导函数的性态及应用研究

1、 编号 潍坊学院本 科 毕 业 论 文 课题名称: 导函数的性态及应用研究 学生姓名: 学 号: 10051140101 专 业: 数学与应用数学 班 级: 2010级1班 指导教师: 2014 年 5 月导函数的性态及应用研究摘要：导数是微积分学习的基础知识,导函数是一个特殊的函数,它的广泛应用为我们研究数学问题提供了关键的工具,在研究数学其他领域中起着桥梁与纽带的作用.利用导数可以研究函数中的单调性问题,不等式问题,最值问题等,还可以与日常生活相联系,运用到生活中去.同时导函数自身还有两个性质,分别是导函数不存在第一类间断点及导函数的介值性定理.本文首先介绍了一些基础知识,为导函数性态及应

2、用的研究作下铺垫.然后介绍了导函数在判断函数单调性、证明不等式、判断曲线凹凸性以及在经济上的应用,同时还介绍了导函数不存在第一类间断点与介值性这两条性质的应用. 关键词：导函数 第一类间断点 介值性定理 单调性 凹凸性 Study on the Properties of Derivative Function and its ApplicationsAbstract: The derivative is the basic knowledge of studying calculus. The derivative function is a special function, whose

3、wide application provides a key tool for us to study the mathematical problems. And it acts as a bridge and a link in other areas of mathematics research. We can study the functions monotonicity, inequality, the most value, etc. using the derivative. Furthermore, we can contact the daily life and ap

4、ply it to the life. Meanwhile, the derivative function has two properties itself .The first is that the derivative function doesnt have the discontinuity point of the first kind; the other is the intermediate value theorem of the derivative function.This thesis will firstly introduce some basic know

5、ledge, paving the way for the study of the derivative functions properties and application. Then it will introduce the derivative functions application on judging the functions monotonicity, proving the inequality, judging the curves convexity and concavity and the derivative functions application i

6、n economy. At the same time, it will introduce the application of the two properties that the derivative function doesnt have the discontinuity point of the first kind and its intermediate value theorem.Key words: derivative function; discontinuity point of the first kind; intermediate value theorem

7、; monotonicity; convexity and concavity目录1.引言12.预备知识12.1基本定义12.2基本性质22.3基本定理23.导函数及其性质应用33.1导函数在判断单调性的应用33.2导函数在判断曲线凹凸性的应用33.3导函数在证明不等式中的应用33.4导函数不存在第一类间断点的性质应用33.5导函数介值性定理的应用33.5.1介值性定理在判断方程根的存在性上的应用33.5.2 介值性定理在解不等式方面的应用33.5.3介值性定理在实际问题中的应用33.6导函数在经济方面的应用3结束语3参考文献3致谢3 潍坊学院本科毕业论文1.引言导函数是一种特殊的函数,它的广

8、泛应用为我们研究数学问题提供了有力的工具,在研究数学其他领域中起着桥梁的作用.数学知识是紧密联系的,导函数的直接与单独应用是很少的,但是它作为一个基础的工具,在很多方面都展现了自己的才能.本文将对导函数的应用及其性质应用进行讨论,利用导函数可以判断函数的单调性,曲线的凹凸性,解决最值问题,还可以借助中值定理证明不等式与等式.关于导函数的性质,我国现行的大部分数学分析教材都涉及很少或者有的直接没有提到,在国外,前苏联格.菲赫哥尔茨写的两本数学分析原理曾被前苏联及我国的一些著名大学长期作为教科书使用,但仅论述了导函数的极限定理.美国鲁丁所著的第五章微积分中论述了导函数的介值性定理并据此推出了导函数

9、不存在第一类间断点.后来华东师范大学出版的数学分析第二版补充了导函数性质的几个定理.导函数的性质是微积分学习的重要基础知识,在数学分析教材中起着承前启后的作用.深入探究导函数的性质,不仅可以进一步的掌握导函数自身的本质属性,也有助于加深对数学分析中的一些基本知识点的理解与应用.在本文中,首先介绍了与导函数有关的一些基础知识.然后重点介绍了导函数判断函数的单调性,曲线的凹凸性,证明不等式的应用,还介绍了导函数不存在第一类间断点的应用和导函数介值定理的应用.2.预备知识2.1基本定义本节给出文中用到的几个基本定义.定义2.11设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,若极限limxx0fx-f(

