《数列》提高测试题(一)1

1、提高测试(一)(90分钟，满分100分)(一)选择题(每小题4分，共32分)1 .某工厂去年产值是 a,计划在今后五年内，每年比上一年产值增长10%从今年起到第五年末这个工厂的总产值是().(A) 1.14a(B) 1.15a(O 10x(1.151)a(D) iix(1.151)a【提示】今年的产值为 a (1+ ),公比q= 1 +2.故S5= 1.1 a(1.15 1)/1.1 -1.1010【答案】32 .若数列 an的前n项和S=an1且a w。，则 an是().(A)等比数列(B)不是等比数列(0可以是等比数列，也可以是等差数列(。可是等比数列，但不可能是等差数列【提示】由Sn=a

2、n1 (a w0)可得an=(a-1)-an1 (n=1, 2,).， 当a=1 时，an=0,是等差数列，当 a金1且a w0时，an是等比数列.【答案】(O.3 .两个等差数列2, 5, 8,，197与2, 7, 12,，197中相同的数之和是().(A) 1196(B) 1391(0 1393(D) 1169【提示】易知，相同项 2, 17, 32,，197成等差数列.故 an=2+ ( n1) 15= 197,n=14, 从而可求S14 .【答案】(O.4 .已知等差数列 an中，an W0, an-1-an2+an+1=0, S2 n 1 = 38,则 n 等于().(A) 38(B

3、) 20(。19(D) 10【提示】由题设知 2 an-an2=0,an=2,从而(2 n1) 2 = 38.【答案】35.已知 an是各项为正数的等比数列,a2a4+2 a3a5+a4a6= 25,那么 a3+ a5 为().(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20【提示】由于 a2 - a4 = a32, a4a6=a52 .故已知等式化为(a3+a5)2=25.【答案】(A).6 .已知数列 an的前n项和Sn= ( 1) n(2 n1).则a1c+an等于().(A) 4(B) - 4(。2(D) -2【提木】a1c+ an = S1 S9 .【答案】(B).).7 .首项为,第

4、10项开始为比1大的项，则此等差数列的公差取值范围是(25(A) d> 8(B) d v 37525(O <d < 7525(D) v d w7525【提示】此问题等价于 a10> 1且a9< 1.【答案】(D.8.在等比数列 an).中，a? , an = 6, a4+&4=5.则 20"等于a10(A) 2或3(B) 1 或13232(C) 2(D) 332【提示】由已知得 J6 q10 5 q5+ 76 = 0解得q5= 土"6或q5=±马.而2'.6a20 _ qioai0【答案】（A）.（二）填空题（每小题5

5、分，共30分）9 .已知数列 an、bn都是等差数列，ai=0, b1= 4 .用&、S' k分别表示数列 an、bn的前k项和，若Sk+ S' k= 0,则【提示】Sk= （a1 +ak）k =崛ak+ bk=_ (-4 bk) kk- 2【答案】4.10 .某等差数列共有2 n+ 1项,所有奇数项的和为132,所有偶数项的和为120,则n=【提本(a1+&n+1) (n+1) /,、 n 1(a2+ a2 n) n=13212011 .三个正数 a、b、c成等比数列，且 a < b <c, a+b+c=62, lg a+lg b+lg c=3,那

6、么三 个数分别为.【提示】设 a= , c= bq,则 b+ b+bq=62且 lg b3= 3,解得 b= 10, q= 5.qq【答案】2, 10, 50.12 .等差数列 an中，S=0 (d w0).若am、a许八a2 m成等比数列，则 m=.【提不J 由 &= 0 推出 a1=d,又(am+ d) 2= am (am-i- md),故可推出 2 m11 rtf 12 = 0.2【答案】m= 4.13 .已知数列an满足ad2a2+3a3+nan= n( n+1)( n+2).则它的前n项和Sn =【提示】a1+2 a2+ nan=n(n+1)(n+2)a1+2 a2+ ( n

7、1) an1= (n 1) n (n+1) 由一得 nan=3 n (n+1),即 an= 3 n+3可见，an是a1=6, d=3的等差数列.【答案】Sn= 3 ( n2+ 3 n).214.若 1 + 3+ 5+ ( 2 n 1) = 110+1,贝U n=.1 22 3 n(n 1)【提不】右式=110 (1 ) + ( ) + ( ) + ()2 2 3n-1nn n 1= 110 (1), n 1左式-1)一.2【答案】n=10.(三)解答题(第15至16题每小题7分，第17至19题每小题8分，共3815.已知(b c) log m x+ (c a) log m y+ ( a b)

8、log m z = 0.(1)设a、b c成等差数列，且公差不为 0,求证：x、y、z成等比数列.(2)设x、y、z成等比数列，且公比不为 1,求证：a、b、c成等差数列.【提示】(1)由已知b-c= a-b=- d, c-a=2 d (d w。)代入已知等式，得 log m x +log m z=2 log m y,故 y2=xz .(2)设丫 = _z = q ( q W 1 ),则 log m y - log m x = log m z- log m y = log m q W 0.代入已知等式，得 a-2 b+c=0.1,(当x = 1时)16.已知数列 bn, bn=n xn (1;

9、x)(当 x 0且x = 1)1 f x试判断数列 bn的增减性.，一.1 1，【提示】当x=1时，bn=,是递减数列;n1 - x1当 xw (0, 1)时，bn= ，=()递增，. bn 递减.Jnx(-)-xx1 - x1 cbn递减.当 xw(1, +00)时，bn=，=(),递减且 1 x<0,(1尸-xxx总之，数列 bn是单调递减数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)从数列 an中依次取出第17.已知等差数列为 an中，a1 = 1, S0= 1001, 3, 32,，3nT项，组成数列 bn,求数列 bn的前n项和.【提示】(1) an= 2 n-1.(2)由于1,

10、3,32,，3nT都是数列an中的项，所以它们都满足an=2n 1故bn=2x3n-1.以下再对等比数列 2*3-1及常数列1, 1,分别求其前n项和即可.【答案】(1) an=2 n-1；(2)Sb =3n-n-1.18.已知函数f (x)r 2. 一x 6x 8- x2 +2x(x < -1)(x-1)8,由已知条件，可得 2 f (a) =f(2) 3=f 2 ( 7) = 225, KG 日 qa2000 - 0而S2000取大U ，U©2001 0故Z"dw旦.199980、225【答案】(1) a=-7.(2) ±51999(1)如果当a v 2

11、时,f (3 a), f (a), 22成等差数列.求 a的值.(2)在(1)的条件下，设等差数列 an中，a1 = f2 (a),公差为d,并且在前n项和Sn (n w N)中，$000最大.求公差d的取值范围.【提布】(1)由 a< 2,知一3 a> 1, f (- 3 a) = - a 8 a15. f (a) = - a 6 a (3 a) 22即有 a+4 a 21 = 0, a = - 7.an= 225+ (n-1) d .225+ 1999d >0225+ 2000d <0w dw -.8019.某企业为筹划资金 A元，以年利率r每年度利计息借款，在当年初借入，前m年内不还款，从 m十 1年度开始每年以一定的金额a元偿还，但在