二项式定理性质ppt课件

1、九章算术九章算术杨辉杨辉详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表本积本积平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五乘商实商实1 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.rnC展开式展开式二项式系数二项式系数rrnrnbaCr+1n+1nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 二项式定理二

2、项式定理 )(Nn1rn rrrnabCT21615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 0

3、4 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn表中的每一个表中的每一个数等于它肩上数等于它肩上的两数的和的两数的和这个表叫做二项式系数表这个表叫做二项式系数表,也称也称“杨辉三角杨辉三角”nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 3二项式系数的性质二项式系数的性质 （1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两的两个二项式系数相等个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 42 2、若（、若（a+ba+b）n n的展

4、开式中，第三项的二项式系的展开式中，第三项的二项式系数与数与 第五项的第五项的二项式系数相等，二项式系数相等，课堂练习课堂练习1 1、在、在(a(ab)b)展开式中，与倒数第三项二项式系展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是数相等是( )( )A A 第项第项 B B 第项第项 C C 第项第项 D D 第项第项则则n=_n=_B B6 65先增后减先增后减n n是偶数时，是偶数时，中间的一项（第中间的一项（第 项）的二项式系数项）的二项式系数取得最大值取得最大值 ；2nnC12n当当n n是奇数时，是奇数时，中间的两项（第中间的两项（第 项）的二项式项）的二项式系数系数 和和 相等，且同时取

5、相等，且同时取得最大值。得最大值。 2 21 1n nn nC C2 21 1n nn nC C、121n121n（2）增减性与最大值）增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质 1615 20 1561111211331146411510 10516例例1、已知已知 的展开式中只有第的展开式中只有第10项的二项的二项式系数最大，求第五项。项式系数最大，求第五项。 nxx431 依题意，依题意， 为偶数，且为偶数，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT解：解：71.在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ； 在在(1

6、-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .510C611C511C2.（x-2)9的展开式中，第的展开式中，第6项的二项式系数项的二项式系数 是（是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126C3.3.在二项式在二项式(x-1)(x-1)1111的展开式中的展开式中, ,求系数最小的求系数最小的项的系数。项的系数。462462C C5 51111最大的系数呢？最大的系数呢？课堂练习课堂练习462462C C6 611118（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210

7、 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 二项式系数的性质二项式系数的性质 赋值法赋值法9例例2 2. . 的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_nx) 12(2解：解：设设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为令二项式中的字母为1 1naaaa210上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x

8、=1时，时， (2-1)(2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例题讲解例题讲解10例例3 3、证明：在证明：在(a(ab)b)n n展开式中展开式中, ,奇数项的二项式系奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和等于偶数项的二项式系数的和. . 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C即证：即证：n-1n-1证明证明（a+ba+b）n nC Cn n0 0a an n+C+Cn n1 1a an-1n-1b+Cb+Cn n2 2a an-2n-2b b2

9、 2+ + + + C Cn nr ra an-rn-rb br r+ +C+Cn nn nb bn n令令a=1,b=-1a=1,b=-1得得0) 11 () 1() 1(2n nn nr rn n2 2n n1 1n n0 0n nC C. . . .C C. . . .C CC CC Cn 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C特例法特例法赋值法赋值法113 32 23 30 01 12 23 32 22 20 02 21 13 3设设 2 2x x3 3a aa a

10、x xa a x xa a x x . .求求: : a aa a. .a aa a2 2的的值值. .1121357911111111111111_;_ .1.nnnnCCCCCCCCC10212 n课堂练习课堂练习12727012712713570246312 ).(xaa xa xa xaaaaaaaaaaa已已知知则则-2-10941093课堂练习课堂练习13例例4 4. .设设 二项式展开式的各项系二项式展开式的各项系数数 的和为的和为P P；二项式系数的和为；二项式系数的和为S S，且，且P+S=272P+S=272，则展开式的常数项为则展开式的常数项为_nxx)13 (3108n

11、=4例题讲解例题讲解1420(234.),x在在的的展展开开式式中中求求其其项项的的最最大大系系数数. .不不必必化化简简例例解解: : 设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r项系数最大的项是即例题讲解例题讲解15（1） 二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质: : （2） 数学思想：数学思想：函数思想。函数思想。 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性二项式系数之和: 最最 值值: :（3） 数学方法数学方法 ： 赋值法赋值法 、递推法、递推法21 nk当当 时，二项式系数是逐渐增大的，时，二项式系数是逐渐增大