10、x0)x-x0存在,则称函数f在点x0处可导,并称该极限为函数f在点x0处的导数,记作f'(x0).定义2.21设函数y=f(x)在点x0的某右邻域x0,x0+)上有定义,若右极限limx0+yx=limx0+fx0+x-f(x0)x (0<x<)存在,则称该极限为f在点x0的右导数,记作f +'(x0).类似地,我们可定义左导数f-'x0=limx0-fx0+x-f(x0)x. 右导数和左导数统称为单侧导数.定义2.31若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点,仅考虑相应的单侧导数）,则称f为I上的可导函数.此时对每一个xI,都有f的一个导数f'(

11、x)(或单侧导数)与之对应.这样就定义了一个在I上的函数,称为f在I上的导函数,也简称为导数.记作f',y'或dydx,即f'x0=limx0fx+x-f(x)x,xI.定义2.41设函数f在某U.(x0)内有定义.若f在点x0无定义,或f在点x0有定义而不连续,则称点x0为函数f的间断点或不连续点.（1）若limxx0fx=A,而f在点x0处无定义,或有定义但f(x0)A,则称x0为f的可去间断点.（2）若函数f在点x0的左、右极限都存在,但limxx0+fxlimxx0-fx,则称点x0是函数f的跳跃间断点.（3）跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点.第一类间断

12、点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在. （4）函数的所有其他形式的间断点,即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点,称为第二类间断点.定义2.51若函数f(x)与F（x）在区间I上都有定义,且F'x=fx,xI,则称F（x）为f(x)在区间I上的一个原函数.2.2基本性质本节将给出后面的叙述和推导中用到的导数的几条基本性质.性质2.12如果函数y=f(x)是周期函数且可导,则它的导函数y=f'(x)也是周期函数.性质2.22如果函数y=f(x)是偶函数且可导,则它的导函数y=f'(x)是奇函数.性质2.32如果函数y=f(x)可导且它的图像关于直线x=a对称,则它的导

13、函数y=f'(x)的图像关于点(a,f'(a)对称.2.3基本定理本节将介绍在后面的证明中用到的几个基本定理.定理2.11（介值性定理）设函数f在闭区间a,b上连续,且fafb.若u为介于fa与fb之间的任何实数fa<u<fb或fa>u>fb,则至少存在一点x0(a,b),使得fx0=u.定理2.21（根的存在定理）若函数f在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号（即fafb<0）,则至少存在一点x0(a,b),使得fx0=0,即方程fx=0在(a,b)内至少有一个根.定理2.31（达布定理）若函数f在a,b上可导,且f+'(a)f-'

14、;(b),k为介于f+'a,f-'(b)之间任一实数,则至少存在一点(a,b),使得f'=k.有时称上述定理为导函数的介值定理.定理2.41（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续,在U0(x0)内可导, 且极限limxx0f'x存在,则f在点x0处可导,且f'x0=limxx0f'x.定理2.51（罗尔中值定理）若函数f满足如下条件：(i) f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间(a,b)内可导；(iii) fa=fb,则在（a,b）内至少存在一点,使得f'=0.定理2.61（拉格朗日中值定理）若函数f满足如下条件

15、：（i）f在闭区间a,b上连续； （ii）f在开区间(a,b)内可导,则在（a,b）内至少存在一点,使得f'=fb-fab-a.定理2.71（柯西中值定理）设函数f和g满足（i）在a,b上都连续；（ii）在(a,b)内都可导；（iii）f'x和g'（x）不同时为零；（iv）gagb,则存在a,b,使得f'g'=fb-fagb-ga.3.导函数及其性质应用3.1导函数在判断单调性的应用判断函数单调性的方法有很多种,我们可以利用函数单调性的定义、图像、性质来判断函数的单调性,有时候利用这些基本方法会比较复杂繁琐,接下来我们将介绍导数在判断单调性上的应用.会用

