三角形全等三角形轴对称1235学生

1、 好好学习 天天向尚 三角形总复习(一)三角形中三边不等关系的应用。例1已知三角形的三边分别是3，8，若的值为偶数，则的值有_个。a3 b4 c5 d6例2三角形的三边长分别为3，8，则其周长的范围是_。例3如图(1)，p是abc内一点，延长bp，交ac于d，则在abd中， (1) 在pcd中， (2)(1)+(2)：即 (3)由结论(3)，请你在图(2)中猜想出折线，与的大小，并说明理由。 (二)三角形内角和是180°的应用： 例1如图：abc中，a=60°，abc和acb的平分线交于点o，求boc的度数。 例3如图，四边形abcd中，两组对边的延长线分别相交于点e、f，

2、aed与afb的平分线相交于点g，求证：例4如图：abc中，设，ad平分，m为cd上一点，于e。(1)用的代数式表示的大小(2)若点m在射线bc上运动(不与点d重合)，其它条件不变，的大小是否随点m位置的变化而变化？请画出图形，结出结论并说明理由。(三)三角形的面积变换： 例1如图abc中，d、e、f分别在三边上，e是ac的中点，ad、be、cf交于一点g，bd=2dc，sgec= 3，sgdc= 4，则abc的面积是（ ） a、25b、30c、35d、40例2如图：abc中，d、e分别是bc，ac上的点，且cd=2bd，ae=ce，ad交be于点o，若abc的面积是1，求四边形odce的面积

3、。例3如图：abc中， (1)如图(1)，是abc的中线，那么图中有_个三角形，其中_ (2)如图(2)，是的中线，那么图中有_个三角形，其中_ (3)如图(3)，是的中线，那么图中有_个三角形，其中_ (4)若按以上各题的规律继续画图，是的中线，此时图中有_个三角形，_。(四)三角形三线问题例1等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12，则等腰三角形的顶角为（ ）a、300 b、600 c、1500 d、300或1500a bcd120°例2如图abc中，ab=ac，cd是角平分线，若 bdc=120°,则a= 度。例3如图，abc中，12，34，若d360，则c的度数为（ ）

4、 a、820 b、720 c、620 d、520(五)用推理解决三角形问题例1：在abc中,ab=ac,ab的中垂线与ac所在直线相交所得的锐角为50°，求：b的度数例2已知：在四边形abcd中，bc>ab,ad=cd,bd平分abc 求证：a+c=180° 例3求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高。(六)用全等变换决三角形问题例1已知，如图2：在abc中，b=2c，adbc， 求证：ab=cdbd 例2如图5，acbc，acb90°，a的平分线ad交bc于点d，过点b作bead于点e。求证：bead。例3如图7，ad是abc的中线，求

5、证：ab+ac2ad 全等三角形hl判断定理证明已知：如图，在和中，求证： 经验小结1证明线段相等的方法： （1）中点定义；（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。2证明角相等的方法： （1） 对顶角相等；（2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等；（3） 两直线平行，同位角、内错角相等；（4） 角的平分线定义；（5） 等式的性质；（6） 垂直的定义；（7） 全等三角形的对应角相等；（8） 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。3证垂直的常用方法（1） 证明两直线的夹角等于90°；（2） 证明邻补角相等；（3） 若

6、三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；（4） 垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。（5） 证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6） 邻补角的平分线互相垂直。文字叙述题例1：求证：等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。全等三角形的应用(生活实际问题)（1）利用全等三角形配玻璃例2 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）（a）带去 （b）带去 （c）带去 （d）带和去三角形中常见辅助线的作法1、延长中线构造全等三角形例3. 如图1，已知abc中，ad是abc的中线，ab=8，ac=6，求ad的取值范围提示：延长ad

7、至a，使adad，连结ba根据“sas”易证abdacd，得acab这样将ac转移到aba中，根据三角形三边关系定理可解 2、引平行线构造全等三角形例4. 如图2，已知abc中，abac，d在ab上，e是ac延长线上一点，且bdce，de与bc交于点f 求证：df=ef提示：此题辅助线作法较多，如：作dgae交bc于g；作ehba交bc的延长线于h；再通过证三角形全等得dfef 3、作连线构造等腰三角形例5. 如图3，已知rtacb中，c=90°，ac=bc，ad=ac，deab，垂足为d，交bc于e求证：bd=de=ce 提示：连结dc，证ecd是等腰三角形 4、利用翻折，构造全等

