5单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

1、0第二章单自由度系筑在简谐激励下的受迫振动2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段受迫振动-系统在外界激励下产生的振动。激励形式-外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数, 也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励 可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。2.1.1振动微分方程Hebei University of Technology有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程°_ + 2兀空 + px = hsi

2、ncot dt2 dt n k(0)=兀0 和 y(0) = Vo微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解d2 xdx 2Q齐次解:X+ 2nh p x = 0dr2dr 宀+ 2ziF pn x h sin cotix(O) = XoWO) = vo * 特解 W有阻尼系统在简谐激励下”运动微分方程的全解x =(0 + x2 (0x(0)=勺和 u(0) = v0 d2x dx 2 j 2.1.1振动微分方程Hebei University of Technology简谐激振力Fs =F0n(t以平衡位置O为坐标原点，兀轴铅直向 下为正，物块运动微分方程为d2 %dx r 厂.m=-ck

3、x + F(、sinod?dt07h虽,md2 x d?dt+ px = hsincotPn =m m具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线 性非齐次常微分方程。2.1.1振动微分方程Hebei University of Technology有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解X = x1 (t) + x2 (t)“一有阻尼自由振动运动敗分方程的解%! = Aensin (pdt + cp)勺(力有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应:吃(丫)= Bsin (co t-y/)它与激励同频，但有一个相位差申简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动>2r

4、33CO可见*对于工程实际来说.更关心的是稳态振动, 因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有 意义。 By substituting the particular solution to be determined 花=Bsin（讥肖）into the differential equation of motionWe arrive atB（pn 一or）sin（一0） + 2ncocos（cot-y/） = hsincotUsing the trigonometric relationscos（/f -（/） = cos cot cos i/ + sin 血 sin psin（ot_ 屮

5、）=sin cot cos 屮 一 cos（ot sin 屮Equating the coefficients of sin cot andcosm on both sides of the resulting equation，we obtainaaB(pn - cd ) cost/ + ln(D sin i/ = hB2ncocosi/-2)sin(/ = 0Solution of the above equation gives the amplitude B and phase angle 申 of the steady state response of the damped mas

6、s-spri ng system under harmonic excitation:2.1.1振动微分方程Hebei University of Technology h 一卄+(2n”稳态受迫振动的振幅2ncotaiv = r滞后相位差Pn稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无 关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.2受迫振动的振幅、相位差脚讨论Hebei University of Technologydp;l_（S+4（上）27（l-22）2+4222B -A-A"arctan*1-222叫qPPnPn Pna% =PnRp=振幅放大因0二仃B°J（l-刊+

7、（2勿）0久曲线族一幅频特性曲旬 厂2曲线族一相频特性曲参f WWf FWT'fff ?»!*FW1F"W2.1.2受迫振动的振幅B、相位差屮的讨论0 2曲线族一幅频特性曲线;y 2曲线族一相频特性曲线3.00.10180°P9P3 107 WW/三=0.70-An= 1.01234频率比兀-§90c0 1.02.03.0频率比九4.05.0在低频区和高频区，当匚VV1时，由于阻尼影响不大, 为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。2.1.2受迫振动的振幅、相位差屮的讨论幅频特性与相频特性1兄=0的附近区域（低频区或弹性控制区），21怜=0

8、，响 应与激励同相；对于不同的：值，曲线密集，阻尼影响不大。2、2»1W区域（高频区或惯性控制区）,屮沁,响应与 激励反相；阻尼影响也不大。3、2=1的附近区域（共振区），0急剧增大并在2=1略为偏左处有峰值。通常将2=1,即0=Pn称为共振频率。阻尼影响 显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，2=1时，总有，屮 =7T/2，这也是共振的重要现象。5品质因子与半功率带宽共振（仍按血二久考虑）时的放大因子称为品质 右子。由前面的公式得°一丄2占FIGURE 3.12 Harmonic response curve showing

9、half power points and bandwidth.品质因子与半功率带宽在久=1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对 称的。放大因子为 % 的两个点称为半功率点。 对应于这两个点的激励频率分别为砂和函，它们 的差血-码 称为半功率带宽。利用放大因子 的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率 比，即外激励频率，注意到« 2pn可得 品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭 程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或 阻尼比。转子偏心引起的受迫振动Hebei University of Technology例题.质量为的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距

