浅谈量子线路与矩阵的联系

1、学号学校代码10722密级 公 开O151.21分类号题 目（中、英文）浅谈量子线路与矩阵的联系The relation between the quantum circuit and the matrix 作者姓名数学与应用数学专业名称理 学学科门类王晓晗1成绩评定提交论文日期指导教师 二一六年五月摘要摘 要进入了新世纪以后，以硅芯片为主要代表的现代电子工业产品，各种激光设备的深入研究和不断开发，吸引更多科学家的学者把注意放在了量子信息和量子计算这支萌芽不久但是发展迅速的神秘科学领域之中.而在实际应用中，在使用量子信息和量子计算的量子态模型来表示量子计算机时，就会有实现逻辑顺序交换的装备量子

2、门，这些逻辑门的控制运算就和矩阵有关，这就说明量子线路一定和矩阵运算有关吧？答案无疑是肯定的.因为量子线路其实通俗的说就是量子门组成的进行程序逻辑运算的装置.这就足以证明量子线路与矩阵有着密不可分的关系，尤其是矩阵的乘法.这篇论文就是要通过对量子线路和量子门的分析找出其中的矩阵运算，并用矩阵知识去计算完成对量子线路的简单矩阵原理介绍.着重要证明二者如何联系在一起的.关键字：量子线路;逻辑门;受控运算;矩阵.AbstractAfter entering the new century, modern electronic products with silicon chips as the ma

3、in representative, in-depth study of various laser equipment and continuous development, attract more scholars scientists focused on the quantum information, quantum computing, the budding soon but the rapid development of the mystery science field. In practical application, in quantum state model o

4、f quantum computation and quantum information is represented by a quantum computer, there will be a logical sequence of switching equipment to realize quantum gate, control the operation of these logic gates and matrix, which indicates that the quantum circuit must be related to matrix operations? T

5、he answer is definitely yes. In fact, because the quantum circuit that popular device the program logic is composed of quantum gates. It was enough to prove that quantum circuits and matrix has a close relationship, especially the theory of matrix multiplication. This paper is to through analysis of

6、 quantum circuits and quantum gate to find the matrix operation, and with the knowledge of matrix to calculate completion of quantum circuit simple matrix principle is introduced. An important evidence of how to link together.Keywords: Quantum ; Circuit logic gate; Controlled operation；Matrix.进入了21世

7、纪以后，以硅芯片为主要代表的现代电子工业产品，各种激光设备的深入研究和不断开发，吸引更多科学家的学者把注意放在了量子信息，量子计算，这支萌芽不久但是发展迅速的神秘科学领域之中。而在实际应用中，利用量子计算量子态的各种模型表示信息时，就会出现为了实现逻辑变换的装备量子门，这些逻辑门的控制运算就和矩阵有关，这就说明量子线路一定和矩阵运算有关吧？答案无疑是肯定的。因为量子线路其实通俗的说就是量子门组成的进行程序逻辑运算的装置。这就足以证明量子线路与矩阵有着密不可分的关系，尤其是矩阵的乘法。这篇论文就是要通过对量子线路和量子门的分析找出其中的矩阵运算，并用矩阵知识去计算完成对量子线路的简单矩阵原理介绍

8、。着重要证明二者如何联系在一起的。19目录目 录摘 要IAbstractII目 录III引言11.研究价值11.1论题研究的意义11.2国内外研究现状22.量子线路中的逻辑门22.1逻辑门22.2各类逻辑门32.3通用量子门42.4量子计算73.逻辑门的矩阵表示113.1矩阵相关基础知识123.2矩阵的其他乘法133.3量子线路矩阵算法154.总结18参考文献19谢 辞20咸阳师范学院2016届毕业毕业论文（设计 ）引言 在人类历史不断前进发展的今天，总有新鲜的科学成就吸引大众的眼球，其中最新型的莫过于现代的量子理论系统，量子计算机的发现和发展.而最近人们则对是否能将叠加原理作为大幅增强的计算

9、能力一个方法表现出特别大的好奇和兴趣。人们通过各种研究，以求表示出这个计算过程. 矩阵的引入使得问题得以解决，人们利用矩阵来表示量子位，量子门，还有量子控制过程中的变化，通过这边论文主要让我们了解量子实现过程中的矩阵参与密度.量子计算机的实现离不开矩阵的乘法和分解，通过矩阵使得物理抽象概念具体化. 这边论文研究的目的是讲述量子线路与矩阵的关系，特别就是强调矩阵在量子线路的控制过程中的作业模型，同时又有量子计算过程实现，量子计算机在发展过程中离不开矩阵运算，它的叠加过程，并行性运算都是矩阵的乘法计算从数学的角度出发解决物理问题，同时可以启发我们如何更好地运用数学这个理，工学方面的工具.1.研究价

