眼科病床合理安排模型

1、眼科病床合理安排模型摘 要本文旨在对医院的眼科病床进行合理安排，并以建立相应的指标体系来评价动态规划模型下的眼科病床分配方案。通过对题目的分析，涉及到本文需要解决的主要问题为以下几个部分：评价医院和病人都获利的程度，病人入院和出院的动态分配，外伤病人住院时间的不稳定性，白内障手术调整的比较，各类病人住院天数对病床利用率的影响。针对问题一，我们考虑到要使病床的分配方案更为合理，就会涉及到病人对医院满意度的上升，即病人平均等待住院时间以及平均住院时间的减少，而医院病床的利用情况和周转情况也会相继提高。故我们选择这三个方面作为病床安排模型的评价指标体系，并评价了fcfs的指标情况，病人的满意度为0.

2、56，病床利用率为67.8，病床的周转次数为4.42次。针对问题二，首先我们分析出住院情况和一周的星期时间有一定的联系，也就是说非急诊病情住院时间会随着白内障手术时间的变动而发生改变，故我们在一周七天时间内对于不同类的非急症病人求取住院时间的平均值，即我们建立住院矩阵z，其次根据住院矩阵z预测出79名病号中非急诊病人的出院时间，通过分析发现外伤住院的时间服从正态分布，故我们生成随机数对出院时间进行预测。在得到79名病号出院的时间后，我们进一步的对病人的出入院情况，进行动态分析，并使目标函数为住院人数和病人平均等待时间最优化，从而建立动态规划模型，我们分别使用逆序解法和lingo软件线性解法对此

3、模型进行求解，得出病床的安排模型，最后采用第一问中建立的指标体系对模型进行评价，得出了病人的满意度为0.675，病床利用率为89.5，病床的周转次数为8.5次，比fcfs系统的指标值更好。针对问题三，我们考虑到影响病床安排的不稳定因素就是外伤病人的康复情况，也就是说外伤病人的出院时间是不定的，这进一步导致了医院的统筹安排的困难，所以病人想知道自己大概的住院时间区间是根据外伤病人其康复状况而变动的。通过分析，由于病床是不能空着的，所以我们分别找出外伤病人最大住院时间和最小住院时间，从而将预测出的两个出院时间代入模型，分别解出门诊病人的两个住院时间段，即可得出病人住院时间的置信区间，详细见表7.6

4、7.9。针对问题四，由于周六、周日不进行手术，又因为白内障手术在周一、周三实施，这将会对原本在该时间内做手术的病人带来住院时间变得更长的影响。所以我们将白内障手术时间调整至周二、周四和周三、周五，即我们的住院矩阵z也发生了变化，也就是每类病人的出院时间随着手术的调整而做出了相应的变动。我们将新调整的两个住院矩阵z1和z2代入动态规划模型进行求解，得出了周三、周五进行白内障手术更为合理，出了病人的满意度为0.604，病床利用率为78.75，病床的周转次数为6.9次。针对问题五，从便于管理的角度考虑，采取使各类病人占用病床比例大致固定的方案，我们建立了以所有病人在系统内的平均逗留时间最短为目标，以

5、各类病人占用病床比例为约束变量的线性规划模型。采用lingo软件求解模型，得到各类病床所占比例分别为0.127（白内障）、0.215（白内障双眼）、0.367（视网膜疾病）、0.152（青光眼）、0.139（外伤）。关键词： 动态规划 住院矩阵z 置信区间 评价指标 正态分布1 问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术每周一、三做，术前准备时间只需1、2天，做两只眼的病人大约占到60%，如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院

6、，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，大致住院以后2-3天内就可以接受手术，术后的观察时间较长，一般不安排在周一、周三。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs（first come, first serve）规则安排住院。医院方面希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。解决以下问题：1.试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。2.就当前情况，建立合理的病床安排模型，以已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院，并对模型利用问题一中的

7、指标体系作出评价。3. 根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。4. 若该住院部周六、周日不安排手术，请重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整。5. 为便于管理，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型。2 问题分析本文主要任务是让我们评价医院现有的病房安排是否合理，若不合理，则需建立一个合理的病床安排模型，使医院的资源利用率最高。在此，我们简单分析各问的求解思路以及需要注意的问题。首先我们要建立一个合理的评价模型，所谓合理，就是让双方都满意，因此我们

