矩阵基本性质

1、矩阵根本性质矩阵的根本性质矩阵？?勺第?第 ?列的元素为A?我们？ ？?或(?表？ ？x?的单位矩阵。1. 矩阵的加减法(1) ?= ?± ?对应元素相加减(2) 矩阵加减法满足的运算法那么a. 交换律：？?+?=?+?b. 结合律：(?+ ? + ?= ?+ ( ?+ ?c. ?+ ?= ?d. ?. ?= ?2. 矩阵的数乘(1) ?= ?各元素均乘以常数(2) 矩阵数乘满足的运算法那么a. 数对矩阵的分配律： ？?+ ? = ? ?b. 矩阵对数的分配律：(？卞?= ? ?c. 结合律：(？?= ?(?)d. ?= ?3. 矩阵的乘法(1) ?= ? X? X ,左行右列对应元

2、素相乘后求和为C的第?行第？列的元素(2) 矩阵乘法满足的运算法那么a. 对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有? ? ?b. 分配律：？?+ ? = ?+ ?c. 结合律：(？?= ?(?)d. 数乘结合律：？?)?= ?(?)4. 矩阵的转置？?？(?？?力A?(1) 矩阵的幂：？ = ? ? = ?, ?+1 = ?(?)(2) 矩阵乘法满足的运算法那么a. (?的?= ?b. (?+ ?= ?尹+ ?c. (?冬？?(為 d (?)?= ?勺？5. 对称矩阵：？"?= ?項卩 a? a?反对称矩阵：？*?= -?即a? -a ?(1) 设？,?为(反)对称矩阵，贝V

3、?± ?仍是(反)对称矩阵。(2) 设？,?为对称矩阵，贝V ?或？?仍是对称矩阵的充要条件 ?=?<?(3) 设？为(反)对称矩阵，贝V ?徨?也是(反)对称矩阵。(4) 对任意矩阵？那么？三1(?+ ?窗,？&2(?+ ?窗分别是对称矩阵和反对称矩阵且?= ?+ ?(5) (?= ?6. Hermite 矩阵：？?= ?即a? ?報?反 Hermite 矩阵，？?= -?即a? -a?a. ?=(A)?b. (?+ ?= ?f?+ ?尹矩阵根本性质c. (?巧=?3d. (?)? = ?f?f?e. (?= ?f. (?7?)-? =(?)?(当？巨阵可逆时)7.

4、正交矩阵：假设?= ?= ?那么?(?) ?尹x是正交矩阵(1) ? = ? ? x ?(2) det ?= ±1(3) ? ? ? x ?8. 酉矩阵：假设？?= ?= ?那么?(?) ?尹x是酉矩阵(1) ? = ? ? x ?(2) |det?= 1(3) ? ? ? x ?(4) ? ?尹 x ?9. 正规矩阵：假设? ?,那么？是正规矩阵；假设？?？?= ?那么？是实正规矩阵10. 矩阵的迹和行列式(1) ? = E?=?刃 £?=?为矩阵？?勺迹；|?或det (?为行列式(2) ?= ?;注：矩阵乘法不满足交换律(3) ? ?= ?(4) ?= ? ?为酉矩阵

5、，那么？?？ = ?(5) |?+ ? = |?+ ?f?|(6) |?+ ? = |?+ ?| |? = |?(8) |? ?(9) |?= |?(10) det (?+ ?= det (?+ ?)(11)i?= n?=?(12) ?= Iogdet(?+ ?, ?= £?,贝 V ?=弓?=Jog(1 + £?其中?为？?奇异分解值的特征值11. 矩阵的伴随矩阵?(1) 设?= ?材由行列式|?的代数余子式？?所构成的矩阵(2) ?= ?f?= |?12. 矩阵的逆(逆矩阵是唯一的)(1) A 的逆矩阵记作？?，？?= ?= ?(2) |?工0 (?为非奇矩阵)时,(3

6、) |?工 0且?工 0,那么(?？=丄？?(4) 由？?？?？= ?得(?？ = ?(5) (?-?= (?)?(6) 假设 |?工 0, |?| =孟(7) 假设？是非奇上(下)三角矩阵，那么？?也上(下)三角矩阵(8) ?= (?)?矩阵根本性质(9) (?+ ?)? = ?绍？?+ ?)?丿 / /(10) (? ?= ?(? ?(11) Woodbury恒等式：(?+ ?)? = ? ?(? ?)?(12) ?= ?/-1 ?12.对角矩阵，矩阵？为对称矩阵，？正交矩阵，那么？?？?： ？?为对角矩 阵或？?？?： ?/?/= ? ,?禺=A,那么？?= ?A?/?=? =?13. 矩阵的导数(1)? ? ?(?= ?+ ?(2