10、为6偏心质量为血转子以匀角速“转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为£的弹簧。设电机运 动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为Jir上2丄2解：取电机的平衡位置为坐标原点0, X轴铅直向下为正。作用在电机上的力 有重力他、弹性力F、阻尼力巧、虚加 的惯性力坊e、受力图如图所示。根据达朗贝尔原理，有dxdt+ Mg kx + 6st) M儿2c-一 me cd smcot = 0 dt2:.Md2 x d?d2 x dx z2 + ckx = -meat sm(vtdt2 dt+ 2土dtsin 伽 + 7i) ea)2 = hM电机作受迫振动的运动方程为x =（血+

11、TT-0）2疑cp = arctg1 才22J(l_，尸 +42当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率“ 时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。阻尼比：较小时，在;LT附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值加幺以与以成正比。当Qf0时，卩竺0, B0; 当2>>1时，0-1, B-b,即电机的角速度远远大于振动系统的 固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于竺。me简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较005V101.1511 XIVL3.0MB 2 01.0180° 二1-0.70-25= 1.02340.050.250 sn1 -J01.0

12、2.03.04.0 频率比入180°.().O 旨適K谨S曙.O3 riF101to;I).375O1w w > w0.504=1-0频率比乙U2.04.03.001.02.03.04.0频率比X频率比XIEq. becomescP 兀dx dyd厂Making the substitutiond2 zm-dt2k(x-y) c(®Response of a damped system under the harmonic motion of the baseTrrrrmTiTnfTrnTThTmnrTrflVnTnTTiTrrrTfftTmThmrrrrmTiTrr

13、rmrrmTrmmTmrrrrrrmTrmTrmmrrrrwrrnTmTrrmTrrrmrrmTrmTrmTrTTTrrmTrmTrmmrrrrrrthe differential equation of motion isdt df)Z = x- y dz . d2 y+ c- kz = m=dtdt2where y = Y sinr has been assumed for the motion of the base.IIThe form of this equation is identical to that of Eq., where z replaces x22andmy Y r

14、eplaces meco Thus the solution can be immediately written as22.販 J(l 力)2 + 4了才乙=Zsin(d0)2mco Y ma)2)2 + (ca>)2tan 0 二CCDk- mco2Response of a damped system under the harmonicmotion of the baseResponse of a damped system under the harmonicmotion of the basez = Zsin(d0)2ma)Y m(o2)2 + (c(s?)2tan 0 二C

15、CDk-mco2Response of a damped system under the harmonicmotion of the baseResponse of a damped system under the harmonicmotion of the base2mco Yk - mco1 +icocIf the absolute motion % of the mass is desired, we can solve for x = z + y Using the exponential form of harmonic motion givesy = 0andx = (Ze&#

16、39;/V + Y)eicotk +icock -mco2 +ia)c)YeicotSubstituting into Eq., we obtainThe steady-state amplitude and phase from this equation arex _宀(如$Y 伙一ma>2)2 + (ca>)21 + (2力(l-22)2 + (2l)2andtani/ =3maok(k -ma>2) + (cco)2屮=arctan2汉31-A2+4<2A2x = X/a =(xe-)eResponse of a damped S.D.O.F. system u

17、nder theharmonic motion of the base,m Ml » ,幅频特性曲线和相频特性曲线Stop here after 100 minutes2丄3受迫振动系统力矢量的关系也可以不按相对运动求解（见郑兆昌机 供振动），而直接求解质量块的绝对运 动。此时的运动微分方程为子兀dx 7 d ydrdt “ dt即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不 论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所 得结果与上述结果相同。L_l知简谐激振力Fs = H sincM稳态受迫振动的响应为x = Bsin（Dt-（p）dxdt=Ba>cos(cotd2 xdF=Bco

