兰州2015中考数学试题(解析版)(A卷)

1、2015甘肃兰州2015年兰州市初中毕业生学业考试数 学（A）解析者：浙江省杭州市余杭区临平一中 朱兵一、选择题（本题有15小题，每小题4分，共60分）【 答 案 】C【考点解剖】本题考查的是二次函数的概念【解答过程】所谓二次函数，是指形如的函数，其中，都是常数，且。首先，二次函数必须是整式函数，因此D就被排除；其次，函数的形式，那么它的最高次项是二次，并且由，就保证了它一定要含有二次项，所以A也被排除；再来看B和C的区别：仅从形式上看，似乎没什么区别，但由于二次函数必须要求，也就是说二次项系数必须不能为0，而这一点上，B选项是没有保证的，所以B选项也不对。这样，只剩下C。【易错点津】主要看二

2、次项系数是确定的具体的数，还是含有字母的一般的数【归纳拓展】如函数或方程，在没有明确给出字母的取值范围之前，它们未必是关于的二次函数或二次方程【题目星级】【 答 案 】B【考点解剖】本题考查了三视图的相关知识，以及考生的空间概念能力【解答过程】就本题而言，其三视图如图那么容易得知只能是选项B。【题目星级】【 答 案 】A【考点解剖】本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识【思路点拔】如果将二次函数改写为顶点式：，那么其顶点为（，），对称轴为直线（也有一些教科书将顶点式表示为的形式，那么其顶点就是（，），对称轴为直线）【解答过程】这四个函数中，对称轴分别是A：；B：；C：；D：，所以只能是选项A

3、【解题策略】在涉及到二次函数的对称轴问题时，可以将函数改写为顶点式的形式，那么只要令，其对称轴就便可求之。【题目星级】【 答 案 】D【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义【思路点拔】直角三角形中，某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比【解答过程】RtABC中，AC2=AB2+BC2= AB2+(2AB)2=5 AB2，AC=AB，则cosA=，选D【解题策略】一般地说，在涉及到某个锐角的三角函数值时，只要将之放到直角三角形中去，那么问题往往不难解决。在直角三角形中，我们将夹角的那条直角边称为邻边，角所对的那条边称为对边，那么角阿尔法的各三角函数值分别为，。如果原题没

4、有图，那么可以自己在草稿纸上画一个示意图；如果是在斜三角形中，那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来，将问题转化到直角三角形中去解决。【题目星级】【 答 案 】B【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。【题目星级】【 答 案 】C【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质，以及乘法公式中的相关知识。【知识准备】完全平方公式：【解答过程】将各选项左边展开，并整理成一般式：A：，；B：，；C：，；D：，因此正确选项为C【思维模式】此类题的关键在于配方【一题

5、多解】由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西，因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，所以本题亦可采用如下方式进行：在原方程中，取，此时，左边=-1，右边=0，在各选择支中，如果变形是正确的话，左边应该始终比右边的值小1，在时，A左=16，A右=17； B左=16，B右=15，则(即B被排除)；C左=16，C右=17； D左=16，D右=15，则；现在留下A、C两个选项，难道两个都是正确的吗？当然不是。我们再换一个的值试试：取，那么原式左边=-8，原式右边=0，也就是说：在同样的条件下，

6、如果是正确的变形，那么一定是满足左边=右边-8，反之，如果不满足这一条件，那么就一定是错的。当时，A左=25A右-8，所以这里需要提醒注意的是：这样的方法只能用来排除错误，不能保证正确。如在本题中，当时，虽然也有C左=C右-8，但不能就此判言C为正确，但因为A，B，D都已被排除，所以唯一留下的C选项必为对的。再啰嗦一句：上面介绍的“特殊值法”，在本题中其实反而显得很笨拙，但如果换个场合，有可能是一个高效、灵活的解题方法。【题目星级】【 答 案 】D【考点解剖】本题考查特殊平行四边形的性质和判定【解答过程】略【题目星级】【 答 案 】A【考点解剖】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质【知识准