8、需要找到双方满意度指标，并对指标量化后具体分析。在解决第一问后，医院希望我们能够建立一个合理的模型，能够帮助他们解决病房安排问题。为此，我们需要先预测出哪些病人在什么时候出院，然后安排新的病人住进病房，安排原则是使问题一中的评价指标体系尽可能高。在得到模型后，我们要根据病床分配模型做出病人住院病床时间区间表，方便病人一入院，就能告知其何时能住院。其次住院部手术时间调整后，病人入院的手术时间肯定要调整，否则会导致很多病人等待多天才能住院，会导致住院时间增加，使排队长度增加，对医院资源利用率低，还会导致病人对医院的满意度下降。最后一问需要建立以平均逗留时间最短为目标函数的优化模型，对各类病床比例进

9、行约束限制，使用lingo求出最优解以及比例分配情况。3 模型假设1 假设除外伤外，其余眼科疾病不存在急症；2 假设考虑病床安排时，不考虑手术条件的限制；3 假设病人的到达是相互独立的随机事件，服从泊松分布；4 假设医院每个病床的服务率一致，病人康复不受病床影响；5 假设医院安排病床的目的是为了使医院的资源得到有效利用，不考虑盈利；6 假设除白内障手术时间与其它疾病（除外伤）不能同时做外，其余手术时间不冲突。4 符号说明病床利用率； 病床周转次数；平均逗留时间； 平均等待时间；第类病情的第个病人在第天的住院情况，住院为1，否则为0。5 病床安排优劣评价模型（问题一） 本节主要建立病床安排优劣的

10、评价模型，用于评价医院按fcfs规则安排住院是否合理。为此，本文确定了两个评价指标病人满意度和医院满意度，病人满意度主要从病人的平均等待时间和平均住院时间来考虑，医院满意度主要从医院的资源利用率来考虑，并将指标量化综合来评价病人以及医院对fcfs规则下病床安排是否合理。本节主要内容如下：l 确定评价指标l 指标量化综合l 判断模型优劣5.1 评价指标的确定（1）病人满意度已知当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs（first come, first serve）规则安排住院，要想评价这种规则安排病床模型的优劣，我们必须求出按此规则下排队系统的运行指标。这些指标主要包括队长（平均顾客数）、队

11、列长（等待的平均顾客数）、平均逗留时间及平均等待时间。从病人角度考虑满意度，当然是希望等待时间越少越好，住院时间越短越好。因此，我们决定从病人平均等待时间和平均住院时间两方面来评价病人对医院的满意度。（2）医院满意度上述几项指标都是反映队列情况的重要指标，但它们都是从顾客（病号）的角度来评价排队规则，这显然不够，还要为院方考虑。医院住院部当然希望医院的资源利用率最高，也就是病床的利用率和病床的周转次数越高越好。病床利用率高和周转次数多，说明病床不存在浪费现象，也反映了住院病人多，作为医院当然是希望这两方面越大越好。5.2 评价指标的量化在得到评价指标后，我们需要对指标进行量化，也就是标准化，使

12、它们的大小反映相同的情况。这里我们定义综合指标越大越好，即综合指标越大，病人和医院的满意度越高。在确定综合指标的标准后，下面分别讨论两个满意度的量化标准、方法、过程及结果。（1）病人满意度指标量化利用附录中给出的2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况，我们可以求出每个病人的等待时间和住院时间。等待时间用入院时间减去门诊时间求得，住院时间用出院时间减去入院时间即可得到，数据见附表1.1。在得到等待时间和住院时间后（单位用天计算），需要确定数据标准化公式，以便将数据标准化。等待时间的满意度量化观察附表1.1中的数据，可以看出病人最长等待时间16天，最短等待时间1天（外伤

13、急症），除外伤其余均在10天以上，且分布较为集中。因此，在标准化数据时，我们决定刨去外伤（等待时间为1天，认为满意度为1），计算其它眼科疾病的平均等待时间作为满意度的中间值0.5，小于该平均值的满意度增加少的天数与0.1的乘积，大于该平均值的减去多的天数与0.1的乘积，当满意度减为0.1时不再减小，当满意度增加到1时不再增加。按照上述原则，首先求出平均等待时间为13天，定其满意度为0.5。除去外伤，其余疾病最少等待时间10天，最多等待16天，均不会超过限值。具体量化公式如下：等待时间的满意度量化公式 （5-1）应用式（5-1）求得等待时间满意度量化等级表如下表5.1所示。表5.1 等待时间满意