18、 sin伽 一 cp)2丄3受迫振动系统力矢量的关系2丄3受迫振动系统力矢量的关系应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成 弹性力一 Ax + 7/sin劲=0激振力现将各力分别用B、kB、ccoB、H、m（o2B的旋转矢量表示。式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。 2.1.3受迫振动系统力矢量的关系(a)力多边形(b) <<<1(c) Q 1(d)<>>! 2.1.3受迫振动系统力矢量的关系ccoB1/(a)力多边形(b) <<<1(c) Q 1(d)<>>!2丄4受迫振动系统的能量关系从能量的观点分析，振

19、动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐 激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为x(t) = B sin(a)t - cp)1.激振力Fs=Hsin血周期T = ±HBco cT: j dZ =/sincotcoBcos(p)t-q)dtsin Qcot -(p) + sin(pdt =兀 BH sin (p激振力在在系统发生共振的情况下，相位差= | 一周期内做功为Wh =兀BH,做功最多。222丄4受迫振动系统的能量关系o因此,对于无阻尼系统（除共振情况外）相位差0 = 0或"兀 每一周期内激振力做

20、功之和为零，形成稳态振动。d x2粘性阻尼力耳=-氓做的功atT1 TWR = (r)dz = J-c6y2B2 cos2drod' oT 1=-cg)2B21 + cos 2(曲-(p)dt-7C ca)B2o 2上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地 控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量 而实现的。2丄4受迫振动系统的能量关系3弹性力FE-kx做的功能量曲线T肛T確=J FE（t）-:-dt =-Bk sin（cot -（p）coB coscot

21、-（p）dt od'02 t=一Jsin2（曲一 0）d/ = 02 o表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段215简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应，系统 的运动微分方程和初始条件写在一起为+ kx = F0sincot兀(°) = %v(°)= vo通解是相应的齐次方程的通解与特解的和，即x(t) = Cl cospnt + C2 sin pnt +厲1k 1-X2sin

22、 cor2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段7(l-22)2+42A22.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段根据初始条件确定Cl、c2o于是得到全解为= %! (0 + X2 (0 =兀oPnCOg +伴随激励卩c而产生自+由振动，-称为自由伴随振动COSOJt vo浙的自由振动11 系统对初始 条件的响应稳态强迫振动其特点是振动频率为系统的固有频率，但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。对于存在阻尼的实际系统，自由振动和自由伴随振动的振幅都 将随时间逐渐衰减，因此它们都是瞬态响应。2.1.5简谐激

23、励作用下受迫振动的过渡阶段2丄5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段共振时的情况假设初始条件为 x(O) = O,v(O) = O,二 F° -2sin/y + sin 如22由共振的定义,2 = 1时上式是I型，利用洛必达法则算出共振时的 旳立为 兀=¥hm 一 刃11 P+ 弩cos勿J =-(sin pnt- pntcospnt)k i-222kn/)- +1 cos(pnt _ a)-1a - arctanPn1=1可见,当时八几，无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为7L2严*曲巧）此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞

24、后牛,且振幅与时间成正比地增大图共振时的受迫振动1=12.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段的运动微分方程为全解为兀=6_"丿(兀0 COS Pdt +虫±纽込in阳）Pd215简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下°drdxf厂m+ cb kx- F(. sina)tdr2dt0x(0) = x0, v(0) = v02.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段+siny/cos pdt + ( sin- 2cossin pdt + 5sin(?-) 如果初始位移与初始速

25、度都为零，则成为A "亠m2p“mPdPnPd = Pn Ji-：'2®屮=arctan1-X2FjkJ(lX)2+(2®)2LPx（t） = Bewsi n 屮 cos/?6/ + （si n 屮一九 cos 屮）sin pdt5 sin （co? 一屮）Pd过渡阶段的响应可见过渡阶段的响应仍含有自 由伴随旅动。2丄5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段mnnnTmTrmTrmmrrrrrrmTmTrrrrmrrrrwrrrmTrrrrmTrrrmmTrrrmmTmrrrrrrmTrmTrmmrrrrwrrnTmTrrmTrrrmrrmTrmTrmTrTTTrrmTrmTrmmrrrrr在简谐激励的作用下有阻尼系统的总响应由三部分组成O无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。伴随激励而产生的自由振动一自由伴随振动，其 振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关60以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间