8、三角形例6. 如图4，已知abc中，b2c，ad平分bac交bc于d求证：acabbd 提示：将adb沿ad翻折，使b点落在ac上点b处，再证bd=bdbc，易得adbadb，bdc是等腰三角形，于是结论可证 5、作三角形的中位线例7. 如图5，已知四边形abcd中，abcd，e、f分别是bc、ad的中点，ba、cd的延长线交ef的延长线于点m、n求证：bmecne提示：连结ac并取中点o，再连结oe、of则oeab，ofcd，故1bme，2cne、且oe=of，故12，可得证 经典例题例1.如图，ad=ae，d、e在bc上，bd=ce， 1=2，求证：abdace 例2.已知如图，ab=dc

9、，ad=bc，o是db的中点，过o点的直线分别与da和bc的延长线交于e、f，求证：e=f。例3.如图所示，在中，ab=ac,ad和be是高，它们相交于点h，且ae=be.求证：ah=2bd.例4.如图23，在中，试证明ab=ac+cd. 例5.如图31所示，已知在中，ad平分，ab+bd=ac.求的值例6.如图，c是线段bd上一点，以bc，cd为边在bd同侧做等边abc和等边cde，be与ad相交于m。（1）求证：be=ad； （2）求amb的大小。 变式：如图，分别以abc的两边ab、ac为边向外作等边abe、等边acd，bd与ce相交于点m，（1）求证：bd=ce；（2）求emb的大小。

10、 例7.如图，pb平分abc，pdbc于d，pab+pcb=180°。求证：ab+bc=2bd。 例8.如图，已知abc为等边三角形，d为bc上一点，ade=b，de与abc的外角acf的平分线cp交于点e，求证：ad=de。例9.如图所示，已知ab=ac，cdab,beac,垂足分别为d，e，cd，be相交于f。求证：af平分bac    例10.如图2-7-2，在正方形abcd中，m是ab的中点，mnmd，bn平分cbe。求证：md=mn。 思路：取ad的中点p，连结pm，证明dmpmnb。例11.如图2-7-3，abc中，abc=2c，bac的平分

11、线交bc于d。求证：ab+bd=ac 思路1：延长ab到e，使bd，证明aedacd。轴对称复习知识网络图示基本知识提炼整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三

12、角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点p（x，y）关于x轴对称的点的坐标为p（x，-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为p（-x，y）.例1如图，abc和abc关于直线对称，下列结论中：abcabc；bacbac；l垂直平分cc；直线bc和bc的交点不一定在l上，正确的有(       

13、)a4个         b3个          c2个         d1个例2如图，aob内一点p，p1、p2分别是p关于oa、ob的对称点，p1p2交oa于m，交ob于n，若p1p2 = 5cm，则pmn的周长是(        )a 3cm   &

14、#160;      b 4cm      c 5cm    d 6cm例3如图所示，abc内有一点p，在ba、bc边上各取一点p1、p2，使pp1p2的周长最小cabh例4如图，已知abc中，ahbc于h，c=35°，且ab+bh=hc，求b度数例5等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是(        )a过顶点的直线 b顶角的平分线 c底边的垂直平分线  

15、;      d腰上的高 4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共

16、有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.专题总结及应用一、用轴对称的观点证明有关几何命题例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在abc中，c=90°，a=30°，如图14102所示.求证：bc=ab. 例2 如图14104所示

17、，已知acb=90°，cd是高，a=30°.求证bd=ab. 二、有关等腰三角形的内角度数的计算例3 如图14105所示，ab=ac，bc=bd=ed=ea，求a的度数. 例4 如图14106所示，在abc中，d在bc上，若ad=bd，ab=ac=cd，求bac的度数. 三、作辅助线解决问题例5 如图14107所示，b=90°，ad=ab=bc，deac.求证be=dc. 例6 如图14108所示，在abc中，ab=ac，在ab上取一点e，在ac延长线上取一点f，使be=cf，ef交bc于g.求证eg=fg. 例7 如图14-109所示，在abc中，b=60

18、76;，ab=4，bc=2.求证abc是直角三角形.（分析）欲证abc是直角三角形，只需证明bca=90°即可. 本章综合评价一、训练平台1.等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为( )a.22b.29c.22或29d.174.如图14-111所示，在abc中，ab=ac，bd是角平分线，若bdc=69°，则a等于( )a.32°b.36°c.48°d.52°5.成轴对称的两个图形的对应角 ，对应线段 .6.等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴.7.等腰三角形顶角的 与底边上的 、 重合，称三线合一.8.（1）等腰三角形

19、的一个内角等于130°，则其余两个角分别为 ；（2）等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为 .11.如图14114所示，在abc中，点e在ac上，点n在bc上，在ab上找一点f，使enf的周长最小，试说明理由.二、探究平台1.如图14115所示，设m表示直角三角形，n表示等腰三角形，p表示等边三角形，q表示等腰直角三角形，能表示它们之间关系的是( )3.已知等腰三角形的两边a，b，满足+(2a+3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长为( )a.7或8b.6或10c.6或7d.7或105.等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 .6.等腰三角形一腰