14、度等级表等待时间110111213141516满意度10.80.70.60.50.40.30.2根据表中数据可以很快得出每个病人的等待满意度值，数据见附表1.1，求出等待时间病人的平均满意度为 从而求出病人满意度的第一项指标的标准化数据。住院时间的满意度量化观察附表1.1中的数据，发现住院时间最长18天，最少3天，且中间数据均有，没有出现明显分层。因此，在标准化数据时，采用所有病人的平均住院时间作为满意度中间值0.5，少于平均值满意度增加，高于平均值满意度减小，标准和等待时间一致。按照此原则，我们得到病人对住院时间的满意度计算公式如下: （5-2）应用式（5-2）求得住院时间满意度量化等级表如

15、下表5.2所示。5.2 住院时间满意度等级表等待时间34567891011121314满意度110.90.80.70.60.50.40.30.20.10.1根据表中数据可以很快得出每个病人的住院满意度值，数据见附表1.1，求出住院时间病人的平均满意度为 （5-3）病人满意度指标综合在得到病人对等待时间和住院时间的满意度情况后，我们就可以通过加权求和得到病人综合满意度情况。考虑客观事实以我们采用主观赋权法赋予权值，一般大多数认为挂号后等待住院时间和住院时间多少是同等重要的，因而决定赋予权值为0.5、0.5。从而的到病人的平均满意度为： （5-4）应用式（5-4）求得病人对医院的平均满意度为0.5

16、6，在满意度中间值附近，说明病人认为医院的病床安排规则一般。（2）医院满意度指标量化已知医院住院部希望医院的资源利用率最高，也就是病床的利用率和病床的周转次数越高越好。因此，对于医院对排队规则的满意度使用病床利用率和病床周转次数作为评价标准，这两个指标越大越好。下面分别求这两项指标。病床利用率的满意度量化利用附表1.1中的数据，为准确计算出病床的利用率，我们将时间规定在2008年7月14日至2008年9月5日（题目中给出的入院时间），求得所有在9月5日（含当日）之前入院的病人到9月5日（含当日）住的总天数。用总天数除以所有病床能提供的总天数，即为病床利用率。计算公式如下：式中：为病床利用率，为

17、所有病人住的总天数，为病床总数，为天数。用excel处理数据，求得，。病床利用率越高，说明医院的满意度越好，因此可以直接将利用率作为评价医院满意度的一个指标，一般病床利用率达到80%90%为宜。但病床利用率高仅仅只能放映有病人住，至于住了多少个病人并不知道，因而还需求另一项指标病床周转次数。病床周转次数量化我们知道2008年7月13日至2008年9月11日这段时间总共有349个病人住院，医院住院部有79张床，我们用病人总数除以床数，就可以计算出每张床在这段时间平均用过的次数，计算公式如下： 式中：为周转次数，为住院病人数，为病床总数。根据上式求得：次。对于医院来说病床周转次数越多，说明病人医院

18、治疗效果好，有更多的病人可以入住。5.3 评价病床安排优劣综合以上求得的结果，我们对该医院按照fcfs规则安排病房的优劣性作如下评价：（1）从病人角度考虑，病人满意度综合指标为0.56，接近中间值0.5，说明病人对医院病床安排并不满意。病人满意度指标是根据平均住院时间和平均等待时间计算出来的，这项指标不高，说明病人对医院住院时间安排不合理。（2）从医院角度考虑，医院病床的利用率不到七成，说明病床空闲时间较多，是对医院资源的浪费。病床利用率高不代表周转次数多，有可能是慢性病人较多、手术效果不佳、护理不到位等多种原因造成。因而从病床利用率只能反映病床的利用情况好坏，不能反映住院出院的病人数。我们算

19、得病床周转次数为4.42次，这个指标也不高，说明医院病人住院时间较长，导致住院病人不多。综合以上两个方面可以得出按照先到先服务的规则制定病床安排模型并不合理，会造成病人的等待时间过长，医院资源的浪费等现象。6 病床安排模型（问题二）本节主要就医院当前情况建立病床安排模型，用于合理解决医院病床安排问题，并对模型做出评价。为此，需要预测病人出院时间，根据出院时间安排其他病人入院。本节内容安排如下：l 数据分析与预测l 病床合理安排模型l 模型评价6.1 数据分析与预测（1）数据分析为准确预测出病人出院时间，必须认真分析数据。通过观察结合实际，我们发现除外伤外，其余患有疾病的病人何时出院与何时做手术

