整数的性质及其应用

1、全免费 ，免注册 ，无限资料无限下载欢迎您访问嘉兴数学教学网第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。1整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。定义：设是给定的数，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作 。由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若且，则(传递性质)；(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于

2、任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；(3)若，则或者，或者，因此若且，则；(4)互质，若，则；(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；(6)(带余除法)设为整数，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，。若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多

3、，见例1、例2。若是正整数，则；若是正奇数，则；（在上式中用代）(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2奇数、偶数有如下性质：(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数，奇数偶数偶数，奇数奇数奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；（3）任何一个正整数，都可以

4、写成的形式，其中为负整数，为奇数。（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。3完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3

5、整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的k次方幂。4整数的尾数及其性质整数的个位数也称为整数的尾数，并记为。也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，则；（6）；（7）；（8）5整数整除性的一些数码特征（即常见结论）（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除

6、，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。6质数与合数及其性质1正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，

7、则称这个自然数为合数。2有关质（素）数的一些性质（1）若，则的除1以外的最小正因数是一个质（素）数。如果，则；（2）若是质（素）数，为任一整数，则必有或（）1；（3）设为个整数，为质（素）数，且，则必整除某个（）；（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数能唯一地写成的形式，其中为质（素）数（）。上式叫做整数的标准分解式；（6）若的标准分解式为，的正因数的个数记为，则。典例分析例1证明：被1001整除。证明：所以整除。例2对正整数，记为的十进制表示中数码之和。证明：的充要条件是。证明：设（这里，且），则，于是有

8、对于，知，故式右端个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质可知它们的和也能被9整除，即。由此可易推出结论的两个方面。例3设是一个奇数，证明L对于任意正整数，数不能被整除。证明：时，结论显然成立。设，记所说的和为A，则：。由k是正奇数，从而结于每一个，数被整除，故被除得余数为2，从而A不可能被整除（注意）。例4设是正整数，证明：（）（）。证明：首先，当时，易知结论成立。事实上，时，结论平凡；当时，结果可由推出来（注意）。最后，的情形可化为上述特殊情形：由带余除法而，由于，从而由若是正整数，则知；而，故由上面证明了的结论知（注意时结论平凡），从而当时，也有（）（）。这就证明了本题的结论。 例

9、5设正整数满足，证明：不是质（素）数。证法一：由，可设其中。由意味着有理数的分子、分母约去了某个正整数后得既约分数，因此，同理，存在正整数使得因此，是两个大于1的整数之积，从而不是素数。注：若正整数适合，则可分解为及的形式，这一结果在某些问题的解决中很有作用。证法二：由，得，因此，因为是整数，故也是整数。若它是一个素数，设为，则由可见整除，从而素数整除或。不妨设，则，结合推出，而这是不可能的（因为）。例6求出有序整数对（）的个数，其中，是完全平方数。（1999年美国数学邀请赛试题）解：由于，可得：。又，于是若是完全平方数，则必有。然而，于是必有，即，此时，。所以所求的有序整数对（）共有98对：

10、。例7证明：若正整数满足，则和都是完全平方数。（2006年山东省第二届夏令营试题）证法一：已知关系式即为（）（）若（或者说中有一个为0时），结论显然。不妨设且，令，则，从而，将其代入得因为，所以，从而；而式又可写成；因为且，所以所以，从而。所以，所以，从而为完全平方数。所以也是完全平方数。证法二：已知关系式即为（）（）论证的关键是证明正整数与互素。记（，）。若，则有素因子，从而由知。因为是素数，故，结合知，从而由得1，这是不可能的。故，从而由推知正整数与都是完全平方数。例8证明不存在正整数，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数。证明：假设存在这样的正整数，使2n2+1，3n2+1

11、，6n2+1都是完全平方数，那么（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）也必定是完全平方数。而（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）36n6+36n4+11n2+1；36n6+36n4+9n2；36n6+36n4+12n3+9n2+6n+1；所以（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）与（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）为完全平方数矛盾。例9数列的通项公式为，记，求所有的正整数，使得能被8整除（2005年上海竞赛试题）解：记注意到，可得因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，它是

12、一个以6为周期的数列，从而故当且仅当练习题1证明：如果和都是大于3的素数，则6是的因子。证明：因为是奇数，所以2是的因子。又因为，除以3的余数各不相同，而与都不能被3整数。于是6是的因子。2设，证明：；解：由，故（）。又因为，从而，于是由整除的性质知。3证明：对于任意正整数，数不能被整除。证明：只需证2（）2（）即可。因为若是正整数，则；若是正奇数，则；故；， 所以2（）。又因为，所以2，所以2（）2即（）2（）命题得证。4已知为正奇数，求证：。证明：因为若是正整数，则；若是正奇数，则；所以，从而；，从而；，从而；又且，所以。5设a、b、c为满足不等式1abc的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.（1989年上海竞赛试题）解  （ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，abc|（ab-1）（bc-