方差的性质向阳教学

1、性质性质1: 若若x=c，c为常数，则为常数，则 var(x)=0 .b. 方差的性质方差的性质性质性质2 2: 若若b为常数为常数,随机变量随机变量x的方差的方差存在存在, 则则bx的方差存在，且的方差存在，且 var(bx) = b2var(x)var (ax + b ) = a2 var(x)结合性质结合性质1与性质与性质2就有就有1基础教学若随机变量若随机变量x1, x2, , xn 的方差都存的方差都存在，则在，则x1+x2+.+xn的方差存在，且的方差存在，且 性质性质3:ninjjijiniiexexxxexvar111)()(即即 ninijjijiniiniiexexxxex

2、varxvar111)()()(2基础教学若随机变量若随机变量x1, x2, , xn相互独立，相互独立，则则性质性质4:n2时由于时由于)()()(11nnxvarxvarxxvarvar(x y)= var(x) +var(y) 2e(x-ex)(y-ey)若若x, y 独立，则独立，则 var(x y)= var(x) +var(y)3基础教学注注：以后若无特殊说明，都认为随机变：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于量的方差大于0。性质性质5: 对任意常数对任意常数c, var(x ) e(x c)2 ,等号成立当且仅当等号成立当且仅当c = e(x ). .性质性质6:var(x

3、 ) = 0 p (x = e(x)=1称称x 以概率以概率 1 等于常数等于常数e(x).4基础教学例例1. 设设x b( n , p)，求求var(x ).解：解： 引入随机变量引入随机变量次试验失败。第次试验成功，第iixi, 0, 1故故)1 ()()(1pnpxvarxvarniiniixx1则则., 2, 1),1 ()(nippxvari由于由于相互独立相互独立，nxxx,21且且5基础教学例例2.2.标准化随机变量标准化随机变量设随机变量设随机变量 x 的期望的期望e(x )、方差方差d(x )都存在都存在,且且d(x ) 0, 则称则称)()(xdxexx为为 x 的标准化随

4、机变量的标准化随机变量. 显然显然，1)(, 0)(xdxe6基础教学.1)(1)(1)1(,)(1)(1)1(212121111nxvarnxvarnxnvarxenxenxneniiniiniiniiniinii例例3 3. 设设x1, x2, , xn相互独立，有共同的期相互独立，有共同的期望望 和方差和方差 ，2则则:.1)1(,)1(211nxnvarxneniinii证明证明:7基础教学例例4.已知随机变量已知随机变量x1,x2,xn相互独立，相互独立，且每个且每个xi的期望都是的期望都是0，方差都是，方差都是1， 令令y= x1+x2+xn . 求求 e(y2).解：由已知，则有

5、解：由已知，则有nydydydydyeyeyeyenn)()()()(0)()()()(2121.)()()(22nyeydye因此，因此，8基础教学例例5.设随机变量设随机变量x 和和y 相互独立相互独立,且且 xn(1,2)，yn(0,1), 试求试求 z = 2x-y+3 的期望和方差。的期望和方差。由已知，有由已知，有e(x)=1, d(x)=2, e(y)=0, d(y)=1, 且且x和和y独立。因此，独立。因此，d(z)= 4d(x)+d(y) = 8+1=9.e(z)= 2e(x) e(y)+3 = 2+3=5, 解解: :注：由此可知注：由此可知 zn(5, 9)。9基础教学则

6、且相互独立，若, 2 , 1),(2ninxiii.,12212211niiiniiinncccncxcxcxc的常数。是不全为这里，0c,c,cn21思考：思考：为什么？为什么？一般地，一般地，10基础教学c. 两个不等式两个不等式 定理定理3.2 (马尔可夫马尔可夫(markov)不等式不等式)：对随机变量对随机变量x 和任意的和任意的 0，有，有.0,|1|xexp证明证明: 设设x为连续型为连续型, 密度函数为密度函数为 f (x), 则则)|(|)()()()()(|)(|)(|xpxpxpdxxfdxxfdxxfxdxxfxdxxfxxe11基础教学上式常称为上式常称为切比雪夫（切

7、比雪夫（chebyshev）不等式）不等式 222)(| )(|1| )(|xvarxexexexp在马尔可夫不等式中取在马尔可夫不等式中取 = 2, x 取为取为x-ex 得得是概率论中的一个基本不等式是概率论中的一个基本不等式. 12基础教学例例6.6.已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格x的平均的平均值为值为1 1元，标准差为元，标准差为0.10.1元，求元，求a，使，使股价超过股价超过1+1+a元或低于元或低于1-1-a元的概率小元的概率小于于10%10%。解：解：由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式201. 0)| 1(|aaxp令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0

8、 a13基础教学例例7. 7. 在每次试验中，事件在每次试验中，事件a 发生的概率为发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n 需要多么需要多么大时，才能使得在大时，才能使得在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中, , 事事件件a 出现的频率在出现的频率在0.74 0.76之间的概率至之间的概率至少为少为0.90?解解: :设设x x 为为n n 次试验中事件次试验中事件a a 出现的次数出现的次数，的最小的的最小的n n .900760740.).(nxp则则 xb(n, 0.75).而所求为满足而所求为满足于是于是e(x)=0.75n, var(y)=0.7

9、5*0.25n=0.1875n14基础教学 =p(-0.01nx-0.75n 0.01n)2)01. 0()(1nxvar = p |x-e(x)| 0.01n20001. 01875. 01nnn18751p(0.74n x0.76n )76.074.0(nxp)76.074.0(nxp可改写为可改写为 在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则则0.01 = p |x-e(x)| 0.01n15基础教学187509 . 011875n解得解得依题意，取依题意，取9 . 018751n 即即n 取取1875018750时，可以使得在时，可以使得在 n 次独立重复次独立重复试验中试验中,

