无穷小量的应用

1、本 科 毕 业 论 文题 目： 无穷小量的应用 学生姓名： XXX 学 院： 数学科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级：XXXXXXXXXXXX 指导教师： XXXXXXX 教授二 一三 年 四 月数学科学学院本科毕业论文 无穷小量的应用目 录引言 11无穷小量的基本内容 21.1无穷小量的概念21.2 无穷小量的性质 21.3 无穷小量阶的较 31.4常用的等价无穷小量42无穷小量在广义积分方面的应用 5 2.1定理推论及证明5 2.2定理及推论的应用举例63无穷小量在正项级数方面的应用6 3.1定理及推论及证明6 3.2定理及推论的应用举例74无穷小量在求函数极限方面的应用84.1无

2、穷小量在求幂指函数极限中的应用84.2无穷小量在求代数和极限中的应用104.3无穷小量在求复合函数极限中的应用 125结论 156参考文献 167致谢 17无穷小量的应用内容摘要无穷小量是大学数学中最基本的概念之一，具有很好的性质，在判断广义积分，级数的敛散性，特别是在求函数极限的运算中具有很广泛的应用.本文从无穷小量的定义出发，阐述无穷小量的相关概念，介绍无穷小量的有关性质及定理，同时列举出部分重要的等价无穷小量.通过理论说明与具体举例相结合的方式展示无穷小量在判断广义积分、正项级数敛散性，求解函数极限方面的应用.关键词：无穷小量 函数极限 广义积分 正项级数17The Applicatio

3、n of Infinite Small AmountAbstract: The infinite small amount is one of the most fundamental concepts in the mathematics of university, which has very good properties in judgment. Infinite small is widely applied in judging the quality of restraint-dispersion of the generalized integral and the seri

4、es, especially in the operation of the limit of the function. Here I start with the definition of the infinite small amount to introduce its some important characteristics. And I illustrate its application of the limit of the function by specifically listing eleven pairs of the common infinite small

5、 amount of equal value.Keywords: infinitely small amount; the limit of the function; generalized integral; positive series引言（绪论） 无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性的概念.对于无穷小量应用的研究和推广，是现今数学领域的一个引人注目的课题.无穷小量无论是在高等数学中还是在专业数学中都是一个重要的概念，占有很高的地位.本文主要介绍无穷小量（概念、性质、定理）在微分领域的诸多应用和推广.1无穷小量的基本内容1.1 无穷小量的概念

6、1在收敛数列中,我们称极限为0的数列为无穷小量,例如数列都是无穷小量.要注意,无穷小量是一个变量,而不是一个非常小的量. 2设在某内有定义.若则称为当时的无穷小量.3在柯西借助于严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量其本质是：无穷小量是一个变量，它在自己的变化过程中，就其绝对值而言，可以小于任何给定的正数e，或者说它可以无限地接近于0.综合以上：极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).4. 注意：（1）这里指极限，包括数列极限和六种形式的函数极限；（2）无穷小量是相对某个极限过程而言；（3）无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数；（4）数0可视为无穷小量，但无穷小量不一

7、定是0. 1.2 无穷小量的基本性质由无穷小量的定义我们可以立刻推得如下性质性质1 在自变量的同一变化过程中,两个无穷小量的代数和仍是无穷小量.证明：，性质2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.证明：性质3 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.推论推论1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.推论2 常量与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量.推论4 无穷小以极限不为零的变量除量，其商仍是无穷小.1.3无穷小量阶的比较 无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢，我们可以通过考察两个无穷小量的比，得出它们的收敛速度.定义2 设当时,与均为无穷小量

8、.（1） 若，则称当时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作 即：趋于0的速度比快；（2） 若存在整数K和L，使得在点的某个空心领域上有，则称与为当时的同阶无穷小量，即与趋于0的速度相仿；（3） 若，则称与是当时的等价无穷小量.记作若无穷小量与满足关系式：，则记作 .性质4 等价无穷小量的等价关系具有：反身性、对称性、传递性、代换性.性质5 （1）设在同一极限极限过程下的两个无穷小量的比式中，若将它们都换以自己的等价无穷小量，则所得比式的极限值不变.1.4常用的等价无穷小量 当时，有例1 求解 由于故由性质5（1）得例2 求解 由于而故有注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对

9、所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则一般情况下不能随意替代.如在例2中，若因有而推出则得到的是错误的结果.2无穷小量在广义积分方面的应用2.1定理推论及证明 广义积分是数学分析中比较重要的一部分内容.在学习广义积分的知识时，最主要的是学习如何判断广义积分的敛散性,而在判断广义积分的敛散性时,对无穷小量的应用是必不可少的.在判断广义积分敛散性的时候，我们最常用到的是敛散判别法中比较判别法的极限形式，这种判别法就是利用了无穷小量.下面的定理就是比较判别法的极限形式：定理1 若和都在任何上可积，且则有：（1） 当时，与同敛态；（2） 当时，由收敛可推知

10、也收敛；（3） 当时，由发发散可推知也发散.当我们把作为比较对象时，比较判别法的极限形式就可以写成如下定理：定理2 设定义在区间内的一个连续函数，且在任意区间上可积，则有：（1） 当时，广义积分收敛；（2） 当时，广义积分发散.2.2定理推论的应用举例例3 判断广义积分解 因为当时，则被积函数当时，收敛，当时，发散.所以可知：原积分在时收敛，当时，发散.3无穷小量在正项级数方面的应用3.1定理推论及证明无穷小量阶的比较在判断正项级数的敛散方面起着十分重要的作用。在正项级数敛散性判别法中的比较收敛法的极限形式就是无穷小量的一个应用.比较敛散法的极限形式如下：定理3 设级数与级数都是正项级数，如果