20、密切相关，术后恢复时间基本上一致。对于同一种病，入院后何时做手术又有具体时间安排，白内障手术在周一、周三进行，其他疾病不在周一、周三做，且前者术前只需1-2天准备，后者2-3天，相差都不大，因而我们决定根据病人的入院时间预测病人的出院时间。由于病人做手术与星期几有很大关系，因而我们决定将病人的入院时间转化为星期几来观察其出院时间，结果发现病人的住院时间与星期几有很大关系，且在固定的星期，相同的疾病出院时间几乎一致。据此，我们可以求其平均值作为病人住院时间的预测值。至于外伤，属于急症，没有星期限制，都是第二天安排手术，术后恢复情况跟个人体质有很大关系，不能通过求平均值来解决。我们观察数据较为凌乱

21、，不能用回归分析预测，想到其在一定范围内波动，可能服从正态分布。因而决定使用正态分布来预测外伤住院时间。综上分析，我们决定根据病人入院时间（星期）来预测病人（除外伤疾病）住院时间，用正态分布预测外伤疾病的住院时间，从而确定病人何时出院。Ø 非急诊病人可以进行平均值预测Ø 外伤病人生成正态分布随机预测（2）预测住院时间并建立住院矩阵z平均值的预测根据以上数据分析，下面我们分别预测视网膜疾病、青光眼、白内障单、白内障双四种病人住院时间与星期的关系。以视网膜疾病为例，我们从349个病人中找到所有星期一入院的病人，他们的住院时间分别为13、13、14、13、13、17、14、16、

22、11、11（天），平均住院时间为14天，因而将14天作为星期一入院视网膜疾病病人的住院时间。照此，可以得出一周视网膜疾病患者的平均住院时间。我们用excel可以很快求得其他疾病平均住院时间与星期的关系。综合起来，预测住院时间表如表6.1所示。表6.1 住院时间与星期的关系预测星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日视网膜疾病14131013111313青光眼1110101111118白内障单5487654白内障双1211109876从上表我们就可以得到住院天数的矩阵z，即： (6-1)其中列表示病情，行表示时间。外伤住院的预测（服从正态分布）在得到上述四种疾病的住院情况后，还需预测除外伤患者

23、的住院时间，下面我们用正态分布来预测。首先，根据已知数据检验外伤的住院天数是否服从正态分布。第一步：求正态分布未知参数，的极大似然估计，由数学知识可知，的极大似然估计分别是平均值和方差，计算公式为 (6-2)求得 第二步：将住院时间作分点0<4<5<8<10<11,把样本分作5个区间。总体样本落在各个区间（中的概率估计值 根据外伤住院时间的数据，可得概率估计值计算结果如下表6.2所示：表6.2 概率估计值计算结果表（(0,4(4,5(5,8(8,10(10, 21230830.036360.218180.545460.145460.05454第三步：计算检验指标对

24、，自由度，查分布表，可得，由于，因此接受：，可以服从正态分布。其次，利用正态分布预测外伤住院时间。计算公式如下： (6-3)利用上式我们可以根据入院时间预测出外伤住院时间。为使计算结果更能反映事实，我们采用蒙特卡洛法计算100次取平均值作为外伤病人的出院时间。（3）预测病人的出院情况利用上述的预测数值，我们可以预测79位病人的出院时间如下表6.3所示。表6.3 预测出院时间表病人12345678910出院时间9/119/119/139/129/159/159/139/149/139/13病人11121314151617181920出院时间9/139/139/119/179/179/179/17

25、9/179/139/16病人21222324252627282930出院时间9/139/139/169/169/169/139/199/139/139/17病人31323334353637383940出院时间9/199/139/199/199/139/179/199/199/179/13病人41424344454647484950出院时间9/139/209/119/139/209/229/229/139/229/20病人51525354555657585960出院时间9/229/139/209/209/209/209/209/209/199/20病人61626364656667686970出院

