概率论课件第四章

1、(C) Zhao Xu 第四章第四章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理 概率论概率论 大数定理大数定理中心极限定理中心极限定理概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012一、一、Chebysherv不等式不等式定理：定理：222(),()0-XE XD XPX设随机变量 的数学期望与方差存在，且，则对于任意的实数恒有第一节第一节 大数定理()( ).Xf x对连续型情况证明 设随机变量 的概率密度为证明：22( -)-1对于 的取值 ，当时，便有xXxx-( )所以有xP Xf x d

2、x 概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 201222-( -)( )xxf x dx 2222( -)( )xf x dx2222-1PXPX 注意：概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012221PX Chebysherv不等式的应用不等式的应用 例例4.175015800设一种小麦品种在某产地的平均产量为公斤，标准差为公斤，试求该小麦品种今年在该地区亩产量在700公斤于公斤之间的概率。解解：设该

3、地区次小麦品种的亩产量为X.222()750()15157008007505010.9150E XD XChebyshervPXP X 由题设知，由不等式有概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012 例例4.2()01XD XP Xc设 为随机变量，证明：充分性显然成立。()0D X 这说明当时，X就失去了随注意：机性。 ()0必要性由于D X 0由不等式，对于任意有Chebysherv2()1()1D XP XE X ()1即有 P XE X()1由于 的任意性，便有P XE X()选便得所要

4、结论。cE X概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012 大数定理的客观背景大数定理的客观背景 大量随机试验大量随机试验中中事件发生的频率稳定于某一常数测量值的算术平均值具有稳定性大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率生产过程生产过程中的废品率中的废品率文章中字母文章中字母使用频率使用频率二、大数定理二、大数定理概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012 两个常用的大数定理两个常用的大数

5、定理 定义：定义：1212,lim |1,nnnnPnXXXaPXaXXXaXa 设是一个随机变量序列， 是一个常数，若对于任意正数 ，有则称序列依概率收敛于 ，记为概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 201201nnnXanXaXa依概率收敛于 ，意味对任意给定的，当 充分大时，事件的概率很大，接近于 ；并不排除事件的发生，而只是说他发生的可能性很小；依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱些，它具有某种不注意：确定性。概率论与数理统计The Probability Theory and Ma

6、thematical Statistics 概率统计教研室 2012Chebysherv 1211,()()()011lim()1niiinniiniiXXXE XD XMiD XMPXE Xnn 设是独立的随机变量序列，每个随机变量的数学期望与存在，且存在正实数，使得对任意 有，则对任意正实数，恒有 定理定理1 (Chebysherv大数定理大数定理) 两个常用的大数定理两个常用的大数定理概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 20121111()()nniiiiEXE Xnn证因为明：21111(

7、)()nniiiiMDXD XnnnChebysherv Chebysherv由不等式，对于任意的正实数 有11111()nniiiiPXE Xnn1111lim()1所以nniiniiPXE Xnn121()1niiDXn21Mn 概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012Khintchin推论：推论：1221,1lim1nniniXXXPXn设是独立同分布随机变量序列，且数学期望为 ，方差，则对于任意的正实数 有11nPiiXn 这个定理表明概率论与数理统计The Probability T

8、heory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012 定理定理2 (Bernoulli大数定理大数定理)Bernoullilim1nnnnApAPpn设是 次独立重复试验中事件 出现的次数， 是事件 在每次试验中发生的概率，则对于任意正实数 ，恒有概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012121A;0A1,2,()1()1,2,4lim1iniinniXiinXXXE XpD XpqinChebyshervPpn第 次试验出现事件证明：令第 次试验不出现事

9、件于是有相互独立，且由大数定理有Bernoulli 定理定理2 (Bernoulli大数定理大数定理)概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012三、大数定理的应用三、大数定理的应用 Khintchin应用应用11()nniiXnnXE Xn充分大这一定理表明：同一量 在相同条件下观测 次，当观测次数 充分大时，“观测值得算术平均值接近期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：寻找随机变量的期寻找随机变量的期望值提供了一条实望值提供了一条实际可行的途径际可行的途径概率论与数理统计The Pro

10、bability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012( )nAnnAfP A充分大这一定理表明：在相同条件下重复同一随机试验次，当试验次数 充分大时，“事件 发生的频率接近其概率”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：寻找随机事件概率提寻找随机事件概率提供了一条实际可行的供了一条实际可行的途径途径 Bernoull大数定理应用大数定理应用概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012概率论与数理统计The Probability Theor

11、y and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成。例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。那么弹着点服从怎样分布呢 ？第二节第二节、中心极限定理、中心极限定理概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012 自从高斯发现测量误差服从正

12、态分布之后，人们通过大量的观察和研究发现，正态分布在自然界中极为常见。 在概率论中，习惯于把随机变量和的分布收敛于正态随机变量和的分布收敛于正态分布分布这一类定理叫作中心极限定理中心极限定理。概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012一、一、 随机变量序列依分布收敛随机变量序列依分布收敛1212,( )1,2,( )( )lim( )( ),nnnnnFnXXXXF xnF xF xxF xF xXXXXXX 设是一个随机变量序列， 是随机变量，其分布函数分别为若对于的人已连续点 总有则称序列依