16、到如下定理：定理3.12设函数y=f(x)在区间a,b上连续,在(a,b)内可导,则(1)若在(a,b)内恒有f'x>0,那么f(x)在a,b上严格单调增加；(2)若在(a,b)内恒有f'x<0,那么f(x)在a,b上严格单调减少.我们可以从下面的例题中体会导数在判断函数单调性上的应用.例3.1 讨论函数fx=2x3-9x2+12x-3的单调性.解 函数fx=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-,+).对任意x,f'x=6x2-18x+12 =6x-1(x-2)令f'x=0,可得x1=1,x2=2,这两个点将(-,+)分成三个区间：(1)当-&l

17、t;x<1时,f'x>0,所以函数fx在(-,1上单调增加；(2)当1<x<2时,f'x<0,所以函数fx在1,2上单调减少；(3)当2<x<+时,f'x>0,所以函数fx在2,+) 上单调增加.例3.2 讨论函数fx=14x83-x23的单调性.解 函数fx=14x83-x23的定义域为-,+.f'x=23x53-23x-13 =23x-1(x+1)3x令f'x=0,可得x=±1,x=0时f'x不存在,因此： (1)当-<x<-1时f'x<0,所以函数fx在(-

18、,-1上严格单调减少；(2)当-1<x<0时,f'x>0,所以函数fx在-1,0上严格单调增加；(3)当0<x<1时,f'x<0,所以函数fx在0,1上严格单调减少；(4)当1<x<+时,f'x>0,所以函数fx在1,+) 上严格单调增加.通过上述两个例题的研究我们可以总结一下用导数判断函数单调性这一类型的题目时注意的问题.（1）在讨论函数y=fx的单调性时,首先应先求出函数的定义域,只有在定义域内讨论fx是否有单调性才有意义. （2）如果f'x是连续函数,那么在判定f'x的符号时可以先求出满足f&#

19、39;x=0的点,然后用这些点将定义域分成若干个子区间,逐个讨论f'x的符号. （3）使f'x不存在的点也可能是函数的单调性发生变化的点（如例3.2）.例3.3 讨论函数f(x)=x+1,x<-1,x3,x-1的单调性. 解 f(x)为分段函数,定义域为-,+.当x<-1时,f'x=1>0,故fx在-,-1内单调增加.当x>-1时,f'x=3x2,令f'x=0可得x=0.在区间-1,0与(0,+)内恒有f'x>0,因此f(x)在-1,0与0,+)都是单调增加的,因此在-1,+)单调增加. 因为 limx-1-fx=l

20、imx-1-x+1=0f-1=-1,因此fx在x=-1处不是左连续的,故不能将单调增加区间-,-1与-1,+)合并.由例3.3我们还可以知道,当函数f(x)在区间a,b上连续,且f'x在(a,b)内除了在有限个点处等于零外,恒大于零（或恒小于零）,则仍有函数f(x)在区间a,b上严格单调增加（或严格单调减少）.3.2导函数在判断曲线凹凸性的应用在上面我们介绍了用函数y=f(x)的导数f'x的符号可以判断函数f(x)的单调性,也就是可以判断曲线y=f(x)是上升的还是下降的.以下定理说明,当函数y=f(x)在区间(a,b)内有二阶导数时,利用二阶导数的符号可以判断曲线弧y=f(x

21、)的凹凸性.定义3.13设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,（1）若对任意x0a,b,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线总位于曲线的下方,则称该曲线在a,b上是凸的；（2）若对任意x0a,b,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线总位于曲线的上方,则称该曲线在a,b上是凹的. 定义3.23 连续函数弧上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线弧的拐点.定理3.23 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,则 （1）若在a,b内恒有f''x>0,则曲线y=f(x)在a,b上是凸的； （2）若在a,b内恒有f''x&

