手机套餐资费方案的优化设计

1、手机“套餐”资费方案的优化设计摘要本文是有关手机“套餐”的资费计算与设计的问题，对此我们针对不同的问题建立 了三个模型。问题一）本问题主要是考察对问题的理解能力和考虑问题的全面性，对此我们建立 了两个模型。模型i:针对套餐资费计算的问题，我们综合考虑了市话、国内长途、国际长途和 漫游等各方面，得出了资费套餐在不同情况下的计算方法。模型u:对于不同需求量的用户该选择哪一种套餐方案，我们忽略了各种套餐方案 相同的资费部分，从而建立起一个仅关于不同直拨方式的基本通话资费的模型进行比 较，进而得出结论：就北京移动公司全球通“畅听99套餐”而言：当0 ：t二394时，选用月基本费为99元的套餐方案；当3

2、94 a <800时，选用月基本费为139元的套餐方案；当800 <t <1500时，选用月基本费为199元的套餐方案；当t 1500时，选用月基本费为299元的套餐方案。就上海移动公司“全球通68套餐”而言：当0 : t 693时，选用月基本费为68元的套餐方案；当693 :：: t <1175时，选用月基本费为128元的套餐方案；当t 1175时，选用月基本费为188元的套餐方案。问题二）我们从月租费、市话费、长途费三方面进行考虑，通过各种套餐资费方案 的资费标准与现行的资费标准比较得到：对一些通话量较少的用户使用现行资费标准比 较优惠，对一般通话量相对较多的用户来

3、说使用套餐优于现行资费标准。问题三）综合分析“被叫全免费计划”的利与弊，我们发现该计划对通话量r<122的用户最有利，而对大部分通话量相对较多的用户来说应根据自己的实际情况来确定是 否选择“被叫全免费计划”。问题四）本问题主要考察优化设计能力，就此我们以现有的两种“套餐”方案为基 础，设计出一个更加合理的“套餐”方案。模型川：基于对客户通话信息量数据的统计分析，我们建立了合作对策模型（先对 方案中各个未知量进行单独考虑，然后通过该模型对方案进行整体考虑），得到了一个较优的方案，使得运营商和客户实现了“双赢”的目的。关键词：“套餐”资费优化设计合作对策模型1一、问题的提出手机现已成为人们日

4、常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通 信业务量飞速增长 （ 见附件 1） 。手机资费问题一直是人们关心的热点问题， 多少年来资费方案始终没有实质性变 化。但是 2007年 1 月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出 了“手机单向收费方案” - 各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让 人眼花缭乱。人们不禁要问：手机 “套餐 ”究竟优惠几何？请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通 “畅听 99 套餐”、上海的“全 球通 68 套餐”方案（见附件 2），建立数学模型分析研究下列问题：（1）给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同

5、（通话量）需求 的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？（2）提出你们对各种资费方案的评价准则和方法 , 据此对北京、上海推出的“套餐” 方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。（3）北京移动公司 2007年5月 23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方 案，即月租 50 元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至 少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。（4）如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案 , 你们会考虑哪 些因素 ? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商 的收入降低不超过 10%的条件

6、下 , 用数学建模方法设计一个你们认为合理的 “套餐”方案。二、问题的分析 由题意可知，我们所研究的是有关手机套餐方案的问题。题中涉及到各种方案间的 评价与比较。 最后再根据前三个问题的分析和讨论设计出一种方案能让移动公司和客户 间同时达到双赢的目的。问题一 针对该问题，我们建立了两个基本代数模型，对同种套餐的不同方案进行 比较时，可将方案间相同的因素排除掉，只取套餐内的不同因素进行比较。（其中是对 市话、长途、漫游、移动呼叫等所有可能涉及到的通话几乎全包括在内）问题二 针对各种套餐与现行资费标准进行比较时，如果除月租费、市话费及长途 费外，其它接打电话时的费用是相同的，就可针对各种套餐及现行

7、资费标准分别列出表 示其费用函数，之后进行比较，说明不同之处。问题三 这也是有关资费方案的评价问题， 涉及到此类问题一般都是先确定评价准 则，针对该问题，主要评价“被叫全免费计划”方案的利与弊。结果证明当客户通话量 较少时采用该方案较好，而对通话量相对较多的用户选择套餐方案较合算。问题四 为了简化模型，我们只对北京的实际情况进行分析。首先对北京客户通话 信息量数据进行统计， 将统计数据的平均值分别代入原套餐方案和新套餐方案中进行比 较。在建立新方案时，我们又采用了合作对策模型（先对方案中各个未知量单独考虑， 然后通过该方案进行整体考虑），对上海实际情况的分析如上。三、模型的假设针对北京“畅听9