10、值1.1论题研究的意义随着时代的发展以及人类进步的要求，各方面的科技都有了长足的突破，尤其是硅芯片等作为代表的现代的子工业产品，还有各种激光设备等，在医学，通讯等方面的诸多利用都促使大量的科研人员，学者把目光聚焦于量子计算，量子信息这支新兴科学领域，然而在利用量子计算及量子态的各种状态来计算和表示信息时，就会有另一种装置即实现逻辑变换的装置量子门出现，而经过许多物理学家和数学家的共同努力，他们发现了这些量子门的控制运算实际上都多多少少和数学有关系，特别是数学学科里的矩阵运算.而他们又和量子线路有什么关系呢？那就是量子线路本质上就是由量子门组成的可以进行逻辑运算的模型.所以说量子线路与矩阵不可分

11、离就如它和量子门这个基本单元不可分离一样.该论题主要是研究量子线路与矩阵乘法的关系，使我们简单了解什么是量子线路，还有量子线路中关联的矩阵运算，为我们更好地发展量子计算机和量子信息做好基础工作.随着科技的发展研究的深入，量子线路与矩阵的联系这一研究过程必不可少，而且现在已经发展的趋于成熟.我们有必要粗劣的懂一些关于它们的知识.1.2国内外研究现状我们思考量子线路这个问题时就不得不思考他的由来，而这个概念太过宽泛当然和量子计算，量子信息脱不开关系.由于量子力学，计算机科学，信息论等的飞速发展迫使我们不得不更全面和深入的了解这样一门关于量子的科学，量子计算机的“有效”，“非有效”底是指什么，早在量

12、子计算出现之前，回答这个问题需要的关键概念就已经被定义了，尤其是计算复杂性理论准确的从数学上定义了.这些都是量子计算机的发展，当然它的发展前景无疑是很广阔的，这里需要强调一点本文中“量子计算机”一词实际上是计算的量子线路模型的同义词.慢慢被揭开神秘的面纱，在我们实际科学发展领域中提供了很大帮所以不必一直强调量子线路这个名词.有外国发展起来的量子计算，量子计算机已经助，所以科学家们会继续下去.我们国家的先进科学领域的创新者们也加入了这其中.现在我们已经知道量子线路中的控制是通过逻辑门“或”，“与”，“非”实现的，当然这当中远比这三个字要复杂得多.这些逻辑运算我们又要借助数学工具来完成，当然这个数

13、学工具就是矩阵，尤以矩阵乘法为常用.就目前来看关于量子线路与矩阵关系的联系的研究以及相当有水准了，以后也会让它更加完善量子线路中的门.2.量子线路中的逻辑门2.1逻辑门逻辑门就是用来表示集成电路 上的基本的构成元件一种计算模型.我们所熟悉的简单逻辑门是由晶体管组成.通常见的逻辑门有“与”门，“非”门，“或”门，“异或”门（也可称：互斥或）等等。逻辑门能够配合使用完成更加驳杂的各类种逻辑运算.这些还都在我们的钻研之中.中文名逻辑门外文名组 成晶体管用 途实现我们实际应用中的更为复杂的逻辑运算。数学关联逻辑门又可以称为"数字逻辑电路基本单位.执行“或”、“与”、“非”

14、、“或非”、“与非”等逻辑运算的电路.任何驳杂的逻辑电路均可由这些逻辑门构成.普遍应用于计算机、通讯、控制和数字化仪表.最近几年也频繁应用于量子计算机（计算的量子线路模型）当中.2.2各类逻辑门2.2.1或门 或门（英文：）又称做或电路.ABYABC0000111011112.2.2与门与门（英语：）又叫做"与电路”。YABBAY ABC0000101001112.2.3非门 非门（英文：）又叫做反相器，它代表的是反相的意思.OUTAAB01102.3通用量子门2.3.1两级酉门通用的例1：是一个矩阵，设具有以下形式：则可以找出,使得于是 构造:若则置 若则置同理得到两级矩阵：若则置

