理想刚塑性平面应变问题

1、理想刚塑性平面应变问题滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf和Budiansky在1949年提出的。由于它对于求解理想刚塑性平面应变 问题的方便和有效。滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工， 金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外， 近年来对平面 应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和 变形过程中，往往存在加工硬化影响。蠕变和应变率效应，惯性力的 影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理, 从而导致理想化的理论

2、模式。自然这样的理想化的理论计算给出工程 上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线 理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。刚塑性平面应变问题的基本方程、不可压缩条件平面应变的位移满足关系:(1)Ux = Ux(x,y) Uy = Uy(x,y) 山其速度场满足:dux/、-二 Vx(x, y) dt其应变率张量为：dUyV dty(x，y)晋二 Vdt(2)(3)x21(乂 二)2 x : y1：vx2(y不可压缩条件表示为:8因为二0，故有:Vy(4)(5)Sx、Levy Mises 关系 由于CTSyi'xy=2xy故有xyxy、平衡条件和屈服条件不

3、考虑体积力，平衡条件为:CTxyOff(6.1)(6.2)2Mises屈服条件：f 二 J2 一 k - 0 由正交流动法则，并知二0,则有:fSzCT进而可知:注意到:SxCTCJ故有SxSy(8)进而可知:J 2 二二 Sjj Sjjs； 2S；y)二 SxSxyxy Mises屈服条件可进一步表示为下式：xy(9)+ crxy又考虑到:xy故有:因此Tresca屈服条件表示为xy4k(10)应当注意:(9)中的，而(10)中的xy注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求在刚性区则有：(二 X - 匚 y)24 ?y 4k2cos2sin 2xy其中'为1与x轴夹角

4、，而线与x轴夹角为二，则有:' ="T =xycos2"进而：cos2® = - sin 2 , sin 2® = cos2f：=x“ -K sin2°CT=y+ k sin 2将上式代入平衡方程（6）式可得:(11)0-2kcos22k si n20:y10C<T2k s in2-c92kcos2c9-x- sin2=匚 y 二sin 2x厂 cos2 二可得-tg2 二二<T - CTx y2 xyCT - ffy xVxy ：x将上式代入式'Vy ； Vxy + xxy2 xy可得L、x yv ：vy(12)亠

5、 y) = 0l ex cy注：如果给定速度边界条件还可以用(I"和(12)来求Vx , Vy滑移线14材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均 正应力和等斜面上剪应力表出。因为斜面上的平均正应力式不影响屈 服的，因此材料是沿斜面剪应力方向发生剪切屈服破坏。在平面应变 问题中，连续材料质点的剪应力最大值即各质点等斜面剪应力轨迹线 或滑移线。如果能在平面内描出塑性变形滑移线。 也表示沿这些线上 的剪应力等于屈服剪应力，而与之对应的面上正应力即为平均应力。 在塑性变形中，任一点的滑移线方向已知，由式二- sin2sin2xy 八 cos2二可知，如果能计算出该点的平均应力

6、大小， 那么该点的应力状态 可唯一的确定，如此通过平面滑移线作图与应力分析， 就可以求出平 面应变的应力分量。由于滑移曲线仅限于二维坐标平面，因而它仅限 于求解平面应变问题，页因为应力场中剪切屈服认为式等值才能描述 出滑移线，所以只能认为理想刚塑性的材料才是适宜的。c00 - 2kcos2-2ksin2二02k si n22kcos20列点x汨由于问题解与坐标选择无关，将x, y坐标系化为:坐标系（取此外由图可见，沿线满足乎dx二 tg，,沿线"-0)则有:pl:(2k日)-0daw + 2" ) = 0进而可得：CT-2X（沿。线）(24.1)CF+ 2炸“（沿B线）(2

7、4.2)上式称为Hencky方程。这是互相垂直的平面坐标中两曲线族，一条曲线的切线与x 轴夹角为0 ，另一条曲线是逆时针转90度形成的曲线，显然， 曲线族任何点都满足这个条件，而满足这个条件各点连成曲线形 成平面中互为正交的两族曲线。这两族曲线被称为a和B两族滑 移线。滑移线上各点既满足屈服条件和满足平衡方程，是塑性区 的解。自然，滑移线是一种通过作图给出塑性解的形象描述，它 不是指一点或一条线而言，而是对某塑性区的描述，因而能在某 塑性区域中画出滑移线，也就能求出该区域中的塑性解。2、速度滑移线、速度方程平面刚塑性的变形问题速度场是在应力场的基础上加以分析求解。它也可以借助于作图和分析相结合