8、9套餐”：1、“畅听99套餐”包含的免费被叫通话包括北京全球通用户在本地接听的国际长途及 港澳台电话。2、 在使用户付费越少越好的前提下，设用户拨打的长途均为ip长途。3、假设用户的彩信使用量极少，忽略不计。4、呼叫转移资费标准以网上查到的数据为准。5、漫游费以中国移动公司现行的资费标准为准。针对上海“全球通68套餐”：6、 北京“畅听99套餐”的假设及注释均适用于上海“全球通 68套餐”。7、忽略数据业务gprs流量。四、符号说明t :打市话及漫游外的长途所需的时间i,:打17951国内ip长途所需的时间t2 :打本地市话所需的时间t3 :打国际长途所需的时间t4 :打港澳台电话所需的时间w

9、,:漫游接听的话费总额t6 :接听漫游至漫游当地电话所需的时间t?：接听漫游至漫游地之外电话所需的时间t8 :漫游直拨国内长途所需的时间t；（i =1,2,3）:漫游直拨国际长途（加拿大等国t；，英国等国t|，其它国家t3）所需的时 间t1o:漫游拨打中国移动ip国内长途所需的时间t1o（i =2,3,4）:漫游拨打中国移动ip国际长途（加拿大等国tw，英国等国tw，其它国家t：。）所需的时间w2 : 12590信息号的接打费用% :拨打12590信息号的通话费率（元/分钟）y2 :接听12590信息号的通话费率(元

10、/分钟)tn :拨打12590信息号所需的时间t'u :接听12590信息号所需的时间w3 :呼叫转移的总费用切：呼叫转移本地电话所消费的时间t；3(i =1,2):呼叫转移长途电话(国内：t；3;国际:佬)所消费的时间t；4(i =1,2):呼叫转移漫游地长途(国内:t；4 :国际:t14 )所消费的时间丫 ：资费总额w :令 w = w w2 w3五、模型的建立及求解问题一漫游接听的话费如下式表示：w =0.6t6 +(0.6+0.7)t8+(0.6 + 2.4)t9 +(0.6+3.6)t9(0.6 4.6)t； (0.6 0.

11、3)t；。(0.6 2.4)t1o (0.6 3.6)t；°(0.6 4.6)t；0 0.6t6 (0.6 0.7)t712590信息号的接打费用可表示为：w2 = %帖 y2t；1呼叫转移的费用3可表示为：w3 =0.1t12 (0.3 0.7)t；3 (0.3 8)t：(0.3 0.6 0.7)tu (0.3 0.6 8)t：套餐优惠未包括的一切费用即上述三种费用的总和为：w 二则 w2 w3因为本套餐包含的本地主叫通话指北京用户在北京地区所有基本通话费(市话费) 和所有长途(包括ip长途)的基本通话部分，且所有的长途费用可表示为基本通话部 分+长途资费

12、部分，基本通话部分与市话部分是相同的，这样我们就可以把市话部分与 基本通话部分合并在一起与套餐内所包含的主叫数进行比较，进而简化未知数的个数同时也有助于套餐的各方案之间进行比较。注：17951国内ip长途话费二基本通话部分(市话费)+国内ip长途资费(其中“畅听 99套餐”在这里取值为0.1元/分钟)国际长途话费=国际ip资费(p =2.4t；+3.6t；+4.6t；)+基本通话部分港澳台话费=港澳台ip资费(p'=1.5t4) +基本通话部分令: 模型一对北京“畅听99套餐”的分析 月基本费为99元的资费情况如下: 对t进行分类讨论：99 0.1ti p (t < 280)99

13、 (t- 280) 0.35 0.1ti p (t 280)同理，当月基本费为139元的资费情况如下:丫39 吐 p(5°)139 (t - 560) 0.25 0.1t1 p (t 560)当月基本费为199元的资费情况如下:199 0.1t1 p (r< 1000)丫一 199 (t -1000) 0.2 0.1t1 p (t 1000)当月基本费为299元的资费情况如下:299 + 0.篦 +p ("2000)-299 (t -2000) 0.15 0.1 p (t 2000)对套餐间各方案进行比较：假设2 8 0： t ： 5 60若米用基本费为99兀的资费方

