将军饮马模型终稿将军饮马最大值模型

1、将军饮马模型将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营 a出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 b开会，应该怎样走 才能使路程最短？这个问题的答案并不难， 据说海伦略加思索就解决了它. 从此以后，这个 被称为“将军饮马”的问题便流传至今.【问题原型】将军饮马造桥选址 费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直

2、线i上找一个动点p,使动点p到两个定点a与b的距离之和最小，即pa+pb最小.作法：连接ab，与直线l的交点q,q即为所要寻找的点，即当动点p跑到了点q处,pa+pb最小，且最小值等于 ab.原理：两点之间线段最短。证明：连接ab，与直线l的交点q, p为直线i上任意一点,在"pab中，由三角形三边关系可知：ap+pb仝ab（当且仅当pq重合时取=）例2：在定直线l上找一个动点p,使动点p到两个定点a与b的距离之和最小,即pa+pb的和最小.7关键：找对称点 作法：作定点b关于定直线i的对称点c,连接ac,与直线i的交点q即为所要寻找的点, 即当动点p跑到了点q处，pa+pb和最小，

3、且最小值等于 ac.原理：两点之间，线段最短证明：连接ac，与直线i的交点q，p为直线i上任意一点，在"pac中，由三角形三边关系可知：ap+pc仝ac（当且仅当pq重合时取=）2.两动一定型例3:在/ mon的内部有一点 a，在0m上找一点b,在on上找一点 c,使得 bac周 长最短.作法：作点a关于0m的对称点a ,作点a关于on的对称点a'',连接a a''与0m 交于点b，与on交于点c,连接ab , ac , abc即为所求.原理：两点之间，线段最短2将军饮马模型例4:在/ mon的内部有点a和点b,在0m上找一点c,在on上找一点d，使得

4、四边形abcd周长最短.fr-s/o3将军饮马模型#将军饮马模型作法：作点a关于0m的对称点a ,作点b关于on的对称点b',连接a b,与0m交 于点c,与on交于点d，连接ac, bd , ab，四边形abcd即为所求.原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5:已知a、b是两个定点，在定直线i上找两个动点m与n，且mn长度等于定长 d （动点m位于动点 n左侧），使 am+mn+nb的值最小.#将军饮马模型#将军饮马模型提示：存在定长的动点冋题一定要考虑平移#将军饮马模型#将军饮马模型作法一：将点a向右平移长度 d得到点a',作a'关于直线i的对称点a'

5、;'连接a'b,交直线i于点n，将点n向左平移长度d,得到点m。作法二：作点a关于直线i的对称点ai，将点a1向右平移长度 d得到点a2,连接a2 b, 交直线i于点q,将点q向左平移长度 d,得到点q。原理：两点之间，线段最短，最小值为a b+mn例6:（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？军营4将军饮马模型#将军饮马模型瞭望台例6:直线li / i2,在直线li上找一个点c,直线i2上找一个点 d，使得cd丄12,且#将军饮马模型#将军饮马模型ac + bd + cd 最短./

6、?作法:将点a沿cd方向向下平移cd长度d至点a ,连接a'b,交i2于点dc丄i2于点c,连接ac .则桥cd即为所求.此时最小值为 a'b+cdd，过点d作原理:两点之间，线段最短,4.垂线段最短型例7:在/ mon的内部有一点 a，在0m上找一点b，在on上找一点 c,使得ab + bc最短.原理：垂线段最短点a是定点，0m , on是定线，点b、点c是0m、on上要找的点，是动点.作法：作点a关于0m的对称点a ,过点a'作a'c丄on, 交om于点b , b、c即为所求。#将军饮马模型例8:在定直线i上找一个动点 p,使动点p到两个定点a与b的距离之差

7、最小，即pa-pb 最小.作法：连接ab，作ab的中垂线与i的交点，即为所求点 p此时 ipa-pb |=0原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例9：在定直线i上找一个动点 c,使动点c到两个定点a与b的距离之差最大，即|pa-pb|最大作法：延长ba交i于点c,点c即为所求，即点b、a、c三点共线时，最大值为 ab的长度。原理：三角形任意两边之差小于第三边 例10：在定直线i上找一个动点 c,使动点c到两个定点a与b的距离之差最大，即|pa-pb|最大作法：作点b关于i的对称点b,连接ab， 交交i于点p即为所求，最大值为 ab的长度。原理：三角形任意两边之差小于第三边三角形典型例

8、题1.如图，在等边厶 abc中，ab = 6 , ad丄bc, e是ac上的一点，m是ad上的一点, 且ae = 2，求em+ec的最小值6将军饮马模型#将军饮马模型解：点c关于直线ad的对称点是点b,连接be，交ad于点m,则me+md最小， 过点b作bh丄ac于点h,则 eh = ah -ae = 3 -2 = 1 , bh = bc2 - ch2 = . 62 - 32 = 3 ,3在直角 bhe 中，be = bh2 + he2 =(3 3)2 + 12 = 2 7i在戢角中.昂ao45jmbac的平分蜒交bc于点dm n分别是ad和ab上的动点，则bm+mn的最小值是,解：作点日关于

9、ad的对称, 过扁b作b e丄ab于忌e交ad于庶f 则找段g'e的怏就呈bm +的最小倩&wfl?rt-aeb'中根据勾般是理雕!j. b e - 43 + r -a0c中,ab=2 . z0ac=3on .若在ac, ab上各取一庶m, n r bm+mn的值豪小r则汉彳曙小值解：作ab关于m 的对称线段ab' ,过扁用作田n丄ab,垂足为忖交ac于薦m ,s!l bn = mb'+mn =mb+mnb n的檢就星mb+mn的shmmsszb'an = 2zbac= 60 abh = ab = 2 .zanb'= 90° ”

10、 zb' = 30an = 1在育甫-ab m中.抿据勾股連理 圧n = 7将军饮马模型8将军饮马模型part2.正方形1 如砂正方形a旺d的边氏为8, m在dc上，且dm = 2n見ac上的一动瓠dn + mn的最小值为t即在直线ac上求一原n ,便dn+mn最小解：故咱点d关于ac的对称為b ,连接bm 交 actn0 则 dn+mn=bn+mn= bm 翳bm的长就足dn + mn的最小傅 smft-bcm中'cm=6, bc = 8 .则bm=10故dn+mn的最小值是102 .如圏所示r正方形abcd的面积为12 . -abe足等边三猜形，点e在正方形a0cd内,在对甬域ac上有一爲p便pd十pe的和flkh, 5®个翻借为（a . 2-3 b . 26 c . 3 d . 6解：即在ac上求一扁p （便pe+pd的雷億小翥d关于直线ac的对称誣扁b ,连接 be 交 ac于点 p则 be 二 pe+pe 二 pd+pe be的氏就是pd+pe的最小fit be = ab = 2/33 .在边按为2 m的正方形abcd中倚q为bc边的