互感的一般步骤：设ALdlA图3.7.5 电流I1 产生与回路2交链的磁链12212111IMdISSBBH例例 3.7.33.7.3 试求图示两对传输线的互感。试求图示两对传输线的互感。解：根据互感定义，只需假设一对传输线的电解：根据互感定义，只需假设一

51、对传输线的电流方向；另一对传输线的回路方向。流方向；另一对传输线的回路方向。导线导线 B 的作用的作用BDBC2lI0mBmBln由于这两个部分磁通方向相同(H)(H)导线导线 A的作用的作用ACADln2Ild0SmAmASB2IB0图3.7.6 两对传输线的互感 若回路方向相反，互感会改变吗？若回路方向相反，互感会改变吗？ 它反映了什么物理意义？它反映了什么物理意义？BDACBCADlIMmln20BDACBCADl ImBmAmln203.7.3 3.7.3 聂以曼公式聂以曼公式应用磁矢位应用磁矢位 A 计算互感与自感的一般公式。计算互感与自感的一般公式。1. 1. 求两导线回路的互感求

52、两导线回路的互感 将式（将式（1 1）代入式（）代入式（2 2）得）得21ll211021dRdI4ll则两细导线回路间的互感则两细导线回路间的互感 21l12l21o12121MRdd4IMll若回路若回路1 1、2 2分别由分别由 N1、N2 细线密绕，互感为细线密绕，互感为 21ll21o211221Rdd4NNMMll设回路设回路 1 1 通以电流通以电流 I I1 1，则空间任意点的磁矢位为，则空间任意点的磁矢位为1l110RdI4lA)1(穿过回路穿过回路2 2 的磁通为的磁通为2l21d2lA)2(图3.7.9 两个细导线电流回路2. 2. 用聂以曼公式计算回路的外自感用聂以曼公

53、式计算回路的外自感外自感外自感 21ll21o00Rdd4ILll设导体的半径设导体的半径 R 远小于导线回路的曲率半径，且认为电流均匀分布，则远小于导线回路的曲率半径，且认为电流均匀分布，则内自感内自感80lLi总自感总自感 2l1l021oi08lRdd4LLLll1l110RdlI4A电流电流 I 在在 上产生的磁矢位为上产生的磁矢位为2l 212ll21ol20Rdd4IdlllA与与 交链的磁通为交链的磁通为2l设回路中有电流设回路中有电流 I ，总磁通总磁通 = = 外磁通外磁通+ +内磁通内磁通；计算外磁通时，可以认为电流是；计算外磁通时，可以认为电流是集中在导线的轴线集中在导线

54、的轴线 上，而磁通则是穿过外表面轮廓上，而磁通则是穿过外表面轮廓 所限定的面积。所限定的面积。 1l2l图3.7.11 单回路的自感2)2)铁板放在两线圈的下方铁板放在两线圈的下方, , 互感是增加了互感是增加了, ,还是减少了？为什么还是减少了？为什么? ?如何计算？如何计算？ 图3.7.7 一块无限大铁板 置于两对线圈的下方)(3 3）铁板插入两线圈之间后，互感是增加还是减少？为什么？自感是否增加？）铁板插入两线圈之间后，互感是增加还是减少？为什么？自感是否增加？图3.7.8 一块无限大铁板 置于两线圈之间 )(图 3.7.9 无感线圈 3.8 3.8 磁场能量与力磁场能量与力 磁场作为一

55、种特殊的物质，和电场一样具有能量磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有专家预测，。有专家预测，21世纪将世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。 高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源受控热聚变受控热聚变, , 磁磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。3.8.1 3.8.1 恒定磁场中的能量恒定磁场中的能量 媒质为线性媒质为线

56、性； 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；）； 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。假设：假设：磁场能量的推导过程磁场能量的推导过程21kkk22112221121122221211mI21I21I21I )ILMI(21I )MIIL(21IL21IMIIL21W 推广推广n1kkkn1in1jjiijn1k2kkmI21IIM21IL21W) ji ( 自有能自有能互有能互有能 是回路是回路k 独存在时的能量，称为自有能量。独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零自有能量始终

57、大于零。2kkIL213.8.2 3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度磁场能量的分布及磁能密度 磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。个空间中。 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。jiijIIM 对于单一回路对于单一回路2m2mIW2LLI21W22rdSr1Ar1H,时，第一项为时，第一项为 0 0r上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整

58、个场域中。上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。dVwdV21WvmVmBH单位：单位：J J（焦耳）（焦耳）磁能密度22mB21H2121wBH单位：3mJ式中式中 为导电媒质体积元所占体积，为导电媒质体积元所占体积， 为导电媒质的总体积。为导电媒质的总体积。kVV由矢量恒等式由矢量恒等式AHHAAH)(得dV21dV21WVVmBHAH)(0sVdV21d)(21BHSAH散度定理 考虑到考虑到磁通可以用磁矢位磁通可以用磁矢位 A 表示表示，则磁能，则磁能 Wm 可表示为可表示为lA dI21I21Wn1klkkn1kkmkdV21dV21Vn1kkVkJAJA n利用利用 的关

59、系，的关系，dV21WvmHAJH 例例 3.8.13.8.1 长度为长度为 l , ,内外导体半径分别为内外导体半径分别为 R1 与与 R2 的同轴电缆，通有电的同轴电缆，通有电流流 I ，试求电缆储存的磁场能量与自感。，试求电缆储存的磁场能量与自感。解：解：由安培环路定律由安培环路定律，得，得221121R0RR2IR0R2I2IeeeH磁能为磁能为121R0RR22210d2l)2I(d2l)R2I(21220RRln414lI自感自感1202mRRln412lIW2LV20VmdVH21dV21WBH图3.8.2 同轴电缆截面3.8.3 磁场力磁场力磁场力应用磁场力应用: : 磁浮列車

60、的原理磁浮列車的原理-1-1(一)电流的磁效应电流的磁效应 在螺旋形的导线上通电，就会在螺旋形导线的中间产生感应在螺旋形的导线上通电，就会在螺旋形导线的中间产生感应磁场，而此感应磁场的大小和导线圈数及电流成正比，当电磁场，而此感应磁场的大小和导线圈数及电流成正比，当电流断路时感应磁场也会同时消失。磁场方向可由安培右手定流断路时感应磁场也会同时消失。磁场方向可由安培右手定则决定：右手四指的方向依照导线电流方向握起，则姆指方则决定：右手四指的方向依照导线电流方向握起，则姆指方向则为感应磁场的向则为感应磁场的N N极。极。 磁浮列車的原理磁浮列車的原理-2-2(二二) 磁浮列车浮起的原理磁浮列车浮起