26、时间9/209/209/209/209/189/209/189/209/249/18病人717273747576777879出院时间9/249/109/129/119/169/159/159/20/9/156.2病房合理安排模型6.2.1约束条件的分析：根据我们之前的分析与计算，可以得出79个病人的预测出院时间，进而我们可以统计出从第一个出院病人的时间及该时间下相应的出院人数至最后一个病人出院的时间及该时间下相应的出院人数，具体情况如下表所示：表6.4：预测出院日期及人数情况日期出院人数日期出院人数9月10日19月18日39月11日59月19日79月12日29月20日179月13日199月21

27、日09月14日19月22日49月15日59月23日09月16日59月24日29月17日8总和79从上表我们可以清楚的看到不同时间的出院人数，也就是说我们只要把当天出院的人数与门诊的病人结合起来，即出院的人数等于入院的人数。在这里我们引入三维的0-1变量， (6-4)其表示患第j类病情的第k个病人在第i天（共14天）的住院情况，1即为入院，否则为不入院。（1） 病人总数的约束根据题意共有102名病人要等待住院，也就是安排住院的人数在这规定的时间内必须小于等于102，即约束条件写为： (6-5)（2） 各类病人能够接受手术的约束通过对102名病人的分类我们可以得出，需要就诊的各类病人的人数情况，如

28、下表所示：表6.5：各类病情的人数白内障（单）白内障（双）视网膜疾病青光眼外伤人数212936151 故安排住院的这些人数在规定的时间内必须要小于等于各类病情的限制情况，即约束条件可以写为： (6-6)（3） 进出院人数相衡的约束由于要使医院的利用率达到最大，故病床的利用情况是必须始终满足运行状态，也就是说刚出去病人所用的床位，立即就会安排有新的病人入住，所以我们将不同时间下出院的人数等同于当天可以住院的各类病人的人数之和，即约束条件可以写为： (6-7)（4） 外伤病人的优先安排 根据题意，外伤病人必须在就诊的第二天便安排住院，并且在第三天进行手术安排，即j为第5项外伤时1个病人在第2天必须

29、入住医院，也就是说9月11日门诊的外伤病人将在第2天9月12日入院，即： (6-8)（5） 病人出院的动态约束通过分析我们考虑到，由于病人在初始几天入院后可能于时间的中段点出院，也就是说如果白内障（单）病人在9月11日入院后，按照我们之前分析出的出院规律可以预测出该病人会在8天后出院，即9月19日出院，故其再加上如表7.1所示的原本79个数据预测出的出院人数，就等于改天可以入住医院的实际人数，具体分析如下所示： (6-9)图6.1 病床使用的动态图上式表示第8天的入院人数等于在白内障（单）第一天入院并于7天之后出院的人数，加第二天入院并于6天之后出院的人数，再加上第三天入院并于5天之后出院的人

30、数，最后再加上初始预测的人数。其余时间和上式一样进行相应的动态累加，便可以得到当天应该可以住院的实际人数了。在这里我们使三维0-1变量对应出院时间表，即一周内不同日期对应下的住院天数，具体如下表所示：表6.6：不同日期对应的住院时间表第i天白内障单白内障双视网膜青光眼外伤星期一5，125121411星期二6，134111310星期三7，148101010星期四1，8791311星期五2，9681111星期六3，10571311星期日4，1146138其中住院矩阵为表中所对应的数据，例如当i为1，8，15时，即时间为星期三，在此日期下白内障住院的病人会在8天后出院，而白内障（双）住院的病人会在1

31、0天后出院，其余情况相同，故我们可以把矩阵表示为当第类病人在第天住院后，将会于第天出院，即约束条件可以写为： (6-10)通过分析我们得知，外伤的出院时间是服从正态分布的，即那个在第三天住院的外伤病人会在随机正态分布数的情况下出院，即： (6-11)其中分别为。综上所述，我们就可以对病人出院的动态情况进行约束了，即使三维变量对应出院天数，当时，出院人数就必须在原始的预测数据上加上先前住院后又于当日出院的病人人数，具体模型如下所示： (6-12)（6） 病人等待时间的约束分析由于医院的病床数量有限，而门诊准备手术的病人又很多，这就出现了病人等待住院的情况，等待时间越长，病人越不满意，故我们要综合