8、的办法求出变形 过程中的应变率分量和速度分量。而这一滑移线且刚好与应力场中的滑移线是吻合的。本节对此加以说明在直角坐标下，平面 应变的速度分量分别为Vx x, y和Vx x, y。应变率分别为y和 xy，并且两者之间有：Vx:xYxyWxWy:y:x(9.42)显然，如以Vx和Vy作为基本未知量表示平面应变中的变形,那么依据塑性区体积不可压缩条件；y =0，得出(9.43)Vx:x在求出应力解基础上，利用增量型本构方程xy=2' xy(9.44)将与表示的应变率带入上式,得出(9.45)Vx:xcVy J=丸(°Dm) >；Vx.：Vy:y:xxy由以上三式消去'

9、;，并用应力分量表示Vx和Vy，则-VxWy；y jx2 xy-Vy ' Vxy - x(9.46).yjx这样对刚塑性平面应变变形问题，由(9.43)和(9.46)两个方程求解Vx 和Vy的两个未知数。因而与应力场一样，平面应变的速度场也是静定 的。显然直接求解(9.43)和(9.46)两个方程是不可能的，依然可用 特征值和滑移线方法求速度场问题。将(9.46)方程中的应力分量用平 均应力匚滑移线夹角二表示成二x - ； 一 - ksin 2二xy =kcos2)将速度方程改写成：VxFVyjVx；：Vyx y tg2 巩 x y) =0x : y: y : x(9.47)再考虑体积

10、不变条件和沿xy平面上任一曲线Vx和Vy的增量，则有.：Vx :：Vyx 0:x:ycVxcVxdVx =dx-dyfy>®dyJ:y:x刘ydVyydxexcy以上4个方程式构成一组以辿、x程组，令其系数行列式等于零，即(9.48)fx/匕未知量的线性方dx0tg2,0dy0tg2,00dx0dy1-11115(9.49 )展开得解得:dy'tg 日=Vdxdx i_ctg 日说明V和Vy的特征线在xy平面中与应力场中定义的滑移线式同 一曲线，也就是平面应变的滑移线既是应力解方程的特征线，也是速度解方程的特征线。因为它们在平面中具有相同的曲线切线描述。并由Levy-M

11、ises本构理论，应变增量分量与对应的应力偏量分量成正 比，也就是两者的主方向重合。因而最大剪应力与最大剪应变率方向 重合，说明由应力场中所划出的滑移线，不但表达了各点最大剪应力 以及进而发生屈服的方向，也表达了最大剪应变率以及屈服的变形方 向。在应力场中的滑移线理论中，曾给出了沿:和1滑移线二和二满足的滑移方程，在研究变形问题即速度场中，也由速度滑移线给出由 V，V和二表达的速度方程，这一方程首先是由Griringer在1930年 给出的，又称为Griringer方程。如图9.17所示，V和V：是任一点二的速度矢量，并且是沿滑移 线，和-的速度分量，二则是线与x正方向的夹角。按图示的坐标 转

12、换关系，则有直角坐标速度分量Vx、Vy和滑移线速度分量V、V：之 间的关系Vx =VaCOS日 -V0sin：Vy = V sin 二 V. cos-(9.50)Levy-Mises本构理论在这里表示为16（9.51 ）.Vx:x.：Vy:y=k Sx_.S-Sy如果沿滑移线方向取微元，并用dl：.、dl :分别表示其沿:与线之微弧长。以：滑移线与滑移线方向的局部坐标代表该点的直角坐标x 轴与y轴的话，那么由滑移线所表达的力学概念，必有微元正应力一. 和一均为平均应力二，于是有:与一：线上的应力偏量分量为零，即（9.52）X方向S：-i - 0s ： = ： - = 0化简后得出£6

13、；:x乂 sin v - V, costi n-0(9.53)依据（9.44）式的本构关系知，沿滑移线的应变率也为零。而 和滑移线方向相切时的应变率为零乂-V0沿:线1 : :1:当y方向与线方向相切，类似地由可以得出另18一方程为(9.54)(9.55)V' V- " =0 沿'线 -:H；:l -将以上面方程写为更简化和直观形式dVjVpd日=0沿口线dV V：d =0 沿：线这一组速度方程表明：如果滑移线为直线的话，那么沿滑移线必有"为常数，2=0,相应的滑移线速度为常数，因而均匀应力场既是均一 匀速度场。对于一条为直线，另一条为曲线的简单应力场，例如