22、lt;0,则曲线y=f(x)在a,b上是凹的.由定义3.1我们清楚了曲线的凹凸性,接下来的几个例子根据定理3.2,用导数来判断曲线的凹凸性.例3.4 判断曲线y=lnx的凹凸性.解 函数y=lnx的定义域为(0,+).由于y'=1x,y''=-1x2,因此y''在定义域(0,+)内恒小于零,故由定理3.2可知,曲线y=lnx在(0,+)内是凹的.例3.5 判断曲线y=arctanx的凹凸性.解 函数y=arctanx的定义域为-,+,y'=11+x2,y''=-2x(1+x2)2.当x<0时y''>0,

23、x>0时y''<0,因此曲线在(-,0是凸的,在0,+上是凹的.我们可以看出,通过二阶导数的符号就可以决定曲线弧的凹凸性,显然二阶导数发生变号的点也就是凹凸的分界点.所以拐点处的二阶导数等于零.因此利用导数不仅可以判断曲线凹凸性,还可以求出具体曲线的拐点.例3.6 求曲线y=x3-5x2+3x+5的拐点.解 y'=3x2-10x+3,y''=6x-10.令y''=6x-10=0,解得x=53.当x<53时,y''<0,当x>53时,y''>0,因此点(53,2027)是这

24、一曲线的拐点.例3.7 判断曲线y=x4是否有拐点.解 y'=4x3,y''=12x2.令y''=12x2=0,解得x=0.但是当x<0与x>0时y''>0恒成立.故曲线在(-,0与0,+上都是凸的,故点(0,0)不是曲线的拐点,因此曲线y=x4是没有拐点.例3.8 求曲线y=3x的拐点.解 当x0时,y'=13x23,y''=-29x53.显然使y''=0的点不存在.但在x=0处y''不存在.跟讨论极值点时要考虑一阶导数不存在的点一样,现在也需要考虑使y'

25、'不存在的点.当x<0时,y''>0,x>0时,y''<0,即曲线在(-,0上为凸,在0,+上为凹,所以点(0,0)是曲线的拐点.由以上几个例子,我们可以总结出求连续曲线弧y=f(x)的拐点的步骤：（1）首先求出y''(x),并求y''x=0或y''(x)不存在的点.（2）判断上述两种情况的点左右两边y''(x)是否异号,异号时对应点为拐点.3.3导函数在证明不等式中的应用导数在微分学的研究中具有非常关键的地位,数学知识是紧密联系的,导数的直接应用与单独应用是有限的,

26、它的主要应用是通过中值定理取得.在上面第二章的预备知识里我们已经介绍了中值定理的具体内容.接下来就以导函数为基础,利用中值定理,函数单调性等证明不等式.例3.9 设函数fx在a,b上连续,在(a,b)内可导,且不恒为常数,又设fa=f(b).试证：存在a,b,使得f'<0.证 因为函数fx不恒为常数,故在a,b内至少有一点c,使得fcfa=f(b)不妨设 fc>fa=f(b)在区间c,b上应用拉格朗日中值定理,存在c,ba,b,使得f'=fb-fcb-c又fb-fc<0, b-c>0,所以f'<0.同理可证：存在a,b,使得f'&g

27、t;0.例3.10 证明：当x>0时,ln1+1x>1x+1.证 令fx=lnx,任取x>0,则fx在x,x+1上满足拉格朗日中值定理条件,故在(x,x+1)内至少有一点,使得f'=fx+1-fx,即1=ln1+1x,又x<<x+1,所以1x+1<1<1x,从而ln1+1x>1x+1.例3.11 证明sinx-sinyx-y.证 记fx=sinx,则fx在x,y上满足拉格朗日中值定理条件,所以(x,y),使得 fx-fy=f'(x-y)即sinx-siny=cos(x-y)又因为cos1,因此我们有sinx-sinyx-y.例3.

