利用向量巧解中学数学题

1、利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）利用向量巧解中学数学题目 录1. 前言22. 向量基本性质回顾33. 向量巧解空间几何中的问题5 3.1向量巧解角的问题5 3.1.1求异面直线a与b所成角5 3.1.2求线面所成角7 3.1.3求二面角的大小8 3.2向量巧解距离问题9 3.2.1求点到平面的距离9 3.2.2求两异面直线的距离10 3.3向量巧解平行与垂直的问题11 3.3.1平行11 3.3.2垂直124. 向量巧解平面解析几何中的问题12 4.1平面几何12 4.2解析几何135. 向量巧解复数的问题146. 向量巧解三角函数的问题157. 向量巧解其他代数问题16 7.1求最值

2、16 7.2求取值范围177.3解方程177.4代数求值177.5证明等式177.6解不等式187.7代数式197.8数列198. 结束语191.前 言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。2.向量基本性质回顾1.向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物

3、理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。2.向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以a为起点，b为终点的有向线段记作。（ab是印刷体，书写体是上面加个）有向线段的长度叫做向量的模，记作|。有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。长度等于0的向量叫做零向量，记作。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 3.相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量、平行，记作/，零向量与任意向量平行，即/。任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。4.

4、向量的运算4.1加法运算，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，指向终点）已知两个从同一点o出发的两个向量、，以、为邻边作平行四边形oacb，则以o为起点的对角线就是向量、的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量，有：。 |。向量的加法满足所有的加法运算定律。4.2减法运算与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，()，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）()()0（2）()4.3数乘运算实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，|，当> 0时，的方向和的方向相同，当< 0时，的方向和的方向相反，当= 0时，= 0。设、是实数

5、，那么：（1）() = () （2）( + ) = + （3）( ±) = ± （4）() =() = ()。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 5.向量的数量积已知两个非零向量、，那么|cos 叫做与的数量积或内积，记作，是与的夹角，|cos （|cos ）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。的几何意义：数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。向量的数量积的性质(1) =|0(2) = (3)= (4)= +(5) =6.平面向量的基本定理如果和是同一平面内的两个不共线向

6、量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使= 。7.空间向量的基本性质7.1共线向量定理对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使=7.2共面向量定理如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x，y，使=x+y7.3向量的数量积= cos<,>7.4数量积的性质=|=3.向量巧解空间几何中的问题3.1向量巧解角的问题3.1.1求异面直线a与b所成角求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。应掌握如下公式：向量和所成的角记为<,>，

7、若=（x,y,z）, =(x,y,z),则cos<，>=a，所以直线ab和cd所成的角为arccos.特别的，abcd·=0=0。例1：如图1,三棱柱 aob-a0b中，平面 obbo平面 aob,0ob60°，aob=90°且 ob=oo=2，oa=,求：(1)异面直线 ab与ao所成角的大小；(2)略。 分析 1：由条件可得 oa0b，oa00，再结合题干可知共点于 0的三条线段 oa、0b、00的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以,为基底来解决异面直线ab与a0所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量、都表示成基向量 的形式。图3.1

8、.1解:平面obbo平面a0b，0a平面a0b，平面obbo平面 a0bob，且 oa0b， oa平面obbooa00，即aob90°，aoo90°，因此,选择一组基向量,，则=-，=-，|=， 同理|=,又设异面直线ab与ao所成角为，则，所以=arccos.3.1.2求线面所成角用向量求线面所成角的公式如下：如图2，若为平面的一条法向量，直线ab与平面所成角为，则sin=.图3.1.2.1例2：如图3，正方体abcd-abcd中，e是cc的中点，（1）求be与平面bbd所成角的余弦值；（2）求二面角b-be-d的余弦值。解：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系d-xy

9、z，则设正方体的棱长为2，则（1）因为b（2,2,0），b(2,2,2),e（0,2,1）,所以=（-2，-2，0），=(0,0,2),=（-2，0，1），设平面bbd的一个法向量是=（x,y,z）,则由,得，所以，令y=1，则有=（-1，1，0），所以cos<,>=，所以sin<,>=，即be与平面bbd所成角的余弦值为.（2）略.3.1.3求二面角的大小用向量法求二面角的大小，一般先找出两平面的法向量，则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。公式如下：如图，若平面、的法向量分别为、,则cos<，>=a，结合图形判断，若二面角为锐角，则=arcc

10、os；若为钝角，则=- arccos.例3：上题第（2）问解：令、分别为平面bde与平面bbe的法向量，则易知=（1，1，-2），=（-1，0，0），所以cos<，>=，所以二面角b-be-d的余弦值.3.2向量巧解距离问题3.2.1求点到平面的距离所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为0，可确定法向量设 p为平面a外一点，则点p到面a的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点p到平面a的距离而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之其公式为,其中为单位法向量，po面于点o，a，为面的斜线段向量注意：只有单位法向量才不会改变摄影的长度。例4 ：

