材料力学第5章梁弯曲时的位移习题解

1、第五章 梁弯曲时的位移 习题解习题5-1 试用积分法验算附录iv中第1至第8项各梁的挠曲线方程及最大挠度、梁端转角的表达式。解：序号1 （1）写弯矩方程 （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当时，代入以上方程得：，。故：转角方程为： ， 挠曲线方程：， （3）求梁端的转角和挠度 解：序号2 （1）写弯矩方程 （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当时，代入以上方程得：，。故：转角方程为：， 挠曲线方程：， （3）求梁端的转角和挠度 解：序号3 （1）写弯矩方程 当时， 当时， （2）写挠曲线近似微分方程，并积分当时， 把边界条件：当时，代入以上方程得：，。故：转角方程为：

2、， 挠曲线方程：， （3）求梁端的转角和挠度 设集中力的作用点为c，则： 由于cb段没有外力作用，故该段没有变形，所以： 解：序号4 （1）写弯矩方程 （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 当时，即：， 当时，代入以上方程得：， 故：转角方程为： 挠曲线方程：（3）求梁端的转角和挠度 解：序号5（1）写弯矩方程 ， （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 当时，即：， 当时，代入以上方程得：， 故：转角方程为： 挠曲线方程： （3）求梁端的转角和挠度 ， ， 解：序号6 （1）写弯矩方程 （）， （） （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当时，代入以上方程得：。 当时，代入以上方程得：

3、，故：转角方程为： 挠曲线方程： （3）求梁端的转角和挠度 ， ， ， 解：序号7（1）写弯矩方程 （）， （） （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当时，代入以上方程得：。 当时，代入以上方程得： ，故：转角方程为： 挠曲线方程： （3）求梁端的转角和挠度 ， ， ， 解：序号8（1）写弯矩方程 （） （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当时，代入以上方程得：。 当时，代入以上方程得： ，故：转角方程为： 挠曲线方程： （3）求梁端的转角和挠度 ， ， ， 习题5-2 简支梁承受荷载如图所示，试用积分法求，并求所在截面的位置及该截面挠度的算式。解：（1）写弯矩方程 ，

4、（） ， （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当时，代入以上方程得：。 当时，代入以上方程得： ，故：转角方程为： 挠曲线方程： （3）求梁端的转角 ， ， （4）求所在截面的位置及该截面挠度的算式，得：当时，取最大值。习题5-3 外伸梁承受匀布荷载如图所示，试用积分法求，及，。 解：（1）求支座反力 （） （）（2）写弯矩方程 ab段： bc段： （3）写挠曲线近似微分方程，并积分 ab段： 把边界条件：当时，代入以上方程得：。 当时，代入以上方程得： ，故：ab段的转角方程为： ab段的挠曲线方程： （4）求ab梁端的转角及 ， ， ， （5）求 bc段： 当时，代入以上方程得

5、： ，故：当时，代入以上方程得：，故： bc段的转角方程为： bc段的挠曲线方程：习题5-4 试用积分法求图示外伸梁的，及，。解：（1）求支座反力 （） （）（2）写弯矩方程 ab段： bc段： （3）写挠曲线近似微分方程，并积分 bc段： 把边界条件：当时，代入上式得： .(a)当时，代入上式得：.(b) 联立(a)、(b)，解得：，。故：bc段的转角方程为： bc段的挠曲线方程： （4）求和 （5）求 ab段的转角方程与挠曲线方程 ab段： ab段的转角方程：ab段的挠曲线方程： （6）求和 习题5-5 外伸梁如图所示，试用积分法求，。解：（1）求支座反力 （） （）（2）写弯矩方程 ab

6、段：， bd段：， de段：， （3）写挠曲线近似微分方程，并积分 bd段： 代入边界条件得： .(a)(b) (b)-(a) 得：， ， db段的挠曲线方程： bd段的转角方程：ab段： de段： 习题5-6 试用积分法求图示悬臂梁b端的挠度。解： 从左至右四个控控制截面的编号为a、c、d、b。 （1） 在c点的f单独作用时， ac段的弯矩方程为： 当时， 故ac段的转角方程为： 当时， 故ac段的挠曲线方程为： 此时b点的挠度： （2） 在d点的f单独作用时， ad段的弯矩方程为： 当时， 故ad段的转角方程为： 当时， 故ac段的挠曲线方程为： 此时b点的挠度： 故，b点的挠度为： 习题

7、5-7 试用积分法求图示外伸梁的和。解：（1）求支座反力 （） （2）写弯矩方程 ad段： db段： bc段； （3）代入挠曲线近似微分方程，并积分 ad段： 当时，得： (a) .(b) db段： .(c) .(d) .(e) (a),(c)得：.(f) (b),(d)得：(g) .(h)bc段； (i) 由(h),(i)得： (j) ：当时，得： .(k)(e)、(f)、(g)、(j)、(k)联立， 解得：，故ad段的转角方程为： bc段的挠度方程为： 习题5-8 简支梁受荷载如图所示，试用积分法求和。解：（1）求支座反力（） （2）写弯矩方程 设跨中为c，则 ac段： （3）写挠曲线近似

8、微分方程，并积分 ac段： 故ab段的转角方程： ab段的挠度方程： 根据对称性可知：习题5-9 在简支梁的左、右支座上，分别有力偶和作用，如图所示。为使梁挠曲线的拐点位于距左端处，试求与间的关系。解：（1）求支反力 （）（2）写弯矩方程 （3）写挠曲线的近似微分方程 依题意，在处，挠曲线出现拐点，而拐点处的二阶导数为零，故习题5-10 变截面悬臂梁及荷载如图所示，试用积分法求梁a端的挠度。解：（1）写弯矩方程 （2）写挠曲线近似微分方程，并积分ac段： .(a).(b)cb段： .©(d) 由 (a),(c) 得：.(e) 由 (b),(d)得：.(f) (g)(h)(e),(f)