32、考虑医院的安排还要顾及病人的心情，所以必须对等待时间进行一定的约束。在这里我们将病人的门诊日期进行量化。首先将79号病人第一个出院时间点减去102号病人第一个门诊时间点求取两者之间的差值，然后再加上病人的出院时间，最后减去病人的门诊时间，即约束条件可以写为： (6-13)6.2.2目标函数的分析根据题意，在这102个病人以及当天79个病人出院的情况下，即在15天时间内医院能够对病床利用情况更好的把握。由于病人长时间的等待会对医院的满意度产生一定程度的影响，等待时间太长，病人就可能离开去其他医院就诊，故我们旨在建立的目标是病床能够利用的越多越好，以及病人住院所等待的时间越少越好，故我们所关注的目

33、标函数即是：l 住院的病人l 等待的时间（1） 目标为住院病人数最大化通过之前的分析，我们可以建立目标入住病人数量最大化模型，也就是使所有的日期项和病情类别项及病人项进行累加并使其最大，即入住病人数最大化的目标函数为： (6-14)（2） 病人平均等待时间最小由于病人的等待时间事关医院的评价程度，故病人在门诊时到入院的平均等待时间必须越小越好，即所有病好的住院时间减去门诊时间之和除以102，使其最小化，故目标函数可以写为： (6-15)（3） 目标的综合分析 由于这两个目标，一个是最小的一个是最大的，要成立这个多目标函数使用lingo软件是无法实现的，而且要求得一个目标就必须牺牲另一个目标，故

34、多目标函数很难建立。通过分析我们考虑到由于平均等待时间使最小化，令其倒数化，就可以使其最大化了，故我们将处理后的两个目标相乘，就可以得出即两个综合的目标函数最优解了，即模型的目标函数写为： (6-16)6.3 动态规划模型1的建立基于以上的分析，以及约束条件和目标函数，我们可以建立动态规划模型，如下所示：模型的说明：第i天病人可以入住的实际床位数量。：预测79个病人在第i天出院的人数。：第j类病情的第k个病人的门诊时间。：第j类病情的第k个病人的住院时间：第j 类病情在14天内需要就诊的人数。：第类病人在第天入住相应的住院天数。：第j类病情的第k个病人的门诊计时天数。：第j类病情的第k个病人在

35、第i天的住院情况，住院为1，否则为0。本模型旨在对病人的不同出院情况进行动态求解，初始住院的病人将会在一定天数后出院，如此一来原本当天可以住院的床位就增加了。由于外伤的住院时间是服从正态分布的随机情况，所以我们对其进行10次随机数生成，并取其均值，通过matlab仿真得到外伤的住院天数为8天。在这里我们引入0-1变量，即在规划到个人的实际情况下，对出院和入院进行合理的安排分配，并结合住院天数最终求解出所要达到的目标。6.4模型的求解（程序见附录2）6.4.1 模型求解的两种方法方法一、基于动态规划的逆序解法step1：令为每天的初始状态的住院人数，令为决策变量决定每天的住院人数变化情况，使表示

36、从第i阶段初始状态到第n阶段的最优值。step2: 在第n阶段令住院人数的最优值即为。step3：在第n-1阶段类似的就有，在此循环下寻找一组最优的解。step4：由此在已知，则可知，从而可知。按以上的步骤反复进行运算即可得到每一阶段和权过程的最优决策。方法二、使用lingo软件求解病人出入院的动态规划模型由于不同类病人的住院时间我们是已知的（外伤除外），故我们可以在安排住院的情况下，推导出在星期一住院的白内障（单）病人会在五天后出院，而在星期二住院的视网膜病人会在十三天后出院，依次类推我们就可以计算求解出102个病人可能出院的时间，从而对模型进一步的简化，就化为了线性整数规划模型，如从理论上

37、考虑动态规划的求解会使程序的编写和运行变得相当困难。6.4.2 病床的分配方案根据我们建立的动态规划模型，我们使用lingo软件进行求解，得到的目标函数为8.896，在15天里最大可以入住的人数为102人，病人从门诊到住院的平均等待时间为11.02天，具体的病床分配方案如下表所示：表：病人安排住院情况表白内障单白内障双视网膜青光眼外伤9月11日59月12日1119月13日69月14日19月15日49月16日59月17日89月18日169月19日79月20日8889月21日9月22日59月23日19月24日3总和212936151 根据上表的数据我们就可以进一步分析计算得出其相应的出院时间（其中