14、案时的总资费为:y =99 (t -280) 0.35 0.1tp若米用基本费为139兀的资费方案时的总资费为：y139 0.1t1 p由于同一用户的通话量是一定的，也就是说对上述两式而言0.1 p是相同的，令y <y'解得：2 8 0：t 乞 3 94同理可得下述总式：99 (t 一280) 0.2 0.1t1 p (0 : t 乞 394)y :139(t -1000)0.20.1t1p(394 ： 2 800)199(t -1000)0.20.1t1p(800<1500)299(t -1000)0.20.1t1p(t 1500)于是可得以下结论：当0 t 394时，选

15、用月基本费为99元的套餐方案；当394讥乞800时，选用月基本费为139元的套餐方案； 当800 <t <1500时，选用月基本费为199元的套餐方案;当t 1500时，选用月基本费为299元的套餐方案。模型二对上海“全球通68套餐”的分析假设：被叫通话包括在套餐内的时间为t'，贝u套餐内所包含的本地主叫时间为360 -t'其他未知量如上，于是此模型可转化成模型一月基本费为68元的资费情况如下：68 0.3ti p (t+t')<360)68+(t+t'-360) 0.18+0.3ti+p (t+t')>360)月基本费为128元

16、的资费情况如下:128 0.3t1 p (t+t')<800) y =128+(t+t'-800) 0.16+0.3t1+p (t+t')>800)月基本费为188元的资费情况如下：188 0.3t1 p (t+t')<1200) 188+(t+t'-1200) 0.13+0.3t1+p (t+t')>1200)可令t =t t'，同模型一分析方法相同可得：68+（t-360）0.18+0.3t 1 +p （0<t 乞 693）y =二128+（800）0.16+0.3t1+p （693<t _1175

17、）168+（t+t'-1200）0.13+0.3t 1+p （t>1175）于是，可得以下结论：当0：t乞693时，选用月基本费为68元的套餐方案；当693 :：: t <1175时，选用月基本费为128元的套餐方案；当t 1175时，选用月基本费为188元的套餐方案。问题二评价准则：对于各种资费方案可以从（1）月租费（2）市话费（3）长途费三个方面 进行评价。方法：分别列出总费用函数表达式进行比较分析：北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案（以下简称“畅听99套餐”）的月租 费比中国移动公司现行的资费标准（以下简称现行资费标准）的月租费要高，但它含有 一定时间的本地免费主

18、叫，而且在免费主叫的时间内拨17951国内ip长途费率较低。北京全球通客户在本地接听所有的来电都是免费的，超出套餐部分的本地主叫即市话比现行资费标准较低。上海移动公司“全球通68套餐”方案（以下简称“全球通 68套餐”）与现行资费 标准的比较分析和“畅听99套餐”类似，不同的是“全球通 68套餐”的本地免费通话 时间包含主叫和被叫。超出后的本地主叫通话显然比现行资费标准要低，超出后的本地 被叫通话是免费的。比较：（1）“畅听99套餐”不妨拿月基本费为99元的那一种来进行比较，假设我们考虑超出套餐部分，于是，“畅听99套餐”一个月的总费用为：y =99 (t- 280) 0.35 0.1t1 p

19、 (t _ 280)(2) “全球通68套餐”不妨拿月基本费为68元的那一种进行比较，假设我们只考 虑超出后的本地通话，于是，“全球通68套餐”一个月的总费用y2为：y2 =68+(t+t'-360) 0.18+0.3t1+p (t+t')>360)即：y2 =68+(t-360) 0.18+0.3ti+p (t>360)(3)假设现行资费标准的当地被叫时间为t，于是，现行资费标准一个月的总费 用y3为：y3 = 50 0.4 (t t ) 0.3t1 p观察上述三个函数表达式，忽略一些相同的和非关键的因素，可以简化成以下式子为：(1) y0.35t 0.1t1(2

20、) y0.18t 0.3t1 3.2 (t=t+t')(3) y 0.4 (t t ) 0.3t1 50观察比较可以发现，只要t、t1、t'和r在定义域内，总有这样的结果% ： ya 且y2 y3我们不妨做两个假设来验证一下“畅听 99套餐”和“全球通68套餐”分别在套餐 内外与现行资费标准的比较结果。假设一客户上个月的本地主叫为 200分钟(包含国内ip长途主叫50分钟)， 当地被叫为50分钟。则“畅听99套餐”的总费用为：y1 =99 0.篦=99 0.1 50 = 104“全球通68套餐”的总费用为：y =68 0.3,68 0.3 50 = 83现行资费标准的总费用为：