15、若则置两种情况下做矩阵的乘法都能得到由于是酉的，可导出也是酉的，又因为的第一行的模必须为1，所以.最后，置很容易证明,于是，是的两级酉矩阵分解.2.3.2单量子比特门和受控非门是通用门 量子线路实现的基本想法是通过一系列的门的实现状态变化，再进行受控运算.依次交换的实现效果如下所示：例2：假如希望实现一个两级酉变换是能够使为酉矩阵的任意复数，且的作用只有在状态和上是一般的，可以写出连接和的键码：从这个变化过程我们可以的得到把与交换.接着就可以运算利用第二和第三量子比特是为条件，应用到状态和的第一量子比特.最后还原和状态.即让它们交换.2.4量子计算2.4.1量子计算与量子信息 (1)联系用于在

16、线路间传送信息，而逻辑门负责处理信息，把信息从一种形式转化为另一种.比如，在考虑一个经典单比特逻辑门.唯一的不平凡成员是非门，非门的操作由其真值表定义，其中，即将，状态交换.量子非门的作用线性，即把状态变到和状态角色互换的新状态量子非门的作用是线性的而不是非线性的原因很有趣，事实上就是因为这一线性行为是量子力学的一般属性的逻辑如下：量子非门能够很便捷的用矩阵的方法来表示.定义一个矩阵来表示量子逻辑门中的非门：如果把量子态写成向量形式那么量子非门的输出就是注意非门的作用是把状态变成矩阵的第一列所对应的状态，把变成矩阵第二列所对应的状态.因此单量子比特的量子门由矩阵给出它的限制就是满足这些关于矩阵

17、表示量子算法和电路的控制都是越来越深入的研究，我们会发现量子计算机和矩阵运算的关系密不可分.量子线路可以进行哪些类型的计算？这类计算与经典逻辑电路可做的计算相比又如何?那就是，量子计算机能够特别容易的来模拟经典的量子计算机，如果要完成这个任务，我们就需要有像随机的均匀硬币产生正反面这个过程，而这就可以由制备一个我们需要的处于某种状态的量子比特，送到一个门则会有产生出,在进行状态测量来完成，结果就是和各有50%概率.这就为量子计算机提供了有效模拟不确定的经典计算机的能力.量子信息:信息表示量子比特的两个极化状态是二维复数向量，它们构成二维复数空间的长度为，且的内积为.因此我们如下表示也可以 无论

18、如何选择它的向量长度始终是，计算其内积可知都是量子信息论的基本目标：（1）确定量子力学静态的资源的最根本范例，经典信息论中的基本静态资源与信息论有这相当大的关系，另外一个静态的最根本范例就是分开双方同享的态.（2）确定量子力学动态过程的基本类型.（3） 利用基本的动态过程来对进行中的资源量化的折衷.2.4.2受控运算受控运算的原型就是受控非门，门，它实际上是具备控制量子的比特和目标的量子比特的一种量子控制系统.它其实就是一种用于基本计算的基，受控运算里的受控非门由给出，即如果控制量子比特置为，那么目标量子比特翻转，否则的话目标量子比特保持不变.那么在这个基下，受控非门的矩阵通常表示为：实现如下

19、变换：当目标量子比特为时则该基本状态的向量表示为,通过作用后表示为：则说明基本状态经过作用后仍为，那么当分别输入，时变化过程则描述为：由上面的计算可以知道实现受控非门具有的变化功能，即.同时我们需要知道标准基的量子位表征是如果叠加态则表正为：受控运算就与矩阵有着相当严密的联系当然这就是常见的多量子门（1）受控非门（2）受控交换门（3）受控-受控非门我们利用受控非门可以建立如下的恒等式12345678量子线路控制方法矩阵的乘法和分解的应用相当广泛，在量子计算中量子门，乃至于量子线路都和幺正算符以及他们对应的矩阵在意义上是相通的，如果我们要实现对量子态的主动控制，它必须被应用到酉矩阵的分解当中，并

20、通过矩阵的乘法等在量子系统中的做法，增加适当的外部控制，控制应包含控制领域，控制目标。这样就能够实现通过一系列的控制点来完成线路控制.例3：受控-U门可以用矩阵如下表示： 操作状态：那么我们就可以把受控-U门的矩阵用如下的矩阵来表示： 所以我们要更多的研究去发现矩阵和量子线路的控制关系，矩阵表示的门电路在量子线路中广泛使用的量子逻辑门等都和数学矩阵运算关系密切，我们通过数学思想的应用使得这些抽象的东西可见化和实体化.现在当前迫切的需要我们利用更多矩阵方面的知识去解决这些量子计算，量子信息，量子计算机模型（量子线路）中的问题.通过矩阵可以实现类似以到的控制变化.数学的思想常常应用于各类科学解释中