38、外伤的出院时间是通过产生服从正态分布的随机数而得到的，由于外伤数据量不大，只有一名故我们对其进行10次随机，并将就得的均值代入模型中，此模型计算的外伤出院时间为8天），从而求解出病人在医院的平均住院时间为8.33天。6.4.3 模型方法的评价（1）逆序解法的评价Ø 在动态规划的基础下能够求解出每一个状态，即每一天安排人数情况，并可根据住院病人种类的不同，给出最佳的分配方案，从此角度考虑，模型实用性较强。Ø 模型的求解基于出院矩阵z，采用0-1变量使出院天数结合动态规划。但运用本模型求解计算过程复杂，计算量过大，故本模型存在一定的局限性。（2）lingo 求解方案评价

39、6; 在使用线性规划的方法可以求得全局最优的解，这是动态的逆序算法和顺序算法所无法达到的。Ø 从计算的角度考虑，模型求解速度快，并且可以直接导出所要求得的安排数据。但lingo 软件不能求解出多目标的方案，例如数据量超大时，此方法的实用性不如动态逆序算法好。6.5 病床分配方案评价对于模型计算的病房分配方案是否合理，应用问题一指标作如下分析评价：（1）从病人角度考虑白内障（单眼）、白内障（双眼）、视网膜、青光眼五类病人的平均住院时间分别为4、6、11、9天，量化为住院平均满意度为0.65；五类病人的平均等待时间分别为10、14、10、16天，量化为等待时间满意度为0.7；得到并热综合

40、满意度为0.675，比fcfs模型下病人满意度高。（2）从医院角度考虑用公式算得病床利用率为89.5%，病床周转次数8.5次，两项指标均比问题一fcfs规则模型高，因而本模型更合理。7 病人入院时间预测（问题三）通过对病人的病情进行分析之后，我们发现需要入住的非急诊病人在服从住院矩阵z下，住院天数其基本是固定的，而急诊的外伤病人的住院天数是未知的，根据在第二问我们的分析结果可以得知，医院安排的不稳定因素主要来源于外伤出院时间的不平衡，其病人是根据不同的外伤程度和自我的康复程度而最终决定其住院时间的，故通过检验其是服从正态分布的，所以医院要在别的病床已经安排好的情况下，对外伤的最好情况和最坏的情

41、况进行分析，并得出病床的置信区间安排表，具体情况如下图所示：病床安排的不稳定因素考虑102名病人中1名病人住院时间最长情况下的最坏情况考虑102名病人中1名病人住院时间最少情况下的最好情况考虑预测外伤病人住院时间最长情况下的最坏情况考虑预测外伤病人住院时间最少情况下的最好情况 图7.1 病床安排的不稳定情况7.1模型分析我们可以通过图7.1得知，想要得到最好和最坏的病床安排情况，必须同时考虑预测的外伤病人的出院时间，和需要入院的那名外伤病人的出院时间，将正态分布生成随机数得出的出院时间代入到第6节的病床安排模型中去，即可得到病人可能入住医院的时间区间了，也就是说外伤越早出院那么其他病人就能越早

42、入住，相反，外伤越外出院，其他病人就会越晚住院。表7.1 79名病号中的外伤类病人状况表预测病号门诊时间住院时间手术时间外伤12008/9/42008/9/52008/9/6外伤22008/9/52008/9/62008/9/7外伤32008/9/52008/9/62008/9/7外伤42008/9/52008/9/62008/9/7外伤52008/9/62008/9/72008/9/8外伤62008/9/82008/9/92008/9/10外伤72008/9/92008/9/102008/9/11外伤82008/9/92008/9/102008/9/11表7.2 102名需要入住医院的其中1

43、名外伤病人状况表入住病号门诊时间住院时间手术时间外伤12008/9/11未知未知7.2模型建立7.2.1 预测外伤出院的最好、最坏时间首先我们对预测的外伤病人出院时间进行分析，根据题目所给的信息可以得出外伤最多住院（最坏情况）的天数为11天，最少住院（最好情况）的天数为4天，即 （7-1）从上式所得出的出院时间我们即可求出两种情况下的外伤病人出院时间，但通过分析我们考虑到由于表中所给的79个病床的使用状况，如果外伤病人在4天出院，那么就会在9月9日出院，而如果其在9月9日出院就不可能出现在79个病床的表中了，就会有9月9日新入院的病人成为这79名病号中的一员，所以其最低只能在9月11日出院,即