11、，则（1） 当时，级数与级数同敛态；（2） 当且级数收敛时，级数也收敛；（3） 当且级数发散时，级数也发散；由正项级数比较收敛法的条件可知，一般的应该有，那么此时与是当时的无穷小量，所以对于上述正项级数的敛散性判别法的极限形式，就可以用无穷小量阶的比较的概念作以下解释：（1） 当时，由无穷小量的比较可知，与是当时的同阶无穷小.这就说明与几乎同时趋于0的，所以说级数与级数是同时收敛或者同时发散.（2） 当时，由无穷小量阶的比较可知，是的高阶无穷小量，这就说明趋于0的“速度”要比“快”，所以级数收敛时，级数也应当收敛.（3） 当时，同样可由无穷小量阶的比较可知，是的低阶无穷小量，这就说明趋于0的“

12、速度”要比“慢”，所以级数发散时，级数也应当发散.当时，级数与级数是等价无穷小量.3.2定理推论的应用举例例4 判断级数的敛散性.解 当时，又当时，级数是收敛的，取，即.因为，即当时，是的高阶无穷小量，并且级数收敛，所以可得到级数也是收敛的.例5 判断级数的敛散性.解 当时， 因为，即当时，是是同阶无穷小量.又因为级数是调和级数，即级数发散，所以可知级数是发散的.4无穷小量在求函数极限方面的应用无穷小量在求函数极限的过程中应用是非常广泛的，而通常应用比较多的是无穷小量的等价代换，如果能够巧妙应用无穷小量的等价代换，常常能够使繁琐复杂的求极限问题变得简单便捷.4.1无穷小量在求幂指函数极限中的应

13、用求幂指函数极限的一般方法是利用恒等变换转化成指数函数，然后应用指数函数的连续性再求极限，但是对于等类型的不定式极限，可以运用洛必达法则求其极限，也可以直接利用无穷小量的等价代换来求解.定理4 设在点的某去心邻域内，与连续，且>0，则.证明 由于 ，所以.定理5 设在点的某去心邻域内，与连续，且>0，且当时，与为等价无穷小量，即则.证明 因为当时，即，所以 .定理6 设在点的某去心邻域内，与连续，且>0，且当时，则.例6 求极限解 由于当时，故由定理5可以得到再由定理6可得.所以例7 求极限解 当时，所以 4.2无穷小量在求代数和极限中的应用前面已经谈到，利用无穷小量的等价代

14、换求极限，只强调对所求极限中相乘或相除的因子进行无穷小量的等价代换，而对于极限式中的相加或相减的部分却不能随意代换.其实在特定条件下，在极限的加减运算中恰当的使用无穷小量的等价代换，这样可以使问题大大简化.定理7 若与为同一变化过程中的无穷小量，且则证明 因为所以则即 定理8 为同一变化过程中的无穷小量，且与为同阶无穷小量，又（1） 当时，则有；（2） 当时，则有；证明 因为与为同阶无穷小量，所以又因为，所以则当时，有即当时，有.同理可证（2）.例8 求解极限解 由于当时，又因为.很显然与都是的高阶无穷小量，而是的高阶无穷小量，由定理7可知所以例9 计算解 因为当时，有且所以，当时，且，所以，

15、当时，故由定理8可知4.3无穷小量在求复合函数极限中的应用无穷小量在求复合函数极限中的应用是非常重要的，在求复合函数极限的过程通常是困难复杂的，如果在复合函数内部，对其函数实施无穷小量的等价代换，就可以把繁杂问题简单化.引理 设函数与在的某去心邻域内有定义，满足：（1），与均是大于0；（2）；则有证明 由条件易知，从而，又所以定理9 设任意，与均是大于0的，且，若有则证明 由引理知故有定理10 若且则有 证明 例10 求解解 当时，有，由定理10可得例11 求解解 因为当时，有由定理9可得到在上述定理及例题的基础上，我们如下几个定理供以后的学者在函数极限应用方面的研究参考：定理11 若，并且则

16、定理12 设任意，与均是大于0的，且，若有则定理13 设任意，与均是大于0的，且，若有则结论无穷小量在判断广义积分，正项级数的敛散性，以及求极限运算过程的应用中，具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可以起到事半功倍的效果，特别是在函数极限方面的应用.函数极限计算是大学数学中的一个重要内容，无论是在专升本考试中，还是在考研中，都会出现求函数极限的问题，而无穷小量代换又是函数求极限运算中的一个重要方法.利用无穷小量代换计算极限，主要是在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理进行等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题过程

17、简化，降低运算错误.进行等价无穷小量的代换原则是整体代换或对其中的因子进行代换.即在等价无穷小代换中，可以分子分母同时进行代换，也可以对因子（或分母）进行代换，当分子或分母为和式时，一般情况不能将和式中的某一项以等价无穷小量替换，而应将和式作为一个整体（一个因子）进行代换.当分子或分母为几个因子乘积时，则可以对其中某些因子进行无穷小量代换.简言之，只有因子才可以进行等价无穷小量替换.最后笔者建议：随着科技的进步及迅速发展，社会各个领域中无穷小量的作用越来越突出，相信在不久的将来，无穷小量将会延伸到更多领域，并且会对我们人类产生更深远的影响。在无穷小量应用方面的学习研究，有必要对无穷小量的内容进行深刻的认识和理解，以便能够恰当合理的推广应用.参考文献1刘玉琏 傅沛仁 数学分析M. 北京：高等教育出版社，2008.2同济大学应用数学系. 高等数学（第五版）M. 北京：高的教育出版社，2002.3华东师范