10、, 事件事件a 出现的频率在出现的频率在 0.74 0.76之之间的概率至少为间的概率至少为0.90 .0.90 .16基础教学定理定理3.3 (cauchy-schwarz不等式不等式) 设设ex2 ， ey2 0, var (y ) 0 , 称称)()(),cov()()()()(yvarxvaryxyvarxvaryeyxexe为为x ,y x ,y 的的 相关系数相关系数，记为，记为)()(),cov(yvarxvaryxxy事实上事实上，),cov(yxxy 若若, 0xy 称称 x , y 不相关不相关.无量纲无量纲 的量的量20基础教学利用函数的期望或方差计算协方差利用函数的期望

11、或方差计算协方差q 若若 ( x ,y ) 为离散型为离散型，ijijjipyeyxexyx11)()(),cov(q 若若 ( x ,y ) 为连续型为连续型， dxdyyxfyeyxexyx),()()(),cov(q )()()(),cov(yexexyeyx)()()(21ydxdyxd21基础教学求求 cov (x ,y ), xy 1 0 p qx p 1 0 p qy p 例例8.8.已知已知 x ,y 的联合分布为的联合分布为xypij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解: 1 0 p qx y p 22基础教学,)(,)(,)(,)(pqyvarpqx

12、varpyepxe,)(pxye. 1)()(),cov(,)()()(),cov(yvarxvaryxpqyexexyeyxxy23基础教学例例9.9. 设设 ( x ,y ) n ( 1, 12, 2, 22, ), 求求 xy 解解:dxdyyxfyxyx),()(),cov(21 dsdtestttstysx222221121)()1 (2122112 令dudteutttuuts22221)1 (2221)(12 令24基础教学dtetduetu222212)1 (222112 21 xy定理定理：若：若 ( x ,y ) n ( 1, 12, 2, 22, ),则则x , y 相互

13、独立相互独立x , y 不相关不相关因此，因此，25基础教学例例10.10.设设 u(0, 2 ), x =cos , y =cos( + ), 是给定的常数，求是给定的常数，求 xy . 解解:其他,20,21)(ttf,021)cos()(,021cos)(2020dttyedttxe26基础教学cos2121)cos()cos()(20dtttxyecos21),cov(yx,2121)(cos)(,2121cos)(20222022dttyedttxe,21)(,21)(yvarxvarcosxy27基础教学协方差的性质协方差的性质q )()()(),cov(),cov(yexexye

14、xyyxq q q q ),cov(),cov(yxabbyax),cov(),cov(),cov(zyzxzyx)(),cov(xvarxx)()(| ),cov(|2yvarxvaryx当且仅当当且仅当1)()(0xextyeyp时，等式成立时，等式成立cauchy-schwarz不等式不等式协方差和相关系数的性质协方差和相关系数的性质28基础教学相关系数的性质相关系数的性质q q 1|xy1|xycauchy-schwarz不等式不等式的等号成立的等号成立即即y y 与与x x 有线性关系的概率等于有线性关系的概率等于1 1，这种线性关系为这种线性关系为1)()()()(xdxexydy

15、eyp29基础教学q 0xyx , y x , y 不相关不相关0),cov(yx)()()(yexexye)()()(yvarxvaryxvar注：注：x x与与y y不不相关仅仅是不相关仅仅是不线性线性相关，可以相关，可以非线性相关。非线性相关。30基础教学q x,y x,y 相互独立相互独立x,y x,y 不相关不相关若若 x , y x , y 服从二维正态分布，服从二维正态分布，x,y x,y 相互独立相互独立x,y x,y 不相关不相关31基础教学若若x , y 是两个随机变量，用是两个随机变量，用x x 的线性函数去的线性函数去逼近逼近y 所产生的均方误差为所产生的均方误差为2)

16、(baxye当取当取)()()()()()(,)()()(),cov(xexdydyexeayebxdydxdyxaxyxy使得均方误差最小使得均方误差最小.例：最小二乘法例：最小二乘法的思想的思想若若 则线性逼近无意义。则线性逼近无意义。 为什么？为什么？, 0xy32基础教学例例11.11.设设 ( x ,y ) n ( 1,4; 1,4; 0.5 ), z = x + y , 求求 xz 解解:, 4)()(, 1)()(yvarxvaryexe2),cov(,21yxxy6),cov(),cov(),cov(yxxxzx12),cov(2)()()()(yxyvarxvaryxvarz

17、var231226xz33基础教学 例例12：设设x n(0,4), y p(2), xy =1/2, 求求 e(x+y)2 .解解: :e(x+y)2 =e(x+y)2+var(x+y)注意到注意到=ex+ey)2+var(x)+var(y)+2cov(x, y)把条件代入即得把条件代入即得 e(x+y)2 =)()(),cov(yvarxvaryxxy由题设知由题设知: ex=0, var(x)=4, ey=2, var(y)=2, xy =1/2, 而而221034基础教学 设二维随机变量设二维随机变量(x,y), k , l 为非负整数。为非负整数。 mk = e(xk ) 称为称为x的的k阶原点矩，阶原点矩， k = e(x-e(x)k 称为称为x的的k 阶中心矩，阶中心矩， mkl = e(x k y l ) 称为称为x和和y的的(k, l )阶混合原阶混合原点矩点矩， kl = e(x-e(x)k(y-e(y)l 称为称为x和和y的的(k,l)阶混合