面面垂直的判定和性质

1、平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面。1 1、半平面、半平面l面面垂直的判定定理和性质定理 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半2、二面角的定义二面角的定义3、二面角的平面角二面角的平面角角角 的平面角的平面角 一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平的棱，并与两半平面分别相交于射线面分别相交于射线pa、pb垂足为垂足为p，则，则apb叫做二面叫做二面abp平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角记作：记作：二面角二面角abp apb 与与 apb是否相等是否相等?相

2、等相等(利用等角定理利用等角定理)注：二面角的平面角取值范围是: 00,18002、二面角的平面角的特点、二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱角的顶点在棱上上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 loabaob(1)(2)1、直二面角：平面角是直角的二面角是直二面角，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直。10abcd问题问题2引入引入引入引入问题问题它就是本节课的内容之一：它就是本节课的内容之一：平面与平面垂平面与平面垂直的判定定理。直的判定定理。 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的建筑工人砌墙时，常

3、用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？大家知道其中的理论根据吗？判定定理证明过程证明过程 平面与平面垂直的判定定理是：平面与平面垂直的判定定理是：判定定理判定定理 证明证明判定方法判定方法 如果一个平面经过另一个平面的一条垂如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。线，那么这两个平面相互垂直。abcd判定定理判定定理证明过程证明过程证明已知：直线已知：直线ab 平面平面 ，直线，直线ab 平面平面

4、 。求证：求证：平面平面 平面平面 。判定定理判定定理证明证明判定方法判定方法abcde判定定理判定定理已知：直线已知：直线ab 平面平面 ，直线，直线ab 平面平面 。 求证：求证：平面平面 平面平面 。证明：设证明：设 =cd =cd，则，则ab ab =b =b ，在平面在平面内过内过b b点作点作becdbecd。证明过程证明过程证明证明判定定理判定定理判定方法判定方法abcdec cd da ab bcdcdabab cdcdbebe c cd da ab be e是是二二面面角角的的平平面面角角bebeabab 9090abeabe。为为直直二二面面角角c cd d二二面面角角平面

5、平面。平面平面bebeabab性质定理性质定理问题问题问题证明证明结论结论证明证明 过程过程发现发现 猜想猜想注注在刚才的命题中，直线在刚才的命题中，直线ab，平面平面 ，平面，平面 有以下三种关系：有以下三种关系：平平面面。平平面面平平面面直直线线a ab b平平面面直直线线a ab b如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造这样的一个命题：个条件作为结论构造这样的一个命题：。平平面面直直线线a ab b平平面面直直线线a ab b平平面面平平面面请判断命题的真假。请判断命题的真假。性质定理性质定理问题问题证明证明结论结论证明证明 过程过

6、程发现猜想猜想注注发现发现该命题是假命题。该命题是假命题。由由平面平面 平面平面 ，平面，平面 内的直线内的直线ab不一定不一定能与平面能与平面 垂直。垂直。那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？可使命题为真？ cabdabcd性质定理性质定理问题问题证明证明结论结论证明证明 过程过程发现发现猜想注注猜想猜想若增加条件若增加条件ab cd，则命题为真，即，则命题为真，即。平平面面直直线线a ab b平平面面直直线线a ab b平平面面平平面面c cd da ab bc cd d平平面面平平面面abcd问题问题结论结论证明证明 过程过程发现

7、发现 猜想猜想注注证明证明性质定理性质定理已知：平面已知：平面 平面平面，平面，平面 平面平面=cd=cd，求证：直线求证：直线abab平面平面。abcdabcd且且ab cd=bab cd=b。a平面平面 ，abcde提示：在平面提示：在平面内过内过b b点作点作becdbecd问题问题证明证明结论证明过程证明过程发现发现 猜想猜想注注结论结论 如果两个平面相互垂直，那么在如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的性质定理是：平面与平面垂直的性质定理是：abcd练习2问题问题证明证明结论结论证明

8、过程证明过程发现发现 猜想猜想注注注性质定理性质定理 面面垂直面面垂直线面垂直；线面垂直； 平面平面 平面平面，要过平面，要过平面 内一点引平内一点引平面面的垂线，的垂线，只需过这一点在平面平面 内作内作交线的垂线。交线的垂线。（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）cdabcdab例例1题目题目解答解答应用应用例例1、已知直线、已知直线pa垂直正方形垂直正方形abcd所在的平面，所在的平面，a为垂足。为垂足。求证：平面求证：平面pac 平面平面pbd。abdpco例例1题目题目解答解答解答例例1已知直线已知直线pa垂直正方形垂直正方形abcd所

9、在的平面，所在的平面，a为垂足。求证：平面为垂足。求证：平面pac 平面平面pbd。证明：证明：。平平面面p pb bd d平平面面p pa ac c b bd dc c正正方方形形a ab bc cd d中中，a ab bd dp pa a平平面面a ab bc cd db bd d平平面面a ab bc cd dp pa aa ap pa aa ac c平平面面p pa ac c平平面面p pa ac c，p pa aa ac c平平面面p pa ac cb bd d 平平面面p pb bd db bd d abdpco例例2题目题目例例2解答解答例例2已知直线已知直线pa垂直于垂直于o所

10、在的平面，所在的平面，a为垂足，为垂足，ab为为o的直径，的直径，c是圆周上是圆周上异于异于a、b的一点。的一点。求证：平面求证：平面pac 平平面面pbc。例例2解答解答例例2解答解答例2题目例例2题目题目例例2已知直线已知直线pa垂直于垂直于o所在的平面，所在的平面，a为垂足，为垂足，ab为为o的直径，的直径，c是圆周上异于是圆周上异于a、b的一点。的一点。求证：平面求证：平面pac 平面平面pbc。证明：证明：例例2解答解答a ab b是是圆圆o o的的直直径径的的一一点点c c是是圆圆周周上上异异于于a a、b ba ac cb bc c平平面面a ab bc cp pa a平平面面a

11、 ab bc cb bc cp pa ab bc c 平平面面p pa ac c平平面面p pa ac c，p pa aa ac ca ap pa aa ac c平平面面p pa ac cb bc c 平平面面p pb bc cb bc c平平面面p pb bc c。平平面面p pa ac c判定方法判定方法判定方法证明证明判定定理判定定理证明过程证明过程找二面角的平面角找二面角的平面角说明该平面角是直角。说明该平面角是直角。（一般通过计算完成证明。）（一般通过计算完成证明。）1、面面垂直的判定方法：、面面垂直的判定方法：（1）定义法：）定义法：（2）判定定理：）判定定理：要证要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到另一个平面的一条垂线。到另一个平面的一条垂线。（线面垂直（线面垂直面面垂直面面垂直）小结小结3、“转化思想”线面关系线线关系面面关系线面平行线面平行线线平行线线平行线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直面面垂直面面垂直面面平行面面平行2、两个平面垂的性质定