13、分布收敛于 ，记为定义：定义：nXX依分布收敛于 ，是随机变量序列收敛性的一种重要表述，它把不确定性的极限行为以确定性方式表注意：达出来了。概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012定理定理3 Lindeberg-Levy中心极限定理中心极限定理212212,:()()(1,2,)1lim2niinxtiinXXXE XD XixXnPxedtn 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差，则对于任意的实数 ，有 中心极限定理中心极限定理二、中心极限二、中心极限定理定理概率论与数理统

14、计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 201221212nxtiniXnPxedtn 在定理条件下，总有理解：1即随机变量序列依分布收敛于标准正态分布niiXnn定理定理3 Lindeberg-Levy中心极限定理中心极限定理概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 20121221,(,)nniinXXXXN nn近似这就是说：当 充分大时，只要独立同分布，无论他们服从什么分布，一定有1(0,1)表明niniXnNn21

15、(,)由正态分布的性质nniiXN nn定理定理3 Lindeberg-Levy中心极限定理中心极限定理 中心极限定理中心极限定理概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012即: 一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变量，一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变量，其概率分布一定是正态分布。其概率分布一定是正态分布。1(0,1)表明niniXnNn21(,)由正态分布的性质nniiXN nn定理定理3 Lindeberg-Levy中心极限定理中心极限定理概率论与数理统计The Proba

16、bility Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 201222( ,)1lim2xtnXB n pxXnpPxedtnpq设随机变量，则对于任意的实数 ，有定理定理4 De Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理21212( ,),()()Lindeberg-Levy1lim2nniixtnXB n pBernoulliXXXpXXE XnpD XnpqXnpPxedtnpq因为，由大数定理证明有为独立同分布于参数为 的两点分布的随机变量，使得. 易知由中心知：极限定理证明概率论与数理统计The Probability Theor

17、y and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012(,).nXN np npq在理定理条件下，总有解：定理定理4 De Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012211,(,)nniiniiXnXN nnX近似对于独立同分布随机变量序列不管他们服从什么分布，只要存在有限数学期望和方差，当 充分大时，就有所以，的有关概率问题可利用正态分布求解。 Lindeberg-Levy中心极限定理应用中心极限定理应用 中心极

18、限定理的应用中心极限定理的应用概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012( , )(,)50 0.10.9nXB n pXN np npqnnp对于随机变量，总有，因此，当 充分大时，二项分布的概率问题可利用正态分布解决。一般在实际中，应用效果较理想。 De Moivre-Laplace中心极限定理应用中心极限定理应用 中心极限定理的应用中心极限定理的应用概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012

19、例例4.35010.0513Poisson某城市有个无线电寻呼台，每个寻呼台在 分钟内收到的呼叫次数服从参数的分布，求该市某时刻 分钟内各寻呼台呼叫次数总和超过 次的概率。1(1,2, )13 .iXiinTP T设表示第 个寻呼台在给定的 分钟内接收到的呼叫次数，则该市在给定的 分钟内接收到的呼叫次数总和 ，于是，所求概率为解：1( )2.5( )2.5显然niiTXE TD T(2.5,2.5)近似由中心极限定理有LindebergLevyTN313所以有 P TP T 32.51()2.5 1(0.3162)0.3745 1337.4即该市在 分钟内接收到呼叫次数超过 的概率约为5%。概

20、率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012例例4.4120.05 0.8 0.15400对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、名家长、名家长来参加会议的概率分别为， ，。若学校共有名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且具有相同概率分布。4501340(1)求参加会议的家长数 超过的概率；(2)求有 名家长来参加会议的学生数不多于的概率。X概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概

21、率统计教研室 2012(1)(1,2,400)kkXkkX设表示第 个学生来参加会议的家长数，则的解：分布律为0120.050.800.15kXkp4001()1.1()0.191,2,4004kkkkE XD XkXX易知而由定理 可知随机变量(400 1.1,400 0.19)近似XN例例4.4概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012400 1.1450400 1.1450400 0.19400 0.19400 1.111.147400 0.191(1.147)0.1257XP XPXP

22、所以有45012.57%X答：参加会议的家长数 超过的概率约为.4001400 1.1400 1.1N(0,1)400 0.19400 0.19近似即有kkXX例例4.4概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012(2) 设 表示有一名家长来参加会议的学生数，则有Y-Y400 0.8 400 0.8 0.2400 0.8340400 0.8340400 0.8 0.2400 0.8 0.2400 0.82.5400 0.8 0.2(2.5)0.9938De Moivre LaplaceNYP YP

23、YP 近似由 中心极限定理有（，）所以有134099.38%答：有 名家长来参加会议的学生数不多的概率约为.(400,0.8)YB例例4.4概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012例例4.5 某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设每台车床开工率为0.6, 每台车床是否开工是独立的，每台车床在开工时需电力1千瓦。问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 解：解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车

24、床在某时刻是否开工, 开工的概率0.6 ,共进行200次独立重复试验。用X表示在某时刻开工的车床数，依题意XB(200,0.6)。设需要N千瓦电。现在的问题转化为：求满足PXN0.999的最小的N.概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012-200 0.6 200 0.6 0.40De Moivre LaplaceXNP XNPXN近似由 中心极限定理有（，）所以有例例4.5 某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设每台车床开工率为0.6, 每台车床是否开工是独立的，每台车床在开工时需电力1千瓦。问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 解：解：概率论与数理统计The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率统计教研室 2012120120()