28、12 若0<x1<x2<2,求证ex2-ex1>(cosx1-cosx2)ex1.证 实际上只须证ex2-ex1cosx1-cosx2>ex1即可.令ft=et,gt=cost,则ft,gt在x1,x2上满足柯西定理的条件,所以fx2-f(x1)gx2-g(x1)=f'g',(x1,x2)则 ex2-ex1cosx1-cosx2=e-sin, 0<x1<<x2<2,从而 ex2-ex1=cosx1-cosx2e1sin>cosx1-cosx2e >cosx1-cosx2ex1其中,1sin>1及ex是单调增

29、函数.3.4导函数不存在第一类间断点的性质应用导函数不存在第一类间断点的这个性质是学习微积分的基础知识,在解决和证明函数可积和导函数连续等一类问题很有用.性质3.14f(x)在(a,b)内处处有导数f'(x),则f'(x)在(a,b)上不具有第一类间断点.引理3.14如果函数f(x)在I上是单调函数,x0I,x0是函数f(x)的间断点,则x0一定是函数f(x)的第一类间断点.例3.13 Fx在区间a,b上可导,并且Fx在a,b上单调,试证明Fx在a,b上连续.证 由性质3.1可知F(x)在区间(a,b)上若有间断点的话,则该间断点不是第一类间断点,由引理3.1知, Fx在a,b

30、上单调,则Fx的间断点只能是第一类.所以,Fx没有间断点,Fx在a,b上连续.例3.14 设Fx=x,x0,1,x=0, 证明：不存在一个函数以Fx为其导函数.证 因为limx0+Fx=limx0-F(x)F(0),又有导函数的性质3.1可知,Fx不存在第一类间断点,与上面矛盾,所以不存在一个函数以Fx为其导函数得证.例3.15 设函数f(x)在0,1上处处可导,导函数f'x=Fx-G(x),其中Fx,G(x)都是单调函数,并且f'x>0, x0,1.试证明： c>0,使f'xc, x0,1.证 x00,1,因为Fx,G(x)都是单调函数,可由引理3.1知l

31、imxx0+Fx,limxx0+G(x)存在,故有limxx0+f'x=limxx0+Fx-limxx0+Gx.同理可知limxx0-f'x存在,函数f(x)在0,1上处处可导,由f'x的性质可知,f'x在0,1不具有第一类间断点,故limxx0+f'x=limxx0-f'x由x0的任意性可知f'x在0,1上连续,则f'x在0,1上存在最小值,即x00,1,使得f'xf'x0,x0,1.又因为f'x>0,x0,1,则f'x>0.令c=f'x>0.即证f'xc x0,

32、1.3.5导函数介值性定理的应用3.5.1介值性定理在判断方程根的存在性上的应用在证明方程根的存在性时,一些具体的简单方程容易求根,我们很容易的得出这个方程是否存在根.还有一些方程特别复杂或者没有给出具体方程,这时我们想采用先求出它的根再说明根的存在性的方法来证明根的存在性是有一定难度的.此时,我们可利用介值性定理来解决方程根是否存在.例3.16证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且不超过a+b.证 设fx=x-asinx-b,由已知可得： 1ax-ba=sinx,即-11ax-ba1.因为a>0,b>0,所以b-axa+b考察 fb-a=b-a

33、-asinb-a-b=-a1+sinb-a0, fb+a=b+a-asin(b+a)-b=a1-sinb+a0,当b-a>0时,至少存在一个正根b-a,a+b,使f=0;当b-a0时,不妨只考察0,a+b,因为0,a+bb-a,a+b,并且 f0=-b<0,f(a+b)0,所以至少存在一个正根0,a+b,使f=0.因此,方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且不超过a+b.例3.17 函数f在a,b上连续,且fa,ba,b成立.试证明：x0a,b,使fx0=x0.证 由题意可知, xa,b满足afxb,并且afa,fbb.当a=fa或fb=b时,则x0

34、取a或b,有fx0=x0成立.当a<fa与fb<b时,令Fx=fx-x,则 Fa=fa-a>0,Fb=fb-b<0.所以由根的存在性定理得,x0a,b,使Fx0=0,即得fx0=x0.例3.18 设f(x)在闭区间a,b上连续,且fx>0,又Fx=axftdt+bx1f(t)dt,试证明Fx=0在(a,b)内有唯一实根.证 由于函数f(x)在闭区间a,b上连续,Fx=axftdt+bx1f(t)dt,因此函数Fx在a,b上可导,故函数Fx在a,b上连续.又因为fx>0,所以Fa=ba1f(t)dt<0,Fb=ba1f(t)dt>0由零点定理可知,

