二项式系数的性质 (2)

1、公式特征：公式特征：(1)(1)项数：项数：共有共有n+1n+1项项。(4)(4)二项式系数：二项式系数：这里这里 称为二项式系数称为二项式系数 )n,2 , 1 ,0r(Crn= =(3)(3)二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 rrnrnrbaCT=1二项式定理二项式定理nnn22n2n1n1nn0nnbCbaCbaCaCba）（ (2)(2)指数指数: : a a的指数从的指数从n n逐项递减到逐项递减到0, 0, 是降幂排列；是降幂排列；b b的指数从的指数从0 0逐项递增到逐项递增到n,n,是升幂排列，是升幂排列， 指数和为指数和为n n。rrnba 依次为依次为 , , ,C

2、rn,CnnC2nC1nnC0,表示展开式的第表示展开式的第r1项项二项展开式：定理中右边的多项式二项展开式：定理中右边的多项式nnnrrnrn22n2n1n1nn0nbCbabaCbaCaCC 公式变形：公式变形：n0n1n12n22nnnrrnrrnnnnnabC aC abC ab1 C ab1C b（ ） （ ）（ ）二项展开式的二项展开式的通项通项rrnrn1rbaCTr=0,1,2,n.的展开式的倒数第四项的展开式的倒数第四项、求、求12)ax(4 解：原二项式的展开式共有解：原二项式的展开式共有13项，所以倒项，所以倒数第数第4项是它的第项是它的第10项。项。912 999 11

3、23391239220TC xaC x ax a=课堂练习课堂练习4(2006.). 120.120. 15.15xABCD10全国卷.文1在（x-）的展开式中， 的系数为2x常数项的系数为多少 2222bababa = = baba = = 3223333babbaaba = = 4322344464babbabaaba = = 543223455510105babbababaaba = = 1246510111111111334510一一三三四四六六五五十十一一一一二二一一一一三三一一一一四四一一一一五五十十一一一一杨辉三角杨辉三角n=0n=1n=2n=3n=4n=5一一三三四四六六五五十

4、十一一一一二二一一一一三三一一一一四四一一一一五五十十一一一一0nC1nC2nCrnCnnCrnnrnCC = =rn1 - rnr1nCCC = = 2468101214161820369f(r)Orf(r)=r6C2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=r7C二项式系数的二项式系数的对称性对称性在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两项的二项式系数的两项的二项式系数相等相等例一例一：在（：在（1-x)20的展开式中，如的展开式中，如果第果第 4r 项和第项和第 r+2 项的二项式系项的二项式系数相等，求数相

5、等，求 r 的值？的值？2r204r20CC = =1-2r201-4r20CC = =4r-1=r+1r=2/3 (舍舍)4r-1+r+1=20r=42468101214161820369f(r)Orf(r)=r6C2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=r7C一一三三四四六六五五十十一一一一二二一一一一三三一一一一四四一一一一五五十十一一一一杨辉三角杨辉三角f(r)=rnCnn在（a+b） 的展开式中，若n为偶数， 则中间项是第_项在（a+b） 的展开式中，若n为奇数， 则中间项是第_ 项12n112n112n二项式系数的二项式系数的增减

6、性增减性如果二项式的幂指数是如果二项式的幂指数是偶数偶数，则，则中间中间一一项的项的二项式系数二项式系数最大。最大。如果二项式的幂指数是如果二项式的幂指数是奇数奇数，则，则中间中间两两项的项的二项式系数二项式系数最大。最大。如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数 n 是是偶数偶数，则中间则中间一一项的项的二项式系数二项式系数最大。最大。如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数 n 是是奇数奇数，则中间则中间两两项的项的二项式系数二项式系数最大。最大。T112nT121 nT12 n例二例二：写出在（：写出在（a-b)7的展开式中，的展开式中， 二项式系数最大的项？二项式系数最大的项？3437C4ba

7、T = =43475CbaT = =变形变形：写出在（：写出在（a-b)7的展开式中，的展开式中， 系数最大系数最大的项？的项？系数最小系数最小的项？的项？3437C4baT = =43475CbaT = =系数最大系数最大系数最小系数最小性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和 也就是说也就是说, (a+b)n的的展开式中的各个二项式系展开式中的各个二项式系数的和为数的和为2n012.rnnnnnnCCCCC=？2n01*(1)()nrrnnnnnnxCC xC xC x nN=赋值法赋值法例三例三 证明证明: :在在(a(ab)b)n n展开式中展开式中, ,奇数项的二项式系奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和等于偶数项的二项式系数的和. .131202 = = = = nnnnnCCCC024613579122nnnnnnnnnnnCCCCCCCCC= = =01234nnnnnnn公式：C +C +C +C +C +C1234124682(2)nnnnnnnnnnnnCCCCCnCCCCC = =