级数定义性质

1、级数数项级数函数项级数数学分析的研究对象研究对象:函数函数.(一)数学分析研究函数所用的方法方法：极限极限.(二)数学分析的研究研究主要主要对象对象:连续连续函数函数.(三)实数集实数集关于极限运算是封闭的. (四) 这个性质就是实数集的完备性(连续性)研究函数性态的重要工具工具:导数和微分导数和微分.(五)微积分的基本定理:中值定理中值定理(六)导数的逆运算:不定积分不定积分(七)定积分定积分(八)级数级数理论是分析学的一个分支；理论是分析学的一个分支；它与另一个分支它与另一个分支微积分学微积分学一起一起作为作为基础知识基础知识和和工具工具出现在其余出现在其余各分支中。各分支中。二者共同以二

2、者共同以为基本工具，为基本工具，分别从分别从离散离散与与连续连续两个方面，两个方面，结合起来研究分析学的结合起来研究分析学的对象对象，即变量之间的依赖关系即变量之间的依赖关系函数函数。级数分为:数项级数与函数项级数.数项级数是函数项级数的特殊情况，他又是函数项级数的基础.级数是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.9.1数项级数一 收敛与发散的概念二 收敛级数的性质三 同号级数四 变号级数五 绝对收敛级数的性质一 收敛与发散的概念 我们已经在初等数学中知道: 有限个实数 相加, 其结果是一个实数. 本节将讨论“无限个实数

3、相加”所可能出现的情形及其特征.如,庄子天下篇“ 一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”的例中,把每天截下那一部分的长度“加”起来:这就是“无限个数相加”的一个例子.nuuu,21 12(1)nu uu定义定义 给定一个给定一个数列数列un, 即即将其各项依次用将其各项依次用“+ +”号号连接起来的表达式连接起来的表达式 ,321nuuuu称为称为数项级数数项级数或或无穷级数无穷级数( (也常简称也常简称级数级数),),其中其中 un 称为数项级数称为数项级数(1)的的通项通项或或一般项一般项或或第第n n项项. . 1nnu.nu常记为常记为. 在不致误解时可简记为在不致误解

4、时可简记为由于式中的每一项都是由于式中的每一项都是常数常数，(无穷多个数之和无穷多个数之和)上面级数称为数项级数称为数项级数(1)的的 n 项项部分和部分和. .121,(2)nnknksuuuu数项级数数项级数(1)的前的前n项之和记为项之和记为 部分和数列部分和数列 ,11us ,212uus 3123,suuu:ns部分和数列部分和数列 :ns,21nnuuus .s,sn, nn分和数列级数对应一个已知的部于是都是已知的项部分和其任意对给定级数显然定义定义:部分和部分和设设,limssnn 1 nnu则称级数则称级数 级数的级数的和和. s 称为称为,1 nnus并记为并记为 这时也称

5、该这时也称该级数级数收敛于收敛于 若部分和数列的若部分和数列的极限极限不不存在存在（发散发散），）， 定义定义 若级数若级数 的部分和数列的部分和数列 1nnu ns的的极限存在极限存在(收敛收敛)，1 nnu则称级数则称级数发散发散.收敛，收敛，收敛收敛与与发散发散定义定义级数的收敛或发散(简称敛散性),2111nnnkkkknnuuuussr称差值称差值为收敛级数的为收敛级数的n项余和项余和，简称，简称余和余和.显然，级数收敛，总有显然，级数收敛，总有lim0.nnr 定义定义:余和余和即记其和是收敛若,s, 1nnnnssru级数级数0limlim)(limlimssssssrnnnnn

6、nn注注 由于级数由于级数(1)的的收敛收敛或或发散发散(简称简称敛散性敛散性), ,是由它是由它 的的部分和数列部分和数列ns来来确定确定, 因而也可把级数因而也可把级数(1)作为作为 数列数列ns的另一种的另一种表现形式表现形式. , 任给一个数列任给一个数列 na, 如果把它看作某一数项级数的如果把它看作某一数项级数的部分和数列部分和数列, 则则 这个数项级数就是这个数项级数就是 1213211()()().(5)nnnnuaaaaaaana这时数列这时数列与级数与级数 (5) 具有具有相同的相同的敛散性敛散性, 且当且当收敛时收敛时, ,其极限值就是级数其极限值就是级数(5)的和的和.

7、 . na 12(1)nu uu1u2u3ununnuuua21的收敛部分和数列收敛级数1nnnsu的收敛部分和数列收敛级数1nnnsususnkknnn1limlim研究研究无穷级数无穷级数收敛问题收敛问题,实质上实质上就是研究就是研究部分和数列部分和数列的收敛问题的收敛问题1nnnnnnaqaqaqaaqaq2110例例1 讨论讨论等比级数等比级数（几何级数几何级数）的敛散性）的敛散性., 0是公比其中qa ,1时时当当 q0lim nnqs1limqasnn,1时时当当 q nnqlim nnslim因此几何级数收敛收敛.其其和和是是因此几何级数发散发散.解解12 nnaqaqaqasq

8、aqan 1,11qaqqan时时如果如果1 q) 1qqasqqaasqaannnnnn1)1 (11111qa1qaaqaqnnnn1110即时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q,nsna 发散发散. aaaa级级数数变变为为limnns 不不存存在在, , 发散发散. 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn)2是奇数是偶数nann,0saaaqas1例例2 证明级数收敛，并求其和证明级数收敛，并求其和) 15()45(1161111161611nn).)15(1)45(1(51)15()45(1nnnnuunn可改写为通项证明：)15n11 (51

