垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

1、垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系学习目标1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义）3. 应用以上定理主要是解直角三角形AOM，在RtAOM中，AO为圆

2、半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该RtAOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象

3、完全重合。6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。【典型例题】例1. 已知：在O中，弦AB12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径。点悟：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离。解：作OEAB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图所示：由垂径定理知：AOE、BOE为等腰直角三角形AOB90°由AOE是等腰直角三角形即O的半径为点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE），构成垂

4、径定理的基本图形是解决本题的关键。例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。求证：证明：作OEAB，垂足为E，连OA、OC则在中，在中，即即点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。例3. O的直径为12cm，弦AB垂直平分半径OC，那么弦AB的长为（ ）A. B. 6cm C. D. （2001年辽宁）解：圆的半径为6cm，半径OC的一半为3cm，故弦的长度为故选C。例4. 如图所示，以O为圆心，AOB120°，弓形高ND4cm，矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、G在上，且EF4HE，求HE的

5、长。解：连结AD、OGOAODAOD为等边三角形ODANNOND4cmODOG8cm设，则在中，由得：解得：（舍去）HE的长为cm点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。例5. 已知，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且，则DC的长为（ ）A. 3cm B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm（2001年北京东城区）解：故选C。常见错误：将DC错算为OD，即算出OD就不再计算DC了，从而错选A。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。例6. 在O中，那么（ ）A. B. C. D. 解：如图所示，连结BC。在ABC中，ABACBCAB2AC故

6、选D。点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。例7. 已知O的半径是10cm，是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）A. 5cm B. C. D. 解：如图所示，AOB120°在RtACO中，故选A。点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。例8. 等腰ABC的顶角A120°，腰ABAC10，ABC的外接圆半径等于（ ）A. 20 B. 15 C. 10 D. 5解：如图所示，连结OA、OBABAC10由垂径定理的推论，得OA垂直平分BC，垂足为D又BAC120°ABCACB30°

7、BAO60°又OAOBAOB是等边三角形半径OAOBAB10故选C。点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。例9. 点P为半径是5的O内一点，且OP3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ）A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条（2002年山东）解：选C。点拨：圆是中心对称图形，故与P点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有4条。例10. 如图所示，M、N分别是O的弦AB、CD的中点，ABCD。求证：AMNCNM点悟：由弦ABCD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M、N分

8、别为AB、CD的中点，如连结OM、ON，则有OMON，OMAB，ONCD，故易得结论。证明：连结OM、ONO为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点OMAB，ONCDABCDOMONOMNONMAMN90°OMNCNM90°ONMAMNCNM点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。例11. 在与中，分别有40°的和，那么：（1）与相等吗？（2）与相等吗？错解：（1）因为与都是40°的弧所以（2）与相等，所以常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合”；（2）应该

9、知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。正解：（1）不一定相等。（2）相等。【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题。1. 下列命题中，正确的命题是（ ）A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C. 在O中，AB、CD是弦，若，则ABCDD. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径2. 已知P为O内一点，且OP3cm，如果O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（ ）A. 2cm B. 3cm C. cm D. cm3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ）A.

10、10 B. 26 C. 13 D. 54. 在直径是10cm的O中，为60°，则弦AB的弦心距是（ ）A. B. C. D. 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共ABCD，那么的关系是（ ）A. B. C. D. 不确定二. 填空题。6. 已知AB为O直径，AC为弦，ODBC交AC于D，AC6cm，则DC_。7. 直角三角形外接圆的圆心在_，它的半径为_一半。8. 若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是_梯形。9. 弦AB把O分3：7，则AOB_。10. 若O半径是4，P在O内，PO2，则过P点的最短的弦所对劣弧是_度。11. O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA4cm，OP2cm，则AOB_，ADC_，度数为_，ADC周长为_ cm。三. 解答题。12. 如图，O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O半径。13. 已知：如图，C为O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CDCO，若度数为50°，求的度数。【试题答案】一. 选择题。1. A 2. D 3. B 4. D 5. D二. 填空题。6. 3cm7. 斜边中点，斜边长8. 等腰9. 108°10. 120°11. 120°，30°或60°，60°