7、备】一次函数的图象是一条直线，当时，这条直线从左到右是上升的；反之，它是下降的；反比例函数的图象是双曲线，当时，其图象分别位于第一、三两个象限，并且在每个象限（注意：仅仅是在该象限之内），图象上的点越来越低（从左到右）；反之，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内图象位置越来越高。【解答过程】观察A：从直线的方向向下（从左到右），说明其中的；再看双曲线，位于二、四象限，那么其比例系数，这样分析并没有看出什么不妥，但是我们也不宜急于下结论就说A是正确选项，因为或许还有哪个地方没有被我们注意到呢？观察B：从直线形态来看，应该有，但是从双曲线的形态来说，又应该是，这里是矛盾的，所以；同样道理，

8、C也是错误的；再看D：无论是直线还是双曲线，都满足，这里并没有看出什么矛盾。那么问题来了：A和D，到底哪个才是正确的选项？当我们感到山重水复时，如果再静下心来重新读题，很有可能会有新的发现，从而寻找到一条通向柳暗花明之路。在一次函数中，如果我们将表达式改写为，那么就会发现：无论取什么值，当时，其函数值都为0，换句话说：该直线一定通过（1，0）。从这一点分析，D当然就不符合这样的特征，所以D又被排除了，那么只能选A。【题目星级】【 答 案 】B【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角

9、；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。【解答过程】ACB和AOB都是P中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结AB，还有可能需要说明AB是直径，或者点P在AB上。【题目星级】【 答 案 】B【考点解剖】本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点【知识准备】菱形的四条边相等，对角相等，对角线互相垂直平分；等腰三角形底边上的高线平分底边和顶角。【思路点拔】由菱形的性质以及现有条件，可得AEF是正三角形，而正三角形的面积等于边长的平方的倍【解答过程】连结AC和BD，并记它们的交点为G，则有ACBD，且AG=CG，B

10、G=CG，ABC中，AB=CB，ABC=60°，所以ABC是正三角形，正三角形ABC中，AE和BG是中线，也是高线，可求得AE=BG=AB=，BCD中，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EFBD，且EF=BD= BG=，记AC与EF的交点H，因为EFBD，ACBD，所以AHEF，且由相似形的性质，可得CH=CG=AC=1，则AH=AC-CH=4-1=3，则。【题目星级】【 答 案 】B【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质【知识准备】所谓某个量，它增长了，意味着增长部分是，那么它就由原来的，增长到了（），也就是【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，

11、也可以假设为或等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了，那么就是到了；接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基础上增加到了倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是，也就是。【解答过程】跌停后，股价为0.9，连续两天按照的增长率增长后，股价为，根据题意，得方程，那么正确选项为B。【易错点津】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。【题目星级】【 答 案 】D【考点解剖】本题考查反比例函

12、数的图象和性质，以及坐标系中的相关知识点。【思路点拔】反比例函数的图象关于原点对称，既然，那么必有，所以选D。【题目星级】【 答 案 】A【考点解剖】本题考查的是坐标系以及函数的图象的相关知识点【知识准备】以自变量的值为横坐标，以对应函数值为纵坐标所确定的点，称为函数图象上的一个点；所有函数图像上的点所构成的集合，称为函数的图象。【解答过程】点C坐标为（0，c），因为点C在轴正半轴上，所以CO=，由已知，OA=OC，且点A在轴负半轴，所以A（，0），A（，0）在抛物线上，则，即，因为（否则点C在原点），所以，即，所以选A。【题目星级】【 答 案 】C【考点解剖】本题考查二次函数的图象和性质、直