35、至少存在一点(a,b),使得Fx=0在(a,b)内至少有一个实根.又因为F'(x)=fx+1f(t), fx>0,所以F'x>0,因此Fx在(a,b)内单调递增,因此,Fx=0在(a,b)内至多有一个实根,综上所述,Fx=0在(a,b)内有唯一实根.3.5.2 介值性定理在解不等式方面的应用介值定理应用根的存在定理的逆否命题解不等式,而原命题和它的逆否命题是同时成立的,下面给出根的存在性定理的逆否命题,以便利用介质定理解不等式.定理3.31(根的存在性定理的逆否命题)如果方程fx=0在闭区间a,b上没有根,则函数fx的值在闭区间a,b内保持相同的正负号.例3.19解

36、不等式3-x-x+1>12解 原不等式的定义域为-1,3,我们考察方程3-x-x+1=12解得 x1=8-318,x2=8+318.这两个根将定义域分成三个小区间： -1,8-318、8-318,8+318、8+318,3.在-1,8-318内,取x=0,左边=3-1>12,原不等式为真.在8-318,8+318内,取x=1,左边=2-2=0<12,原不等式为假.在8+318,3内,取x=2,左边=1-3 <12,原不等式为假.所以原不等式的解集为-1,8-318.无理不等式通常要进行“两边平方”的变形,但这只是在一定条件下才是等价变形,所以必须就x的不同取值范围进行讨

37、论,因此相对来说计算是比较困难的.利用介值定理则计算简单,而且易于理解.例3.20 解不等式sinx >cosx.解 我们假设fx=sinx-cosx=2sin(x-4),则函数的最小正周期T=2, 在0,2内fx=0的解为x1=4和x2=34. x1,x2把0,2分成三个区间,分别为0,4,4,34,（34,2）,在这三个区间分别取特值a=6,b=,c=32,fa=f6<0,fb=f>0,fc=f32<0,因此函数fx>0的解集为4,34,则整个实数域上的解集为2k+4,2k+34.3.5.3介值性定理在实际问题中的应用生活中,我们可以利用介值性定理解决一些问题

38、,比如一些很复杂的问题应用介值性定理来解决会容易一些,过程也比较清晰,步骤也简单.接下来是几个比较复杂的生活问题,从中可以体会介值性定理在解题中的应用.例3.21 小张周六早上从潍坊7点出发,晚上5点到达他的老家,由于特殊情况,周日早上9点就从老家出发回潍坊,他原路返回,晚上8点回到了潍坊.问,小张能否在两天中恰好在同一时刻经过同一地点？解 设潍坊到小张老家两地相距为s,s>0,时间为t,24小时制.小张周六从潍坊到老家,在x时刻距潍坊距离为fx,x7,17,周日从老家到潍坊在x时刻距潍坊距离为gx,x9,20,0<fs<s,f7=0,f17=s,0<g17<s,

39、g9=s,g20=0,Fx=fx-gx;x9,17,F9=f9-g9<0,f17-g17>0,因为fx,gx连续,由介值定理得,存在x0(9,17),使得Fx0=fx-gx=0,即小张能在两天中恰好在同一时刻经过同一地点.例3.22椅子在不平的地面能否放稳？先作以下假设：椅子有四条腿,且每条腿一样长每条腿与地面有一个接触面,可视为一个点,4个点连线成矩形；地面不平,地面的高度是连续变化的,不允许有台阶,将地面看作连续曲面；椅子在任何位置至少有3个椅脚同时着地；椅子放稳,指四条腿都与地面接触,每条腿的脚与地面的距离为零椅子虽然可能会倾斜,但不会摇晃解 图3.1 (a)中ABCD为椅子