11、如图，在正方体中，棱长为1，e、f分别为ab，cd的中点，求点b到平面aecf的距离。简解：a（1，0，0），b（1，1，0），e（1，1），f（0，0），=（0，1），=（-1，1）。设平面aecf的法向量为=（x,y,z）,则，由得 令y=2，得=（1，2，1），则=（，-）,因为=（0，1），故所求距离d=3.2.2求两异面直线的距离我们先来看看空间向量在轴上的投影。设向量，那么它在轴上的投影为prju=，式中prju表示向量在轴上的投影从图7可以看出，为了作出在轴上的投影，可以过点a、b分别作与轴垂直的两个平面a、b，那么点a、b在轴上的射影分别为a、b，且点a、b必定在平面a、b上，

12、显然，就是在轴上的投影从另一方面看，线段ab就是异面直线aa和bb(如果它们不平行的话)的公垂线段，也就是两异面直线间的距离所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上投影的绝对值就是两异面直线间的距离因为=,所以prju=，于是有d= prju式中d表示两异面直线间的距离。由于/，它们之间的距离处处相等，所以轴的选取不一定要是公垂线，而只要同时与两异面直线垂直，也就是说只要与公垂线方向向量共线即可。 例5：若上题中的已知条件不变，求异面直线ec与 cb的距离简解：=(-1,0),=(1,0,1),=(0, ,0),设与的法向量为=(x,y,z),由·=0且·=0得=

13、（1，2，-1），故所求距离为=.3.3向量巧解平行与垂直的问题3.3.1平行无论是证明线线平行，还是线面平行，都对空间图形抽象思维有较高要求，用向量法的话，则显得简单、易于上手。若要证明ab和cd两条直线平行，=（x,y,z）, =(x,y,z),则只要证实数=；若要证mn与面abc平行，则只要证明能用、中任两个向量进行线性表示就可以了。例6：如图8，p是正方形abcd所在平面外一点，pa=pb=pc=pd=ab=m，若m,n分别在pa、bd上，且=(1) 求证：mn/平面pbc，(2) 求证：mnad.分析：（1）根据共面向量定理，只需证明可以表示为、中任两个向量的线性组合，为此，必须选基

14、底，再利用基底和三角形法则，找到上述向量之间的线性关系。取基底，设=，=，=，则=,=-,=-,=+=+-2,=+=+ =(+),又=,=-=(+)=+,与、共面,又平面pbc,mn/平面pbc.（2）略.3.3.2垂直要证ab和cd互相垂直，只要证·=0即可；而涉及到线面垂直的论证问题时，也可构造向量，并运用两向量垂直的充要条件去判断线线垂直，从而使线面垂直问题或证。例7：上题第（2）问解：只需证.=-,=(+)(-)=(-)=(-)=0,，mnad.4. 向量巧解平面解析几何中的问题4.1平面几何向量法与综合法、解析法，被认为是研究初等几何的三种主要方法，向量法在处理有关三角形“

15、三线”(中线、角平分线、高)与“四心”(重心、垂心、内心、外心)等问题时有独到之处，另外 ，用向量知识处理平面几何问题时，可以避免去考虑几何中较复杂的关系。 例8： d是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点 p满足 op=oa+( + ),0,+,则p的轨迹一定通过abc的( ).(a)外心 (b)内心 (c)重心 (d)垂心 解：设 =ab, =ac ，则ab和ac分别为ab和ac上的单位向量，所以+ 的方向为 bac的角平分线ad的方向. 又 0，+,所以( + )的方向与( + )的方向相同，而op=oa+( + ),所以，点 p在ad上移动，p的轨迹通过abc的内心，故

16、答案选(b).点评：本题将向量加法的几何意义及轨迹问题有机地结合在一起，通过向量加法的几何意义来求解平面几何的问题。由于向量具有几何形式，利用向量的运算去解决平面几何问题，可以少引或不引辅助线(如证三角形三条高线交于一点)，使解题的思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。4.2解析几何由于向量可以通过坐标来表示，因此平面向量与解析几何之间有着天然的联系。如：平面直角坐标系内的两点间距离公式，对应于平面内相应向量的长度公式；分一条线段成定 比的分点的坐标 ，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；“两条直线平行的充要条件是其斜率相等”与“两个向量平行的充要条件是其对应坐标成比例”的说法没有本质的不同。因此

17、 ，在有关解析几何的题目中，如果涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题时，常可考虑用平面向量来处理，将几何问题坐标化、符号化、数量化，利用向量运算的几何意义，省去解析几何中一些繁杂的运算，可以收到事半功倍的效果。 例9：椭圆的焦点为f、f，点 p为椭圆上的动点 ，当fpf为钝角时，点p横坐标的取值范围是（ ）.解 ：f (-，0)，f (，0)，设 p(x，y)，则 =(- x，- y)， =(- x，- y)， 因为fpf为钝角，所以，即(- x)(- x)+ y<0，即9 x +9 y<45， 又因为即9 y=36-4x，于是可得5x<9，所以.点评：在解析几何中，一方

