9.3绝对收敛与条件收敛

1、第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法二、级数的绝对收敛与条件收敛胶错级数及其审敛j1、定义：正、负项相间的级数称为交错级数.£(-1)"七或£(-1)"© (其中a“ > 0)/i=ln=l2、莱布尼茨定理如果交错级数满足条件：(i) an >an+1 (n = 1,2,3,);(ii) liman =0,/Too 则级数收敛,且其和其余项匚的绝对值lrj<«n+1. ” - ' 1证明“ > 0，$2 = 一。2）+（。3 一）+ +（°2-1 一 ） 数列内“是单调增加的，又 S

2、2n =ai(a2a3)(a2n-2 - tt2n-l)一 tt2n- U1数列%是有界的，. lims2/f =s <ax. lima2jlU = 0，T8 1讪巾+1=1讪62+02+1)71007100级数收敛于和比且2幻余项匚=±（陽+1-+2+），陽+1 一曲+，满足收敛的两个条件，几<。+1定理证毕例 用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性：1) 1 + -F (l)n_1 收敛2 3 4n2) 1-丄+丄-丄+ + (-l)n_1丄+收敛2! 3! 4!n2、莱布尼茨定理如果交错级数满足条件：(i) an >an+1 (n = 1,2,3,);(

3、ii) liman =0,n>oo 则级数收敛,且其和 其余项乙的绝对值rn l<aM+1.3、三点说明.(1) 滴廷彙件(ii (ii)的交错级数为莱布尼茨型级数.两个条件(i) (ii)是交错级数收敛的充分条件 若不满足条件(ii),则交错级数必发散. 若不满足条件(i),交错级数未必发散.00例如:1) 丫(-旷n=l002)Zn=l1 + (-1) 2发散.收敛.(3)应用莱布尼茨定理判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可(一1)5的收敛性.oo例1判别级数工n=2判断常用方法有:(1) 证明 an -an+i A 0 或旦-> 1.an+l(2) 令 an

4、 =f(n)9 对 f(x)(x > 1)求导，由 fr(x)的 符号判断/(兀)的增减性，从而得到的增减性.解(1 + X)2a/x(x-1)2<0(x>2)故函数一单调递减an >an+l， 兀厂又lim色=lim丄 =0.原级数收敛n-»oon->oo H J例 用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性：1) 1 + F (1)"T 收敛2 3 4n2) - + - + +(_i)n_1 +收敛2! 3! 4!n上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛1、定义：一般项为任意实数的级数称为任意项级数.2、定理 若£|

5、©1收敛，则收敛.n=ln=l证明令儿=；（a“+la“ I）（兀 wN）,则vn >0,且儿 <an I,80000oo收敛，又»“ =£（2乙-1色1）,.&“收敛.=1n=ln=ln=l定理的作用：任意项级数n正项级数I丨丨h丨I丨丨丨m卜丨I丨丨|丨I门h丨丨丨丨丨丨mi l I丨I丨I丨h I0000003、定义:若£i色I收敛 则槻X为绝对收敛；n=0n=loooooo若工I色I发散，而工色收敛，则称工色为条件收敛.n=ln=ln=l以上定理说明：若任意项级数绝对收敛，贝IJ 该级数必收敛.定理(Page246)设为任意项

6、级数,n=l若极限limn>ooan(或lim呃)=p有确定意义, ns则(1)当0 时，级数绝对收敛;(2)当 l<p < +时,级数发散;0)当Q = 1时，级数敛散性需另行判定.例2讨论下列级数的敛散性:00n I 1（1）工（-DTn （2）E（-ir心ri.s110）（-ir-（i+-r2 n例2讨论下列级数的敛散性:00 1工(-1)丁n=n00(5)Znsin naco 1(6)工 sinrue'1 1I1 IH-l-H-HIII刖11 Ml训.艸训1畔如何判别任意项级数的敛散性？ 若收敛，要指出是条件皈I敛还是绝对收敛.一般步骤如下：llim%0,则级

7、数发散."Too00否则：判别的敛散性.00 /f=1 00 r2若I收敛，则 N 绝对收敛.否则：/1=171=13.若£l aj发散是用比值法或根值法得出,n=l则tan发散.否则应考虑ian的敛散性,11=1oo”=1 oo圧若彼敛，则工0“条件收敛，否则工5发散2! I I I I I I I I I I I 皐丄| | | | | | | | | | | | | | | | | | "冃 I I I I I I ! I思考：1、若Q0,且收敛，判断71=1/i=l、/ M +2散性？cococo厶若级数£勺绝对收敛,£仇条件收敛，贝也

8、）n-n=ln-是条件收敛还是绝对收敛？练习：设正数列仏单调下降，且£（）发散,11=100问£11=1的收敛性如何?00判断级数£色的敛散性一般有如下程序:rt=一、首先判断级数是正项级数，还是交错级数 或者是一般级数；二、若是正项级数，按照如下过程判定判别正项级数敛散性的方法与步骤0<1 0>1收敛发散三、是交错级数，先判断是否绝对收敛，若 不是绝对收敛，再利用莱布尼茨判别法判定级 数是否条件收敛.四、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛， 若不是绝对收敛则利用柯西审敛法或者定义 判断是否条件收敛.00 例6判别级数工sin"? +1龙的敛

9、散性.n=l判别级数£（一1）“ h（兀> 0）的敛散性. n=l兀练习:1 判别级数11=1 兀（x>0）的收敛性.00练习:2.设正数列单调下降,且发散,11=1的收敛性如何?例判别下列级数的收敛性.001) S(-iyW=1002) £(-1)"H-13) £(-1)"n=l004)InI#I n)收敛/n收敛n + 1002 + (-1)“收敛n22 + (-1)M发散n71=1正项级数任意项级数审敛法1.若S”tS,则级数收敛2当则级数发散3.按基本性质；4.充要条件5 比较法6 比值法7.根值法4.绝对收敛5 交错级数（莱布尼茨定理