40、4个椅脚的初始位置,椅子的中心是O点,椅子绕中心旋转180度后的位置如图3.1(b)所示记A,D到地面的距离和为f(),B,C到地面的距离和为g(),则由于椅子必有三条腿同时着地,所以必有两条相邻的椅脚同时着地,即对任意的旋转角,f()和g()至少有一个为零,因此fg=0,不妨设当=0时,g=0,f>0.当椅子旋转180度时,AD与BC的位置互换,这样,当=时,g>0,f=0,令h=f-g,则h0>0,h<0.因为f和g是线续函数,所以h也是线续函数,由介值定理可知,在0,内必存在0使h0=0,即f0-g0=0,又因为恒有fg=0,所以f0g0=0,即f0=g0=0说明

41、当椅子绕着中心旋转0方向,椅子的四条腿同时着地.yy AB CDxx CDBA (a)初始位置 （b）旋转后的位置图3.1 椅子4个椅脚位置示意图例3.23运动员小刘30分钟跑了6千米,证明：一定存在某时刻,小刘在该时刻起的5分钟内跑了1千米.证 我们设离开起跑线的公里数为x,x0,5时,Fx为运动员小刘从x跑到x+1所需要的时间.函数fx是连续函数.由题意知,F0+F1+F2+F3+F4+F(5)=30.由此推出f0,f(5)既不同时都大于5,也不同时都小于5.因此在0,5内存在点s,t满足Fs5Ft.由介值定理我们可知,在s,t之间存在j,Fj=5.也就是说,从j千米到j+1千米运动员小刘

42、恰好跑了5分钟,j千米处对应的时刻就是本题所求.3.6导函数在经济方面的应用在生产过程中,产品的总成本C为产量x的单调增加函数C=Cx (x>0)当产量从x0水平增加到x0+x水平时,总成本函数相应增加量为C=Cx0+x-C(x0)在产量区间x0,x0+x 上,总成本函数对产量的平均变化率为Cx=Cx0+x-C(x0)x当x0时,总成本函数对产量的平均变化率的极限称为总成本函数在产量x0水平上对产量的变化率,为总成本函数在点x0处对产量的导数值,即C'x0=limx0Cx0+x-C(x0)x.一般地,考虑总成本函数在产量x水平上对产量的变化率,有下面的定义.定义3.35总成本函数

43、C=Cx对产量x的一阶导数Cx称为边际成本函数根据这个定义,总成本函数C=Cx对产量x0水平上对产量x的一阶导数值C'x0称为在产量x0水平上的边际成本值,根据微分的概念,当产量在x0水平上有了改变量x时,总成本函数改变量CdC|x=x0=C'x0x, (|x|很小)特别地若取x=1,则有CC'x0.说明在产量x0水平上的边际成本值可以近似表示在产量x0水平上增加一个单位产量所需要增添的成本若边际成本值C'x0较大,则在产量x0水平上增产所需要增添的成本也较大,说明增产潜力较小；若边际成本值C'x0较小,则在产量x0水平上增产所需要增添的成本也较小,说明

44、增产潜力较大= 例3.24 某产品总成本元为C产量x个的函数C=Cx=900+x2100, 求在产量为100个水平上平均单位成本值与边际成本值解 平均单位成本函数为Cx=Cxx=900x+x100 所以在产量为100个水平上平均单位成本值C100=10（元/个）.边际成本函数为C'x=x50,所以在产量为100个水平上的边际成本值C'(x)=2(元/个).上述计算结果说明：生产前100个产品时,均摊在每个产品上的成本为10元,在此水平上生产第101个产品,所需要增添的成本大约为2元一般情况下,经济方面函数f(x)对自变量x的一阶导数f'(x)称为边际函数,它表示函数f(x)对自变量x改变一个单位时的改变量近似值除边际成本函数C'(x)外,如边际收益函数R'(x)是总收益函数R(x)对产量x的一阶导数,边际利润函数L'(x)是总利润函数对产量L(x)的一阶导数,边际需求函数Q'(p)对需求函数Q(p)对销售价格p的一阶导数在销售过程中,商品的需求量Q为销售