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文档简介
1、四点共圆基本判断方法(超全) key. 四点共圆的证明五个基本判断方法: 1. 若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。 2. 若一个四边形的一组对角互补(和为180),则这个四边形的四个点共圆。 3. 若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。 4. 若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5. 同斜边的直角三角形的顶点共圆。四点共圆基本判断方法(超全) 1.若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆 。 四点共圆基本判断方法(超全) 如图,菱形abcd的对角线ac和bd相交于o点,e,f,g,h分别是a
2、b,bc,cd,da的中点,求证:e,f,g,h四个点在以o为圆心的同一个圆上 分析指导:利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半,再利用菱形的四边相等即可证出。四点共圆基本判断方法(超全)2.若一个四边形的一组对角互补(和为180),则这个四边形的四个点共圆 若a+c=180或b+d=180,则点a、b、c、d四点共圆四点共圆基本判断方法(超全)已知:四边形abcd中,a+c=180求证:四边形abcd内接于一个圆(a,b,c,d四点共圆 证明:用反证法 过a,b,d作圆o,假设c不在圆o上,则c在圆外或圆内,若c在圆外,设bc交圆o于c,连结dc,根据圆内接四边形的性质得a+dcb=180,
3、a+c=180dcb=c 这与三角形外角定理矛盾,故c不可能在圆外。类似地可证c不可能在圆内。 c在圆o上,也即a,b,c,d四点共圆。四点共圆基本判断方法(超全)3.若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。若b=cde,则a、b、c、d四点共圆证法同上四点共圆基本判断方法(超全)例 如图 所示,已知四边形 abcd 是平行四边形,过 点 a 和点 b 的圆与 ad、bc 分别交于 e、f 点。求证: c、d、e、 f 四点共圆。 分析: 欲证 c、d、e、f 四点共圆,可证以该四点构成的四 边形中,一组对角互补或外角等于内对角即可。 由此,连接 ef 构成四边形 efcd
4、 后,证明bfe = d 即可。 证明: 连接 ef, 四边形 abfe 是圆内接四边形, a + bfe = 180。 又 四边形 abcd 是平行四边形, a + d = 180。 bfe = d。 c、d、e、f 四点共圆四点共圆基本判断方法(超全)4.若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。 若a=d或abd=acd,则a、b、c、d四点共圆四点共圆基本判断方法(超全)用反证法:已知:同侧abc和cbd,共有底边cb,a=d,求证:a、b、c、d四点共圆证明: 假设四点不在同一圆上,作abc外接圆,则d点不在圆上, 因二角共用ab弧,则ad,与实际不符,所以只有d点在abc外接圆上,故a、b、c、d四点共圆。四点共圆基本判断方法(超全)5.同斜边的直角三角形的顶点共圆如图如图1,四边形,四边形abcd中,中,a=c=90,求证:,求证:a、b、c、d四点共圆四点共圆.如图如图2,a=c=90,求证:,求证:a、b、c、d四点共圆四点共圆. 分析指导:可以直接根据圆的定义证明分析指导:可以直接根据圆的定义证明a、b、c、d四点到四点到某一定点的距离相等某一定点的距离相等.取斜边的中点取斜边的中点o.,再连接,再连接a.c,利用斜边利用斜边中点等于斜边一半证中点等于斜边一半证oa=
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