9、,(g),(h)联立，解得：，故ac段的挠度方程为： 习题5-11 变截面简支梁及其荷载如图所示，试用积分法求跨中挠度。解：（1）求支座反力 （） （2）写弯矩方程 ac段： cb段： （3）写挠曲线近似微分方程，并积分 设从左至右，控制截面的编号为a、d、c、e、b，则： ad段： 把当时，的边界条件代入上式得： .(a) .(b)dc段： 式中， 故： .(c) .(d)由(a)、(c)得： .(e)由(b)、(d)得： (f)对称的ab梁在对称荷载作用下，其变形是左右对称的，从而得出结论： 当时， .(g)(e)、(f)、(g)联立，解得：，故dc段的挠度方程为： 习题5-12 试用积分

10、法求图示外伸梁和的值。已知梁由18号工字钢制成，。 解：（1）求支座反力 () ()(2)写弯矩方程 ab段： bc段： cd段：（3）代入挠曲线近似微分方程，并积分 ab段： 把当时，的边界条件代入上式得： .(a) (b)bc段： © 把当时，的边界条件代入上式得：(d) (e)由(a)、(e)得： .(f)由(b)、(c)得：.(g)联立(d)、(f) 、(g)，解得：， 故bc段的挠度方程为： 查型钢表，18号工字钢的bc段的转角方程为： (h) cd段： .(i)由(i)、(h)得：, 故cd的挠度方程为：（）习题5-13 试按叠加原理并利用附录iv求解习题5-4。解： &

11、#160;     （向下）（向上）    （逆）    （逆）习题5-14 试按叠加原理并利用附录iv求解习题5-5。 （a）解：分析梁的结构形式，引起bd段变形的外力如图（a）所示，即弯矩 与弯矩 。    由附录（）知，跨长为的简支梁，当梁的一端受到集中力偶m作用时，跨中点挠度为 。用到此处，再利用迭加原理，可得到截面c的挠度     （向上）习题5-15 试按叠加原理并利用附录iv求解习题5-10。解：  习题5-16 试按叠加

12、原理并利用附录iv求解习题5-7中的解：原梁可分解成图5-16a和图5-16d迭加，而图5-16a又可分解成图5-16b和5-16c。由附录得习题5-17 试按叠加原理并利用附录iv求解习题5-12。已知：如图所示，并且梁为号工字钢，求：用叠加原理求；解：（）求把原结构分解为段单独有线分布荷载作用；段单独有线分布荷载作用；点有集中力单独作用三种情形。查附录iv得： （） （）（）故，（2）求把原结构分解为段单独有线分布荷载作用；段单独有线分布荷载作用；点有集中力单独作用三种情形。查附录iv得：（） （） 故， 习题5-18 试按叠加原理求图示梁中间铰c处的挠度，并描出挠曲线的大致形状。已知ei

13、为常量。 解：（a）由图5-18a-1 (查附录iv，悬臂梁在线均布荷载作用下的情况)解：（b）由图5-18b-1 = 原结构分解结构（一）分解结构（二）分解结构（三） 习题5-19 试按迭加原理求图示平面折杆自由端截面c的铅垂位移和水平位移。已知杆各段的横截面面积均为a，弯曲刚度均为ei。解： 习题5-20 图示结构中，在截面a、d处承受一对等值、反向的力f，已知各段的ei均相等。试按叠加原理求a、d两截面间的相对位移。 解：a、d两点的相对位移受：（1）a、d处集中力的影响；（2）受b结点处弯矩的影响；（3）受c结点处弯矩的影响。（ ） （ ） （ ） （ ）习题5-21 试用初参数法验算

14、附录iv中第2项中梁的最大挠度及梁端转角的表达式。解：等直梁挠曲线的初参数方程为：式中，初参数为：；荷载，故挠曲线方程为： （）等直梁转角的初参数方程为： （顺时针转）习题5-22 试用初参数法验算附录iv中第5项中梁的最大挠度及梁端转角的表达式。 解：以b点为坐标原点，把结构逆时针转动，则 等直梁挠曲线的初参数方程为： 式中，初参数；。（）故：当时，即：(1)等直梁的转角方程为：当时，即：（顺时针方向转）(2)即：(2)代入（1）得： （方向与的方向一致）即：习题5-23 试用初参数法验算附录iv中第9项中梁跨中截面的挠度及支座处截面的转角表达式。解：（1）求支座反力 （） 等直梁挠曲线的初参数方程为：（5-4）式中，初参数为：；荷载转角则需要通过简支梁在右支座b（即）处的挠度为零的边界条件，由（5-4）求得。故挠曲线方程为：简支梁跨中截面的挠度为： （）简支梁的转角角方程： （逆时针方向转） 习题5-24 在简支梁的两支座上分别承受外力偶和，如题5-9图所示。已知该梁的弯曲刚度为，试用初参数法求。解：等直梁挠曲线的初参数方程为：式中，初参数为：；荷载，故挠曲线方程为：当时，即：习题5-25 松木桁条的横截面为圆形，跨长为，两端可视为简支，全跨上作用有集度的均布荷载。已知松木的许用应力，弹性模量。桁条的许可相对