13、角坐标系中的相关知识点【知识准备】二次函数的对称轴为直线【解答过程】的图象是一条开口向上，对称轴为的抛物线，点P（，）在抛物线上，由图知：当点P在轴上方（）时，对应部分图形在直线左侧，或者直线右侧。此时，对应的的值（即的值）为，或，所以，；A选项的“当时，”，说的是“当点P在轴下方时，它位于轴的左侧”，由图可以看出：而这一点未必正确，因为点P也可能在轴的右侧，所以；由图我们看到：由于抛物线开口向上，且与轴的交于点A和点B，那么抛物线上位于A，B两点之间部分在轴下方；翻过来，当图象居于轴下方时，对应的点必定在直线和直线之间，也就是说：当时，所以选C。【题目星级】【 答 案 】A【考点解剖】本题考

14、查的是矩形性质，弧长的计算【知识准备】矩形的对角线相等，且互相平分；半径为，圆心角为的弧的长度为【解答过程】连结OP，由矩形性质知：OP=MN，且它们相交于中点Q，则当点P沿着圆周转过45°时，点Q在以O为圆心，以OQ=1为半径的圆周上转过45°，因此只要求出以1为半径，45°圆心角所对弧的长便可。弧长计算公式忘记了怎么办？没关系，临时推导一下就行：整个圆的周长是，那么所求弧长就等于45°圆心角在整个周角360°中所占的份额：，即。【题目星级】二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）【 答 案 】2015【考点解剖】本题考查了方程的解的

15、概念【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。【解答过程】因为是方程的解，所以，即，所以【题目星级】【 答 案 】3【考点解剖】本题考查比例的基本性质【解答过程】因为，且，所以，而，即，所以。【一题多解】因为，所以，而，即，因为，所以。【题目星级】【 答 案 】10【考点解剖】本题考查概率和频率【知识准备】当独立随机实验的次数足够大时，某现象发生的频率总在概率附近波动【解答过程】由列表知：摸出黑球的频率约为0.500，所以所有小球的数量约10个【题目星级】【 答 案 】S1=S2【考点解剖】本题考查的是反比例函数的图象，图形的面积变换，平面直角坐标系【知识准备】坐标平面内点P

16、（，）到轴和轴的距离分别是和；，等底等高的两个三角形面积相等【思路点拔】如果点B和点M在原点处，那么我们很容易知道这两个三角形面积是相等的，但现在这两个三角形都在半途，我们自然想到如何将之与APO和QNO联系？画出图形后，我们发现：只要能说明SPBO=SQMO，那么问题便可解决。【解答过程】分别连结PO，QO，设P（，）则有，因为点P在图象上，所以，则，同样：，所以；连结BM，因为BQ轴，PM轴，则有，所以；因为，所以，即S1=S2 【题目星级】【思维模式】碰到新情况，我们要想办法如何将问题向我们熟知的场景转化【 答 案 】30°【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系

17、，正三角形的性质【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的一半，在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。【思路点拔】BC=半径，那么BC与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。【解答过程】分别连结OB和OC，因为BC=OB=OC，所以O=60°，则在O中，A=B=30°.【题目星级】三、解答题（本题有8小题，共70分。解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【考点解剖】本题考查特殊角的三角函数值和实数的运算【解答过程】原式=【题目星级】【考点解剖】本题考查一元二次方程的解法【解答过程】，

18、 ，所以，【题目星级】【考点解剖】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，基本作图【知识准备】角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等【思路点拔】MN是P的弦，那么圆心P到弦的两个端点的距离相等，所以圆心P在线段MN的垂直平分线上；圆心P到AOB两边的距离相等，则P在AOB的角平分线上，所以，圆心P在线段MN的垂直平分线和AOB的角平分线的交点。【解答过程】作线段MN的垂直平分线；作AOB的角平分线，并记之与的交点为P；以P为圆心，PM为半径作圆，则P为所求图形。【易错点津】无论是否要求写出作图过程，千万不要漏写结论。在书写结论时，一定要写明哪个图形是