21、，就如有“人说过一门学科如果不能“数学化”，就算不得精确学科，或被认为是不成熟的学科”.足以说明数学方法应用的重要性，当然每一种学科都有其自身的独特性，同时 有需要以其他学科相结合来是自身更全面和科学.矩阵和量子科学的结合就是最好的促进量子科学发展的契机，看似简单的线路模型，看似简单的矩阵乘法或矩阵分解运算一旦结合在一起，就显示出其极大的优越性，矩阵使得线路控制态可视化，而且可以让结果状态成为我们所需要的状态，0和1的互相转换都是矩阵可控的.例4：泡利矩阵的三个分量分别为：进行电子自旋计算如下：简单的计算还可以得到泡利矩阵具有如下的性质：由矩阵的控制计算得到电子自旋态方向的改变从而控制量子线路

22、的状态情况对反馈控制的系统有相当重要的贡献，通过矩阵乘法的计算来得到我们需要的量子状态，有这些例子可以看出矩阵计算来表示相关量子线路中的元素然后把这些元素结合计算就得到我们需要的量子控制态的最终的表示形式.这样的方式可以直观明白的表示抽象的线路量子门的变化情况，服务于量子计算和量子线路的其他方面.3.逻辑门的矩阵表示3.1矩阵相关基础知识矩阵的符号表示设给予某一数域K域K中的数的长方形阵列称为矩阵，如果，那么就可以称其为方阵，而相等的两个数m和n称为矩阵的阶，一般情况下，矩阵维长方矩阵，在矩阵中那些数叫做为它的元素.我们一般比较简便的记法如下：矩阵乘法设为的矩阵为的矩阵那么称的矩阵为矩阵与的乘

23、积，记作：矩阵的第行第列的元素可以表示为如下面的例题例5：乘法原则：第一个矩阵的每一行去乘第二个矩阵的每一列注意事项：矩阵 的行数和矩阵的列数相等时，与才可以相乘.1.矩阵的行数等于矩阵 的行数， 的列数等于 矩阵 的列数.2.乘积 的第 行第 列的元素等于矩阵的第 行的元素与矩阵 的第 列对应元素的乘积.例6：矩阵乘法的基本性质1.结合律 2.左分配律3.右分配律4.数乘的结合性但是切记矩阵乘法一般不满足交换律即：3.2矩阵的其他乘法3.2.1矩阵乘积矩阵 矩阵的积记为 即为：例7：3.2.2矩阵乘积积是两个任意大小的矩阵之间的乘法运算，可以表示为，克罗内克积也可以称之为直积或者张量积，它是

24、以德国数学家利奥波德.克罗内克的名字命名的。计算举例如下：例8：3.2.3常用与量子线路计算中的矩阵1.阿达马矩阵阿达马门表示对一个一个量子比特进行操作的门.这个门可以将基本的状态变成，还可以把变成这个门可以以阿达马矩阵来表示如下：由于的每一列都是正交的所以说H是一个酉矩阵而这个矩阵则最根本就来自于我们的数学矩阵论中.2.矩阵（1）泡利-门泡利-门操作一个量子比特它把转换成而且可以把转换成相当于经典的逻辑非门如下来表示：这个操作是一个恒等操作，即：输入态和输出态相同(2)泡利-门泡利-门是操作一个量子比特，我们可以用一个如下的矩阵来表示它：作用：改变状态和的相对相位(3) 泡利-门泡利-Z门是

25、操作一个量子比特，门保持基本的状态不变，但是把转换成我们可以用如下的矩阵来表示： 作用：改变状态和的相对相位(3)Swap门互换门是操作量子比特，我们用如下的矩阵来表示它.3.3量子线路矩阵算法多量子比特中逻辑门（门）的控制如下所示.如果是门控制时量子比特的置的话，那么目标量子比特保持不改变，如果量子比特的置为，那么目标量子比特发生翻转.这里我们主要讨论利用矩阵的方法能够使量子的状态发生变化.必须考虑到.则有 故可以得到在量子计算里面.那么我们可以得到以下结论：当输入的量子比特为时就有如下变换：实现了如下的变化：则通过如上面例题所给的控制算法我们足以明白量子线路和矩阵的计算密切相关而且量子线路