21、y3 =50 0.4 (t t ) 0.3 50 = 50 0.4 250 0.3 50=165可见y1 ”： ys 且 y2 ”： *即“畅听99套餐”和“全球通68套餐”在套餐内都比现行资费标准省钱假设一客户上个月本地主叫为 400分钟(包含国内ip长途主叫50分钟)，当地被叫为 50分钟。则“畅听99套餐”的总费用为：% =0.35t 0.1t仁 0.35 400 0.1 50 仁146“全球通68套餐”的总费用为：y2= 0.18t 0.3t, 3.2 二 0.18 400 0.3 50 3.2 二 90.2现行资费标准的总费用为：乂二 0.4 (t t ) 0.3t50 二 0.4

22、(400 100) 0.3 50 50 二 265可见 : y3 且 2 y3即 “畅听99套餐”和“全球通68套餐”在套餐外都比现行资费标准省钱。以上分析的情况适用与一般用户，但对于通话量相比之下较少的用户选择现行的资 费标准较合算。假设一用户每月接打电话的总时间不超过 40分钟(且全部为市话)。利用“畅听99套餐”第一种方案总资费为99元，而采用现行资费标准则最多不超 过 90 元(50 +40x0.4 )。综上所述，对于一般用户而言用“畅听 99套餐”和“全球通68套餐”在套餐内外 比现行资费标准实惠，但对于通话量相比之下较少的用户则采用现行的资费标准较实 惠。评价：“畅听99套餐”和“

23、全球通68套餐”都是市场竞争中所采用的变相赢利手段， 并赠送一定时间的当地免费通话，超出套餐部分的通话费率比现行的资费标准稍低，而 且接电话免费，借此来吸引更多的客户，从中获取更大的利润。通过相互比较，我们作 为消费者还得依据自己的具体情况而定，且不可盲目追随。问题三评价方法：通过分析和计算主要说明用户在使用该方案时的利弊对于北京移动公司推出的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租费50元，被叫全免费，其中包括国内长途、港澳台长途和国际长途的被叫，他项目资费均同现行的资 费标准，外还要求该方案用户至少在网一年。在信息产业迅速发展的今天移动用户一直处于增长的趋势中。移动运营商为了刺激用户更多的消费

24、和增加自己在市场上的占有率，而针对不同的用户群推出不同的套餐方案。对于推出的被叫全免方案，即单向收费，表面上看与现行的双向收费资费标准相比， 好象是更有利于消费者，但是它是否真正的对所有的消费者来说都是有利的呢？这还有 待于我们对使用该方案前后的利弊进行思考。如果用户选用了该方案，则对用户有利的是减免了本地被叫的花费，进而也简化了 话费的计算。不利的一面就是用户一但选择了该方案，就必须至少在网一年，也就是说 在这一年间不可以更换套餐。如果用户不选择该方案，而按照现行资费标准双向收费，就比该方案多出一部分被 叫的费用。但这会给用户更大的自由，用户没有连续在网一年的限制，可以在各套餐间 自主转换，

25、选择最适合于自己的套餐。比如选择北京“畅听99套餐”与选择被叫全免费的方案相比较：99 一50对于那些通话量很少的用户，如果他们每个月的通话时间在空旦分钟，大约为0.4122分钟之内，不经常打长途电话，而且也不用手机上网，那么这个被叫全免方案还是比较优惠的，因为这样他们每个月所交的费用最多为：50 122 0.4 =98.8元，不足99元这是这个被叫全免方案比较有利的一面，然而，它的适用范围局限性较大，对于广大 的消费群体来说，这个“被叫全免费计划”并不实惠。如果一个“被叫全免”用户通话时间超过了 122分钟，那么他本月所交费用最低为：50 123 0.4 =99.2元超过了 99元，这样看来

26、，“被叫全免”用户本月打123分钟电话所交的费用就相当 于“畅听99套餐”用户主叫280分钟所交费用。而且99套餐国内长途主叫资费仅 0.1 元每分钟，“被叫全免”中的长途主叫为0.7元每分钟。再加上“被叫全免”方案还要求 用户至少在网一年，这一点有给用户带来了极大的不便。所以，对于那些通话时间每月 超过122分钟，17951国内ip长途主叫较多的用户“被叫全免计划”到底是优惠还是吃亏便一目了然了。但是，我们认为北京全球通实现单向收费具有较大象征意义，全国各地手机资费都陆续实现单向收费的现象正是证明了这一点。而且这个计划也响应了本年4月27日在北京召开的电信资费座谈会逐渐实现手机单向收费的号召