14、族为直线，沿一线必有dr=0,在速度场转中，由上面Gririger方程分析 出£是常数，V，VG亠（），式中V"和是任意函数。因 为滑移线理论是建立在刚塑性平面应变塑性变形基础上，不发生塑性 滑移部分仍然保持其刚性假设，这一点在分析速度场问题时要注意。应力边界条件如图所示法线为n的边界A点的应力已知，即匚n和n已知。该点外法线n与x轴之间夹角为，按熟知的平面坐标转换公式，求得 A 点的匚，匚y和xy和二n与n之关系式CF + CT a -CF-ycos2 xyS in22 2 xy-sin2：亠 xyC0s2 :2 xy再考虑处于屈服状态的某点，该点的平面应力为（13）-x

15、，- y 和 xy。该点等斜面上的正应力为平均应力用 二表示，它的剪应力达到剪切屈 服极限K。如果该等斜面的法线与x轴夹角用，表示，亦根据平面上 应力转换公式二和和直角坐标应力分量之关系" -ksin2日= +ksin2日 >Jy =kcos2日(14)如将（14）式代入（13）式，得出屈服状态边界某点的 二和与 边界应力J与n之关系6-ksin2(八)n 二 kcos2()将(15)式写成反函数得1 J-=cos4m 二2 k>: - ksin2()(15)(16)这样推到的结果（16）表明，在通常外力给定的时候，边界上的31分布应力6和n是已知的，则由（16）式可以计

16、算屈服边界附近的各 点的平均应力二和二角值。正如前面所述，由于二和二已知，也就由（14） 式确定了边界附近处于屈服状态下各点的各应力值，（16）式中的反余弦函数通常取主值，m为正负整数。A如以上图示自由边界的A点为例，由于边界条件给出6=0, n=0. 并取图示坐标即=0。按（9.6 ）式分析处A点的二和二分别是- - k如取m=0则有以下两组解31 e =4二=k-y =；t 2k无论取何组解，由表示的最大剪应力达到屈服应力的方向是为 A 点的滑移线方向。将边界附近各点的滑移线方向连起来是为滑移线。 由以上分析知，滑移线是从边界开始分析，依次向边界里画出来的。 因为每点的等斜面是互为垂直的两

17、个方向， 因而过每点的滑移线也必 是呈互相正交的两条线，在塑性场成为互相正交的两组滑移线。 问题 在于上面两组解何组解是正确的。从自由边界例也看出任何边界受任 何荷载都会出现两组可能的解，都会存在如何判定哪一组解是正确的 问题。通常按理论分析是：由计算出的该点第一主应力顺时针转45得 出该点的一个滑移线，用a表示；再逆时针转90得该点的另一滑移 线，用B表示。如果按应力比较方法，即比较二n与F的大小及正负号 看出受力与流动趋势，也能比较正确地判断出a与B滑移线。这一方 法将在本书中通过几个算例逐步掌握。有了正确的 二和9的解答，也 就正确地计算出应力分量。如何从边界出发正确画出滑移线也会在后面

18、各节中讲授和加以熟悉滑移线的性质Hen cky第一定理在同族两条滑移线和它族滑移线的交点上，其切线间得夹角沿前者不变，即图中ABCD；沿A 0 CDAB得:则由沿线:沿线:-1)；dydxdydx=tan，_ n )2)；AB=const2)2(1)；2(-2)CD2)由此得ABCD(1)同样地对的变化有等式A crABCT CTCD(2)推论一若一族滑移线中有一根是直线，则同族其它各线段都是直线 证：这相当于，Jb二 ,d二0的情况推论二在直的滑移线上，应力是常数。证：例如线是a直线，则由沿线："- 2m沿 线： 丄：- - 2-得:2宀-0。由于二匸都不变，则匚xfy，xy也都不

19、变。若某一区域，两族滑移线都是直线，则在整个区域一和二都是常数，为均匀应力区。二、Hencky第二定理沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线的曲率半径的变化量 等于所走过的距离。在图一中即dR - ds 。OkK'2'1'ds a B图一证：曲率半径R , R的定义为(3)cOR-这里规定R： , R若位于正的方向为正。由（3）式SRL二，则对CA弧有CAac八R。类似 的对BD弧有BD (Rdsp.BD(Rds )d，%另外从图一示的几何关系,可以近似得出BD二-（R - ds ）d ,R；(4)比较以上两式可得 其中第二式是用类似的方法得出的，将（3）与（4）两式结