18、面存在着度量、角度、平行、垂直等问题，这为向量的应用提供了广阔的空间；另一方面解析几何问题是用代数方法来处理的，这又符合了向量的双重身份，给向量的应用创造了良好的环境。5. 向量巧解复数的问题一方面，由于复数可以通过向量表示，另一方面，由于向量的坐标表示法与复数的代数形式在表达形式上非常相似，因此，向量与复数也有紧密的联系，在解题中，运用向量来解决复数问题也是常见的。 例10：设x,yr，为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量=x+(y+2),=x+(y-2),且=8,(i)求点 m(x，y)的轨迹 c的方程； (ii)过点(o，3)作直线l与曲线c交于a、b两点，设=+是否存在这

19、样的直线l，使得四边形oapb是矩形? 若存在，求出直线 l的方程；若不存在，试说明理由。 略解：(i)由题意 ，得=8，故点 m(x,y)到两个定点f(0,-2)、f（0，2）的矩离之和为 8，所以轨迹c为以f，f为焦点的椭圆，其方程为。(ii)因为l过 y轴上的点(o，3)，若直线l是y轴，则 a、b两点是椭圆的顶点。 又因为=+=，所以 p与 0重合，与四边形 oapb是矩形矛盾，因而，直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx +3，a(x,y)，b(,y).由 消y得：（4+3k）x+18kx-21=0 ,此时，=(18k)-4(4+3k)(-21)>0恒成立，且x+x=,xx=-

20、,又因为=+，所以四边形oapb是平行四边形.若存在直线l，使得四边形 oapb是矩形，则 oaob，即=,因为=(x,y)，=(,y)，所以= xx+yy=0， 即(1+k)xx+3k(x+x)+9=0，即+9=0， 即k =，得 k=.所以存在直线l：y=+3，使得四边形oapb是矩形.点评：本题的第 1小题，其实质是将复数问题“已知复数z=-2i，z=2i，点 z所对应的复数z满足+=8， 求点z的轨迹方程”以向量为背景给出，体现了复数与向量之间的联系。6. 向量巧解三角函数的问题利用单位圆研究三角函数的几何意义时，表示三角函数的三角函数线其实就是平面向量。由于用向量解决问题时常常是从建

21、立向量三角形入手的，这就使向量在三角里有关解三角函数的问题中发挥了重要作用。首先，两个向量的模 ，引出了两点间的距离公式，其次深入到三角函数。例11：已知向量=（cos,sin）,=(- sin, cos),(,2),且，求cos(+)的值.解：因+=（cos-sin+，cos+sin），故=2，由已知=，得=，又=2，故=，。而，cos,故cos=-.本题先运用向量坐标形式的和运算及模的定义，转化为三角赋值问题，脱去了向量的外壳后，实质是已知=，求cos的值。由于向量具有代数和几何形式，在解决有关三角函数的问题时，从向量三角形入手，常使问题能简便明了获解。7. 向量巧解其他代数问题由于平面向

22、量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用。利用平面向量这个工具解题。可以简捷、规范地处理代数中的许多问题。7.1求最值例12：求函数y=(0<x<)的最小值.解：由题设知y>0,且ysinx+cosx=2,设=（cosx，sinx），=（1，y），由得，所以y，当且仅当与共线，即ycosx-sinx=0时等号成立，此时cosx=sinx，即cosx=，故当x=时，y取得最小值.7.2求取值范围根据向量的性质，当求取值范围时可适

23、当建模，一般有、和.例13：若关于的方程（m+1）sin+（2m-1）cos=3m有实数解，求实数解m的取值范围.解：设=（m+1,2m-1）,=(sin,cos),因为，所以3m，所以3m,即2m+m-10,解得-1.7.3解方程 7.3.1构造向量模型由向量的基础知识可知，的充要条件是=。在解无理方程(组)时，根据方程两边的特点，如果能构造向量,使，那么可得=，从而使问题获解。例14：解方程组x-y-z=11.解：令=（x,-y,-z）, =(,),则=x+y+z， =(4- y)+(9- z)+(9- x)，=x-y-z=11，所以，所以=,即 解得：. 7.3.2构造向量模型 由向量的

24、基础知识可知，的充要条件是与共线在解无理方程(组)时，如果能构造向量,使成立，那么可得与共线，从而使问题获解。例15：解方程.解：令=（，），=（1，1，1），则=6x-2y+17, =3,=，所以，所以与共线，即=（为常量），解得.7.4代数求值例16：已知0<<,0<<,且cos-coscos+sinsin+cos=，求与的值.解：由已知可得：cos（1- cos）+ sinsin=- cos，所以可构造向量=（cos, sin)，=（1- cos，sin），由向量不等式，得（cos-）0 cos=，又0<<,所以=，将=代入已知等式可求得=.评注：本题联系数量积公式，其中=（x,y）,=(x,y),灵活构造向量，利用向量不等式进行分析求解。7.5证明等式 例17：设（a+b）(m+n)=(am+bn),其中0,求证：.证明：设=（a,b）, =(m,n),设与的夹角为，则cos=()=()=，所以cos=1,即cos=，所以=0或=，从而，/,得.7.6解不等式 例18：已知实数x,y,z,满足x+y+z=1,求证：x+y+z.证明：因为1=x+y+z=，所以可构造向量=（x,y,z）, =(1,1,1),于是由向量不等式：，得1.7