27、。手机单向收费全面实行之 后，最大的变化是计费变得相对简单，而且“谁打电话谁埋单”更加符合消费习惯。不 过，单向收费不等于低资费，也不等于降价，手机用户还是要根据自己的通信消费特点 选择适合的资费套餐，不必拘泥于是否“单向”。综上所述：对于是否开通全球通“被叫全免费计划”的问题，我们提醒广大用户 不要盲目的追求单向收费，还须仔细的根据自己的实际情况来权衡利弊，三思而后行！问题四 设计手机资费方案应考虑的一些因素:1、针对不同用户群的本地通话费（本地话费是所有用户都会发生的，并且它是话费结 构中的主体）来进行设计。2、资费套餐的设计主要针对低端用户和高端用户3、兼顾当地联通公司的资费套餐和小灵通

28、的资费水平，从而使移动运营商的资费套餐 计划更具竞争力。4、应适应不同用户对消费量不同层次的需求。5、先对套餐设计方案中的各个未知量进行单独考虑，然后再建立合作对策模型进行对 方案的整体考虑。下面设计的全球通手机的资费方案是先针对北京的广大用户分析而建成的 北京通话客户的通话信息情况统计如下：使用套餐的用户种类本地通话（市话）量拨打17951国内长途量高档客户1509189高档客户2491207高档客户3500209低档客户117050低档客户219060低档客户320070f面就高档客户的通话信息进行讨论高档客户：本地通话量由表中的数据取均值为： 500分钟；拨打17951国内长途量 由表中

29、的数据取均值为：200分钟，对于此高档客户很容易得出t= 700根据问题一得出 的结论可知t在394：t空800的范围内，故采用“畅听99套餐”中月基本费为139元的套餐方案，则其所支付的费用为：139-(700 560) 0.25 200 0.1最终结果为：194,于是采用新方案时的收入应在174到194的范围内(174 =194 90%)设新设计出的套餐方案如下表月租套餐内包含本地主叫时间超出套餐后的主叫单价a (元)t (分钟)v (元/分钟)比较思想：先对套餐设计方案中的各个未知量进行单独考虑，然后再建立合作对策模型 进行对方案的整体考虑。进行编号：月租编号为1;套餐内包含的本地主叫时

30、间编号为2;超出套餐后的主叫单价编号为31、单独对月租进行分析：采用新的套餐方案公司收入为：a ( 70 05 60 )0. 2 52 000. 1先令：17： a 55 <194 解得 a (119 ,139)2、单独对套餐内包含的本地主叫数进行分析：采用新的套餐方案公司收入为：1 3 9 ( 7 010) 0. 2 5 20 0 0.1 t33令：174 :：: 334 - 0.25t :：: 194 解得 t (560 ,640)3、单独对超出套餐后的主叫单价进行分析：采用新的套餐方案公司收入为：1 3 9( 7005 &0)2 00 v. 11 4令:174： 1 401

31、 5 9 解得 v (0.107 ,0.25)模型三合作对策模型本题是编号为1、2、3的方案合作对策模型。记这三种方案的集合：11 ,2 ,3，相应的，3 “1 ,2，9 ,3等，称为i的子集。如果对于i的任意子集s都对应着1个实值函数v(s)满足：v( ) = 0v(s s2)(s1 s2=)则称v(s)为i的特征函数。所谓三种合作对策的资费是指定义了特征函数i中三种方案合作的结果，用向量函数表示为：(v( 1(v) , 2(v) , 3(v)表示，在实际中，常把i中各种子集s获得的收益v(s)定义为特征函数。(v)表示局部中套灿i的资费。因此:(v)成为i中方案的资 费。为了确定(v) ,

32、 shapley提出了一组(v)应该满足的公理，并证明了满足这种公理的(v)的解释是唯一的：®(v)=2： w(s)勺(s)v(s)_sml其中si是i中含有i的所有子集，|s是子集s中的居中人数，w(s)是加权因子，由w(s)少一 1)nhs)!n!确定。v(s)v(s心)是心对合作s的贡献。i(v)称为v定义的sh apleyzhi值。于 是：v (1 卜 a (7 0-05 6 0 )0. 2 52 0a00.v(2) =139 (700 -t) 0.25 200 0.1 =334 -0.25tv(3)=139 (700 -560) v 200 0.1 =140v 159v(1

33、,2=)a( 7 0t0) 0. 2 5 20 0 0. al 19 52 0 0a 0/ 1 v 12 0 0= 0. 11 5t9v20 0 0.1t-(w00v(1,8) a(700 5&0)v(2,8)1 3 9( 7t0 0v )v(1 , 2，召)a (70 0 v )i (v)的计算如下表所示s11,21,31,2,3v(s)a +55195 十 a +0.25ta+140v+20a + (700 -t)v + 20v1 (s-1)0334 -0.25t140v+159159 + (700 -t)v9i -v -v1a +55a-139a-139a-139s|12231/31/61/61/2wg1a +55a