20、合在一起 得沿线： dR R：d =0沿线：dR Rd 二 0（5）推论一：族与'族交点曲率中心的轨迹形成:线的渐伸线（如 图二的PQ ）。推论二：同族的滑移线必向一方向凹，并且曲率半径逐渐变为零。三、间断值定理在滑移线两侧，应力不会发生间断。证：t的间断值按&= 4jk2 -叱 计算，但在滑一线 上”nt卜1c，故0。1、如果沿某一移滑线，其曲率半径发生跳跃，对应的应力微商也要发生跳跃。OCTC0证：沿，线二2 二2 /R，即, -1一 SR（6）沿线有同样关系。2、沿任何线法向速度一定连续，而切向速度的间断线一定是滑移线，并且间断值沿滑移线不变。证：先把间断线看成有限宽度的

21、线，速度间断可看成在此宽度内 值很大，即nt很大。由7二Sj，得jt比别的应力偏量分量大得 多，代入屈服条件得 nt = 。因此这条间断线是滑移线。其次设这条滑移线是：线，沿该线两侧分别有dvt = vnd丁 ，dv = vd丁贝y'dvj 二dvt-dv二（vn-v）小二 0这表示间断值 "沿滑移线是常数。典型算例例1、如图所示，设边坡顶部作用一均布荷载 P，张角为2 ，滑移线如图，试求其 塑性极限荷载。方法1:在OCD均布应力区的边界上：P , n t = 0由（27.2）式可知：1 . T兀cos "4) mm2 k4'为OD法线与x轴夹角，取m =

22、0，且取正号,则有：由（27.1）可得:ji ji ±2434 n ksin 2（ ）二-p k sin 2（）= - p k4在OAB均布应力区的OA边界上：二n = nt = 0 由（27.2 ）式可知：1-丁。八十）m =行m3T为OA法线与x轴夹角-2，取m = 0，且取负号，则有:JIH1二=一 2 2244由（27.1）可得: n + ksin 2（日一屮）=+ksin2（） = k 4在OBC简单应力区，BC为E线的一段CF - a = _ Q|,/e- e = _ 91，A QcB 2k（ c B） 2k cB31考虑到口 c = P*k，口 B = k,HcB=2?

23、- §，故有:- p k -（-k） = -2k（2 - -）31故得塑性极限荷载为:Ps二2k（V 2 - 3）方法2:取线方向均反向在OCD均布应力区的边界0D 上:二n二P * nt = 0由（27.2）式可知：4心 +JL日=屮 ± cos- （-） +=屮 ± m2k4冗'为OD法线与x轴夹角2，取m = 0，且取正号，则有:由（27.1）可得：二二70=一+一 + JI=712447兀-p ks i i2（一）=-p = k42在OAB均布应力区的边界OA上：二n = nt = 0由（27.2）式可知：亠mji'为OA法线与x轴夹角22

24、，取m = 0，且取负号，则有:71715丁-2-224JI由（27.1）可得:0+ksin2（5八厂幼k同法求OBC简单应力区，故得塑性极限荷载为：JIPs 二 2k（12广I11IIII2在OCD均布应力区的边界OD附近取微元体，沿法线n方向取平衡方程:倾2故有：匚=_ p k319方法3:在OAB均布应力区的OA边界附近取微元体沿法线n方向取平衡方程：2匚鼻 2k=02在OBC区方法如（法1）4、求速度分布，并校核-ij二Sj中的，是否不小于零。在0D边Vy-V(x)（X表示在0D上的x值）。注意到Vy = V：COS'241故在OD边有在ABCD线上，法向速度要和刚性区连续,故

25、沿 ABCD线V = 0。因此，求区域OABCD内的速度分布是一个解速度场的 第三边值问题，具体求法如下：沿线有dv：. -“屮=0。因线都是直线，小=0。得 dv0，v二const。但在ABCD边上v二0，故得到在整个 塑性区v = 0。沿' 线有dviv：d = 0，得v = const。OD边条件 变成（因v十0）v - 2V（X），故沿线有72V（X）下面再校核；ij二Sjj中的是否不小于零的问题。我们将坐标取在滑移线上，则要求:现在:因此，要上式成立，即要:S：s：ds：二-dx22dV（X）dXdX上式表示左边的质点比右边的下滑得快， 这样滑动产生的剪应力 与我们求出的应力场中的剪应力是一致的， 否则滑动趋势与剪应力符 号相矛盾。例2、半平面上刚性冲模压入（土力学中条形基础）限于不排水条件 在AO'A均布应力区- p k在A'b'C'和ABC均布应力区:沿线二 o' *c 2k_ocP k（"2纭B'A 1 OIaBa八/C'O'scPs 二 2k（-）沿' 线匚0CTC2 k"0C2kd 2)该