宏观经济复习题

1、复习题1. 假设生产函数是柯布道格拉斯形式，例如，在索洛模型中：1） 求出稳态时的k*，y*和c*（提示，稳态时的k*，y*和c*是s, n, 和 的函数）2） 资本k的黄金律水平是多少？3） 产生资本黄金律水平kgr所需要的储蓄率是多少？解：1）C-D生产函数的紧凑形式为，其中y=Y/AL，k=K/AL。在索洛模型中，总量资本的动态方程为，化为紧凑形式后变为：，其中，在稳态时有，将代入，则得到均衡时的单位有效劳动资本存量：因此，2）根据当c最大时，有，即3）因为，所以，即将代入上式，得满足黄金律水平的储蓄应该为这正好等于产出的资本弹性。在C-D生产函数中，这意味着当储蓄率等于资本在产出中的份

2、额时，才能达到黄金律水平。2. 考虑一个带技术进步、但不存在人口增长的经济。初始状态位于均衡增长路径上，假设出现了新工人，导致工人数量发生了一次性“跳跃式”增加。分析下面的问题：1）在“跳跃”发生时，有效劳动的人均产出如何变化，为什么？2）当新工人出现时，有效劳动人均产出发生了初始变化后，有效劳动人均产出是否会有进一步的变化，为什么？3）一旦经济达到了一个新的均衡增长路径，新的均衡有效劳动的人均产出与原来相比有什么变化？解：1）假设在时间t0时，工人数量突然向上“跳跃”，L增加。这将会使得有效劳动人均资本存量均衡值k*下降到新的水平，由于y=f(k)，并且k与y呈正向关系，因此，有效劳动人均产

3、出水平y*均值也下降。f(k)(g+d)ky*sf(k)ynewknewk*2）在处，有效劳动人均产出会进一步变化。这是由于在处有，这意味着该点上投资水平高于收支相抵的投资水平，因而净投资增加，有效劳动人均资本存量升高，从升高到。随着k的升高，y也会回到原来的水平y*。3）最终，有效劳动人均产出回到原来的水平。3. 在拉姆齐模型中，给出单位有效劳动消费的欧拉方程cc=rt-g，其中，r(t)表示实际利率，在没有折旧的情况rt=f'(k)，在有折旧的情况下rt=f'k-。表示时间偏好，表示效用函数中的边际效应替代率，g表示技术进步率。单位有效劳动人均资本的动态方程为k=fk-c-

4、n+gk。其中，n表示劳动L增长率。下列参数和变量的变化如何和曲线，从而如何影响平衡增长路径上的c和k的值。1） 升高2）生产函数向下移动3）折旧率从零变为正值解：根据单位有效消费c和单位有效资本存量k的动态方程分别为： （1） （2）相位图为：图11) 的升高意味着消费的跨期替代弹性（1/）较小，意味着家庭将消费从现在推迟到未来的意愿越小，也意味着当消费升高时，消费的边际效应下降的更快。从方程（1）来看，曲线向左移动，而方程（2）显示，曲线不受影响。因此，新的相位图2表示为：AE图2首先，的升高使得当前消费升高，即均衡点从E移动到A点，增长重新位于鞍路径之上，沿着新的鞍路径，经济由A点向E移

5、动，重新回到新大稳态均衡点。由于变大，并且，因此在新的稳态均衡点，单位有效劳动的资本存量k下降，根据，k*的下降也是的新均衡点的单位有效劳动的消费c*下降。2) 生产函数向下移动意味着向下移动，因而在不变的k上，产出更低，并且也下降。给定k，由于，变小意味着向左移动。如图3所示，稳态下c*和k*都变小。图3 3) 当折旧率为正，资本积累方程为；相对于=0时的资本积累方程，为正意味着曲线下降。当为正时，消费动态方程为：，。这意味着相对等零时的消费动态方程向左移动。这意味着在更高的折旧率上，升高，这意味着k下降。因此，新的相位图表示为图4：图 4在新的均衡点，k和c更低。这里暗示，更高的折旧率意味

6、着为了维持原来的人均资本存量水平，收支相抵水平的投资更高，因而需要更高的消费。这导致人均消费下降。由于更多投资用于资本的广化，因而新均衡下的资本存量更低。4. 考虑两个经济体（i=1,2），生产函数是，资本的动态方程为：，并且，。假设两个经济体具有初始的资本存量K，但是。证明，升高。证明：升高，意味着在任何时间上两个比重的增长率都是正的。由（i=1,2）可以得到，两边取自然对数ln，并对时间t求导数，得到：其中，和分别为K1和K2的增长率。由于，如果证明>，则可以说明的增长率是升高的。根据和生产函数，可知国家i（1和2）资本的增长率为：，所以，由于，所以，处于递增状况。如下图：gki根据

7、，由于两个国家的初始资本存量相同，并且，所以国家1的资本增长率会高于国家2的资本增长率，即。因此得证。5. 假设世界上存在两个国家，北方和南方。北方的生产函数为，其中A为知识存量水平，且。南方没有研发活动，仅仅使用北方转让的技术。假设南方国家的技术水平落后于北方国家年，因此，南方的生产函数为，且。如果北方国家人均产出年增长率为3%，并且如果趋近于0，问值是多少才能使得北方国家的人均产出是南方国家人均产出的10倍？解：首先，根据生产函数给出北方国家和南方国家的人均产出，分别为：由于，则。根据北方国家人均产出的函数，人均产出增长率为：。由于，则。根据，可得出：=3%，由于是正的，可以认为接近于0。

8、这意味着，北方国家技术进步率是正的，且是不变的。假设初始的技术水平为，则有：和因此，北方和南方的人均产出分别可以表示为：如果北方国家的人均产出是南方国家的10倍，则有：，可以令=0，并且，因此，所以，（年）。即经过77年， 北方国家的人均产出是南方国家的10倍。6. 假设生产函数为，和。假设。1）H的增长率是多少？2）经济是否收敛到一个均衡增长路径？如果是的，在均衡增长路径上K和Y的增长率是多少？解：（1）根据，H的增长率为(2) 根据生产函数和K的动态方程，可以得到：两边取自然对数ln，并对t求导数：相位图为：gKgH因此，经济收敛于一个均衡增长路径。均衡时，有和，由于为常数，因此，得到K在

9、均衡路径上的增长率为：收入Y在均衡路径上的增长率为：7. 假定生产函数中的要素包括劳动L、资本K和土地X，且生产函数具有不变规模报酬和不变替代弹性的性质：其中，X>0，a>0, 且。不存在技术进步，L以不变速度n>0增长，土地数量固定。折旧率为0。收入现在包括了地租和对资本以及劳动的报酬。1）证明对要素的竞争性报酬分光了总产出2）当为什么值时，人均产出水平y在稳态中不变？当为什么值时，人均产出水平y在长期中平稳下降？8. 考虑一个带额外技术冲击的RBC模型，经济中存在无限存活的个人，人口数量不变。代表性个人的目标是使无限寿命内期望效应最大，并且假设C总是在的范围内。生产函数为。资本没有折旧，因此，利率是A。假设，其中，是独立同分布的冲击，均值为0。求：(1) 关于和的欧拉方程；(2) 假设消费的函数形式为：，给出关于和的函数形式；(3) 如果（1）中的欧拉方程对于所有的和值都满足，参数应满足什么条件？(4) 上的一次冲击将如何影响Y、K和C的路径？9 考虑下面的收入决定模型。消费