9、)15n1451()11161()611 (51nsn51)15n11 (51limlimnnns51) 15)(45(1511nnn，即于是级数收敛，其和是, )1ln()( xxxf 令令,0)0( f则则由此知由此知 f (x) 为增函数为增函数.证证x先证一个不等式先证一个不等式xx ()1ln( . )0 xxf 111)(.0nnn13121111例例3 证明调和级数调和级数发散)( xf即即可得可得, )0(fx)1ln(x 1,31,21,1 代入上式得代入上式得令令nx 1) 11ln( 21)211ln( n1)11ln(n 相加得相加得nsn131211 )134232l

10、n(nn )1ln( n,时时当当 n,)1ln( n, ns所以所以 故级数故级数.1 1发散发散 nnnn1ln34ln23ln2ln p10-1.(1)p10-1.(1) 讨论数项级数讨论数项级数111(4)1 22 3(1)n n的收敛性的收敛性. .1111223(1)nsn n1111112231nn11.1n1limlim 11,1nnnsn由于由于 因此级数因此级数 (4) 收敛收敛, ,且其和为且其和为 1. 解解 级数级数(4)的的n项部分和为项部分和为 首页首页解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)12112

11、1(21)5131(21)311(21 nn)2.(1-p10首页首页)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛二、收敛级数的性质的收敛部分和数列收敛级数1nnnsususnkknnn1limlim研究研究数项级数数项级数收敛问题收敛问题,实质上实质上就是研究就是研究部分和数列部分和数列的收敛问题的收敛问题收敛的充分必要条件就是级数级数收敛的充分必要条件部分和数列1nnnus基于基于级数级数与与数列数列的关系的关系, ,不难根据不难根据数列数列的柯西准则的柯西准则得出下面关于得出下面关于级数级数的柯西收敛准则的柯西收敛准则定理1 (

12、柯西收敛准则)收敛级数1nnu，有，n,n, 0pnnnpnnnuuu21发散级数1nnu，有，n,n, 0000pnnn0210000pnnnuuu推论推论1(级数收敛的级数收敛的必要必要条件条件)则, 1收敛收敛若数项级数若数项级数nnu. 0limnnu推论推论1的的等价命题等价命题是是:发散则级数若1, 0limnnnnuu证明证明: ，且设级数部分和数列为sssnnlim，由于1nnnssu. 0limlim1ssssunnn）（所以即收敛级数的通项必趋于即收敛级数的通项必趋于0.注注: : 推论是级数收敛的一个推论是级数收敛的一个必要必要条件条件: :通通项项不不趋于趋于零零, ,

13、级数级数一定一定发散发散, , 但但通通项趋于零项趋于零, , 则级数则级数未必未必收敛收敛,但其推论但其推论, ,判断级数判断级数发散发散很有效很有效. . 如级数如级数 1( 1)1( 1)因为一般项因为一般项un=( )n-1不不趋于零，所以发散趋于零，所以发散. . 1 柯西收敛准则在柯西收敛准则在理论上理论上很重要很重要,但用它来判别一个具体级数的敛散性但用它来判别一个具体级数的敛散性,却很麻烦却很麻烦,甚至很困难甚至很困难发散则级数若1, 0limnnnnuupnnnuuu21，有，n,n, 0pnnn推论推论2 去掉、增加或改变级数的去掉、增加或改变级数的有限项有限项并并不不改变

14、改变 级数的级数的敛散性敛散性. . 注注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其数的敛散性，但在收敛时，其和和一般还是要一般还是要变变的的. . 根据根据数列数列极限极限运算性质运算性质,可得可得级数级数运算性质运算性质.s,0s11ccucunnnn也收敛，其和是则（常数），对收敛，其和是若级数.11nnnnuccu即定理2结论结论:级数的每一项同乘一个级数的每一项同乘一个不为零不为零的常数的常数,该级数的敛散性该级数的敛散性不变不变.结论结论 在在收敛收敛级数的项中级数的项中任意任意加括号加括号, , 既既不不改变改变

15、级数的级数的收敛性收敛性, ,也也不不改变改变它的它的和和. . 从级数从级数加括号加括号后的收敛后的收敛, ,不能不能推断它在推断它在未加未加括号括号 时也收敛时也收敛. . 例如例如 (11)(11)(11)0000,收敛收敛, , 但级数但级数 1 11 1 却是却是发散发散的的. .注注:对对有限和有限和来说来说,不但可以不但可以随意随意加加括号括号,而且可以而且可以随意随意去去括号括号.但在级数中但在级数中,对于对于收敛收敛级数来说级数来说,项与项项与项可以可以任意任意加加括号括号,但但不能不能任意任意去去掉掉(无限多个无限多个)括号括号.推论推论如果如果加加括号后所成的级数括号后所

16、成的级数发散发散,则原来级数也则原来级数也发散发散.11也发散则原来级数，号后所得到的级数发散中的项不改变次序加括若把级数nnnnaa11-1-1131-1-31121-1-21,nn对于级数例如所以原级数发散是发散级数这是调和级数成为如果不改变次序加括号,1212)11-1-1(122nnnnnnn逆否命题逆否命题如果如果加加括号后所成的级数括号后所成的级数收敛收敛,不能不能推出则原来级数也推出则原来级数也收敛收敛.(*)()()(1111211kknnnnnuuuuuu定理4若级数若级数(*)中在中在同一同一括号中的项有括号中的项有相同相同的的符号符号,则从(*)的的收敛收敛便能推出便能推出原级数原级数收敛收敛,而且两者有而且两者有相同的和相同的和.证明.limlimlim,kn).nn(nnn(*).lim,:(*)1 -k1 -k1 -1 -1 -k1 -k21sss