广东省2016年全国卷适应性考试理科数学试题(含答案)

1、广东省2016年全国卷适应性考试 理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2若为纯虚数，其中R，则（ ）A B C D3设为数列的前项的和，且，则（ ）A B C D4 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A B C D5三角函数的振幅和最小正周期分别是（）ABCD6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D7设、是两个命题，若是真命题，那么（ ）A是真命题且是假命题 B是真命题且是真命题 C是假命题且是真命题 D是假命题且是假命题 8从一个边长为的等边三角

2、形的中心、各边中点及三个顶点这个点中任取两个点，则这两点间的距离小于的概率是（ ）A B C D9已知平面向量、满足，则（ ）A B C D 10的展开式中，常数项等于（ ）A B C D11已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是（ ）A B C D12如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”给出下列函数：；，其中“函数”的个数是（ ）A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是 14已知双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则 15已知数

3、列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的N，均有，成等差数列，则 16已知函数的定义域为R，直线和是曲线的对称轴，且，则 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中，角、的对边分别为、，且（1）的值；（2）若，求的面积18（本小题满分12分）某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：员工编号12345678910年薪（万元）33.5455.56.577.5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取人，此人中年薪收入高于万的人数记为，求的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一

4、年至第四年的年薪分别为万元、万元、万元、万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式：，其中、表示样本均值19（本小题满分12分）如图，在直二面角中，四边形是矩形，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，（1）证明：面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值20（本小题满分12分）已知抛物线：，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点，和点，线段，的中点分别记为，（1）求面积的最小值；（2）求线段的中点满足的方程21（本小题满分12分）设函数（）（1）求的单调区间；（2）求的零点个数；（3）证明：曲线上没有经过原点的切线请考生在第22、23、24题

5、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，是半圆的直径，垂足为，与、分别交于点、（1）证明：； （2）证明：23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为点（1）求直线的参数方程；（2）求的值24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若时有，求的取值范围2016年适应性测试理科数学答案一选择题（1）B（2）C（3）C（4）C（5）B（6）D（7）

6、D（8）A（9）D（10）D（11）D（12）C二填空题（13）（14）4（15）（16）2 三解答题（17）解：（），由正弦定理得：，6分又，.（）由，由.由余弦定理 .12分.4分（18）解：（）平均值为10万元，中位数为6万元.（）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；取值为0，1，2. ，所以的分布列为0128分数学期望为.（）设分别表示工作年限及相应年薪，则， 12分由线性回归方程：. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元. （19）解：（）,， ， ；又因为， ，而.6分.平面.（）过作，分别交于，的补角为与所成的角.连接，.12分所以异面直线与所成的角的余弦值为.向量法

7、：（）以为原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.，.，.，.，6分.（），记与夹角为，则12分 .（20）解：（）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，.联立，消去并整理得. (*) (*)关于的一元二次方程的判别式. 设，则是方程(*)的两个不等实根， 经计算得 设，则 类似地，设，则 所以， ， 因此 因为，所以，8分 当且仅当，即时，取到最小值4（）设线段的中点，由（1）得 ，消去后得12分线段的中点满足的方程为（21）解：（）的定义域为，.令，得.（1）当，即时，所以在内单调递增.（2）当，即时，由解得，且，在区间及内,，在内，4分所以，在区间及内单调递增，在

8、内单调递减.（）由（）可知，当时，在内单调递增，所以 最多只有一个零点.又因为，所以，当且时，；当且时，故有且仅有一个零点.当时，因为在及内单调递增，在内单调递减，且而，（），由此知，又因为当且时，故在内有且仅有一个零点.8分综上所述，当时，有且仅有一个零点.（）假设曲线在点（）处的切线经过原点，则有，即，化简得：（）.（*）记（），则，令，解得.当时，当时，所以是的最小值，即当时，.12分由此说明方程（*）无解，所以曲线没有经过原点的切线.（22）解：（）连接， ，点是的中点，.因为是的直径，所以.，6分，（）在与中，由（）知，又，所以，于是.10分在与中，由于，所以，因此，.（23）解：（）由条件知，直线的倾斜角，.设点是直线上的任意一点，点到点的有向距离为，则5分（）曲线的直角坐标方程为,由此得,即 . 10分设为此方程的两