26、的基本元件量子门都用特定的矩阵可以描述出来低电平的输入端，高电平的输出端或者是高电平的输入端和低电平的输出端这些都可以通过矩阵运算来控制.通常可以利用矩阵的方法使得量子态发生改变从而引起量子线路的状态变化.这些门电路矩阵的表示，矩阵的计算方法都能够来表明量子线路与矩阵的的联系，表示法和矩阵相关，控制计算方法和矩阵相关.通过我们对于量子线路的基本单元量子门的各种了解和计算足以来说明联系线路的数学计算离不开矩阵计算，尤以矩阵的分解和矩阵的乘法最为普遍.例9：3个量子态：，相应的密度矩阵为，相应的密度矩阵为，相应的密度矩阵为则可以分解成 但是不可以分解，可以部分分解为对于矩阵的分解在量子线路中的应用

27、主要有矩阵的奇异值的分解和矩阵的谱分解分解（1） 分解分解应用：（1）的应用（2）的应用（3）的应用（4）的应用这些是关于矩阵的分解的量子应用.而前面用了大量的篇幅和例题讲述了矩阵的乘法运算在量子控制的过程中在在引起电路状态变化的模式里所起的作用我们能够知道量子线路与矩阵的关系可谓密切.矩阵是解决量子问题的数学工具.有了矩阵引入的关系我们能够使更多的量子系统中的未知问题得到更好的解决，让高端的量子科学被一般人所理解，引起大家对于新兴科学的广泛关注。而我们所知道的量子系统中关于矩阵论的应用绝不是在空口说话，因为有了特殊矩阵的分解和乘积的应用，这就加深了人们对于矩阵在量子线路的控制态和数学模型建设

28、过程中的认识.矩阵的应用使得量子学变得直观和简单，我们通过数学的可视化运算就能够知道线路的电平状态，数学是解决物理知识的工具，同时量子计算机模型超出了我们直观观察的范畴.而一旦我们引入了量子线路的线路模型的完备性问题，我们就要建立信息处理的系统，这就表明我们必须有用一个连接抽象和现实的桥梁，数学中的矩阵正好充当了这个角色.通过以下的例子亦可以证明： 例10：量子计算中状态正交时的矩阵计算模型为了和量子力学中的表示方法一致，我们可以如下表示量子状态 即 假如形成一个幺正矩阵，那么上式就是一个量子幺正演化，可以完成模型的量子计算任务. 如果权值矩阵取特定的值，如矩阵，那么通过计算我们可以看出在权值

29、矩阵的作用下量子状态由这就说明通过矩阵的变换运算可以实现模型的异或功能，即一直在反复强调量子线路与矩阵的关系，其实简单来说就是矩阵在量子线路中的应用，而这里的应用主要指矩阵的表示法，矩阵的乘法，矩阵的分解。我们也知道矩阵的置换，矩阵的逆，密度矩阵也是应用于其中的，当然量子的并行性运算就应用了矩阵的乘法，除了这些，还有一些特殊矩阵就像泡利门的矩阵，阿达马门的矩阵，都是为了方便简明的表示量子线路中的元素.通过这些本征态能空性的概念的矩阵表示使原来不可行的控制任务变得可行，并且这些应用不再只局限于有限的模型维度中，这也充分使得量子系统本身的特点以及量子计算，和量子信息等相关领域的手段的应用和计算.未

30、来量子信息，量子计算，量子线路的矩阵运算能够推动这个新兴科学的继续发展，我们能够让人类的进步更加的快速.4.总结本篇论文主要研究量子线路与矩阵的联系，数学的矩阵运算在控制电路状态变化过程中所起的作用，把数学的矩阵和物理计算联系应用在一起而量子计算机属于 新兴科学领域的的发展总体目标，可以利用来解决许多方面的复杂计算问题.这篇论文对于量子线路方面的介绍也是极其浅薄的，可以说就是冰山一角，希望可以能引起大家对这个新科学的注意，同时对于矩阵和量子线路的联系也只讲到他们运算相关，线路的矩阵可控性，有待更深入的研究.参考文献1丛爽.量子力学系统控制导论M.科学出版社.2006年.2李惜雯.数学物理方法要点与解题M.西安交通大学出版社.2006.8.3高山.量子M.清华大学出版社.2003.10.4曾谨言.龙桂鲁.裴寿镛量子力学新进展(第三辑)M