转化法在解直角三角形中的应用

1、转化法在解直角三角形中的应用在中考数学中，解直角三角形是一个非常重要的考点。下面就向同学们介绍转化法在解直角三角形中的应用，供同学们学习时参考。1、等线段转化法例1、如图1所示，点p在o的直径ba的延长线上，ab2pa，pc切o于点c，连结bc。求的正弦值解析：连结oc，因为，pc切o于点c，所以，pcoc, 所以，在直角三角形poc中，sinp=,因为，ab是圆的直径，所以，ab=2oa,因为，ab=2pa，所以，pa=oa=oc，所以，po= pa+oa=2oc,所以，sinp=.评注：在求角的三角函数值时，利用线段的等量代换，把不需要的量用相等的量替换，从而达到约分的目的，也就求得问题的

2、答案了。2、等比转化法例2、如图2所示，已知ab是半圆o的直径，弦ad和弦bc相交于点p，如果ab=5,cd=3，求cosbpd的值。解析：如图3所示，连接bd，因为，ab是圆的直径，所以，adb=90°，在直角三角形bpd中，cosbpd=,因为，c=a，d=pba,所以，cpdapb,所以，=,因为，ab=5,cd=3，所以，cosbpd=。评注：利用直径上的圆周角是直角，构造直角三角形，后借助三角形的相似，把线段的比转化成已知线段的比。3、等角转化法例3、如图4所示，已知是o的直径，弦，那么的值是 解析：因为，abd和acd是同弧上的圆周角，所以，abd=acd；因为，是o的直

3、径，所以，acb=90°，因为，弦，所以，aec=90°，所以，acd=abc,所以，abd=abc，在直角三角形abc中，因为，ab=3,所以，sinabc=，所以，sinabd=。评注：求一个角的三角函数值时，求与这个角相等角的三角函数值，是解决这类问题的一条基本思路。4、高线转化法例4、如图5-（1）所示，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得 =bc·sina 即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 如图5-（2）所示，在abc中，cdab于d，acd=， dcb= ， 由公式，得ac·bc·sin(+)= ac&#

4、183;cd·sin+bc·cd·sin，即 ac·bc·sin(+)= ac·cd·sin+bc·cd·sin 你能利用直角三角形边角关系，消去中的ac、bc、cd吗？不能，说明理由；能，写出解决过程解析：能。因为，cdab于d，所以，三角形adc和三角形bdc都是直角三角形，在直角三角形adc中，cos=，所以，ac=；在直角三角形bdc中，cos=，所以，bc=；ac·bc·sin(+)= ac·cd·sin+bc·cd·sin所以，

5、15;×sin(+)= ×cd×sin+× cd×sin整理，得：sin(+)= cossin+ cossin。评注：当三角形是一般的三角形时，常通过作三角形的一条高，把一般的三角形转化成直角三角形，这也是求三角函数值的一种基本思路。5、转化成直角三角形法例5、如图6所示，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）a4.5mb4.6mc6md8m解析：设斜面上相邻两树在斜面上的触点分别为a和c，过a作与水平线平行的直线，过c作与水平线垂直的直线，设两条直线相交于点b，根据题意，知道：ab=4，=，所以，bc=2