44、：表7.3 两种情况下的预测外伤病人的出院时间预测的病号最坏情况下的出院时间最好情况下的出院时间外伤12008/9/162008/9/11外伤22008/9/172008/9/11外伤32008/9/172008/9/11外伤42008/9/172008/9/11外伤52008/9/182008/9/11外伤62008/9/202008/9/13外伤72008/9/212008/9/14外伤82008/9/212008/9/14因此我们可以得出两种情况下的全部病人的出院时间和相应的人数情况，具体时间如下表所示：表7.4 两种情况下的预测79名病人的出院时间和相应的人数日期最坏情况下的出院人数最

45、好情况下的出院人数9月11日499月12日119月13日19209月14日139月15日229月16日549月17日1189月18日439月19日779月20日17169月21日209月22日449月23日009月24日22总和79797.2.2 需要入院的外伤病人其住院最好、最坏时间其次我们对102名病号的住院时间进行分析，由于外伤病人属于急诊，故门诊后就必须入住病床，所以这名病号将会在“预测出最坏情况的出院时间”的第2天入院，而会在“预测出最好情况的出院时间”的第4天入院，也就是说由于两种情况的初始天数不同，所以入住的相对时间也不同（但都是9月12日入住）即：表7.5 两种情况下的外伤病人

46、的住院时间及相应天数日期最坏情况最好情况天数住院时间天数住院时间9月11日第1天第1天9月12日第2天第2天 即外伤的入住模型就可以写为： 最坏情况下的入住时间点： (7-2) 最好情况下的入住时间点： (7-3)现在我们再将入住医院的这名外伤病人的出院最好最坏情况进行计算，同样按照式（7-1）我们可以得到最坏的情况住院11天，最好的情况住院4天，也就是最坏情况将会在9月23号出院，最好情况将会在9月16日出院，即模型可以写为： 最坏情况下的动态模型： （7-4） 最好情况下的动态模型： （7-5） 我们根据以上最好、最坏的分析以及在第6节得出的动态规划模型，就可以求解得出需要入院病人其可能入

47、住的时间区间了。7.3模型求解（程序见附录2）经过lingo软件的求解，我们可以得出102号病人的入住区间了，具体情况如下表所示：表7.6：白内障单眼病人的入院区间白内障（单）门诊时间入院区间白内障（单）门诊时间入院区间白内障18月31日9月11日9月15日白内障129月8日9月17日9月19日白内障28月31日9月15日9月15日白内障139月8日9月17日9月19日白内障39月1日9月15日9月16日白内障149月8日9月17日9月19日白内障49月2日9月16日9月18日白内障159月9日9月17日9月22日白内障59月2日9月16日9月18日白内障169月9日9月17日9月22日白内障

48、69月2日9月16日9月18日白内障179月10日9月17日9月22日白内障79月3日9月16日9月19日白内障189月10日9月22日9月24日白内障89月3日9月17日9月19日白内障199月10日9月22日9月24日白内障99月4日9月17日9月19日白内障209月10日9月22日9月24日白内障109月5日9月17日9月19日白内障219月11日9月22日9月24日白内障119月8日9月17日9月19日表7.7：白内障双眼病人的入院区间白内障（双）门诊时间入院区间白内障（双）门诊时间入院区间白内障（双）18月30日9月11日9月12日白内障（双）169月5日9月19日9月20日白内障（

49、双）28月30日9月11日9月12日白内障（双）179月5日9月19日9月20日白内障（双）38月31日9月11日9月13日白内障（双）189月5日9月19日9月20日白内障（双）49月1日9月13日9月13日白内障（双）199月6日9月19日9月20日白内障（双）59月1日9月13日9月13日白内障（双）209月6日9月19日9月20日白内障（双）69月1日9月13日9月13日白内障（双）219月7日9月20日9月21日白内障（双）79月2日9月13日9月13日白内障（双）229月8日9月20日9月21日白内障（双）89月3日9月13日9月13日白内障（双）239月10日9月20日9月22日白内障（双）99月4日9月13日9月13日白内障（双）249月10日9月20日9月22日白内障（双）109月4日9月13日9月13日白内障（双）259月10日9月20日9月22日白内障（双）119月4日9月13日9月13日白内障（双）269月11日9月20日9月22日白内障（双）129月5日9月13日9月13日白内障（双）279月11日9月20日9月22日白内障（双）139月5日9月13日9月13日白内障（双）289月11日9月20日9月22日白内障（双）149月5日9月13日