19、所求作的图形，是哪一条线段？还是哪个角？或者是哪个点等，千万不要笼统地说“如图为所求图形”。例如在本题中，所求的图形是一个圆，那么结论就应该很明确地说“P为所求图形”。【题目星级】【考点解剖】本题考查树状图的画法【解答过程】（1）三次传球所有可能的情况如图：（2）由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P（甲）=，即；（3）由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P（乙）=，P（乙）>P（甲），所以是传到乙脚下的概率要大。【题目星级】【考点解剖】本题考查投影和相似的相关知识点【知识准备】太阳光照射下的投影是平行投影；相似图形对应边的比等于它们的相似比；矩形对边相等。【思路点拔】假若影子完全落在地

20、面上，那么根据两个三角形相似，很容易就可以求出答案；现在既然是落在墙上的投影影响我们的解题，很容易就想到如何消除墙上影子的影响？自然而然地，就想到了只要过墙上影子的顶端，作地平线的平行线，这样问题就可以解决了。【解答过程】分别作EMAB，GNCD，垂足分别是M，N，则有AEMCGN，MB=EF=2，ME=BF=10，ND=GH=3，NG=DH=5，所以，AM=AB-MB=10-2=8，CN=CD-ND=CD-3，CGNAEM， , 即, CD=7【题目星级】25.（本小题满分9分）如图，四边形ABCD中ABCD，ABCD，BD=AC。（1）求证：AD=BC；（2）若E，F，F，H分别是AB，C

21、D，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分。【考点解剖】本题考查特殊四边形的性质，和等腰三角形性质中的相关知识点。【知识准备】在同一个三角形中，相等的边所对的角相等；平行四边形对边相等【思路点拔】（1）要说明AD=BC，只要能说明ACDBDC，现已有AC=BD，CD=DC，那么关键是如何说明1=2；这里需要注意的是：由AC=BD，并不能直接得出结论1=2，因为AC和BD并非同一个三角形中的元素。能否以某一角为媒介，使得1和2都与之相等？结合已知条件中的AC=BD，如果能够构造出以AC和BD为其中两边的三角形，那么它们所对的角自然相等。为此，可将AC平移，使点A到点B位置（如图）

22、，那么有2=K，而K=1，则有2=1，问题得以解决；（2）要说明线段EF与线段GH互相垂直平分，只要能说明线段EF与GH是菱形的两条对角线即可。【解答过程】（1）延长DC至K，使CK=AB，ABCK，四边形ABKC是平行四边形，则在ABKC中，有ACBK，1=K，BD=AC，AC=BK，BD=BK，则有2=K，2=K，1=K，1=2 。ACD和BDC中， ACDBDC（SAS），AD=BC ；（2）分别连结EH，HF，FG和GE， E，H分别是AB，DB的中点， EHAD，同理：GFAD，EGBC，HFBC，AD=BC，EH=HF=FG=GE， 四边形EHFG是菱形，EF与GH互相垂直平分（菱

23、形的对角线互相垂直平分）。【题目星级】【解题策略】很多时候，在直接说明某两个量相等（如本题中需证明1=2）有困难时，我们往往可以寻找第三方媒介，分别说明目标的两个量与第三方的这个量相等，从而达到说明两个目标量相等的目的。例如证明本题中的1=2，以及本卷第19题中的，或者S1=S2。【考点解剖】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，直角坐标系，三角形面积，数形结合思想【知识准备】三角形面积=底边长×高线长，某一点在某函数的图象上，那么意味着当自变量取值该点的横坐标时，该函数的函数值为该点的纵坐标。因此，从图象上我们可以看出：点的位置越往右，对应的的值就越大；点的位置越往上，对应的

24、函数值就越大。【思路点拔】（1）所谓的，也就是，说明对于同样的直线上的点必须在双曲线的上方，从图中我们可以看到：在第二象限，只有线段AB（不包括两个端点）才居于双曲线的上方，而点A和B的坐标均为已知；（3）PCA和PDB的面积，均随着点P位置的改变而改变，而其中AC和BD都是固定的，所以只要确定了点P，这两三角形的面积也就随之确定，既然点P在直线AB上，在解决了（2）之后，点P的横坐标和纵坐标之间的关系也就受到约束，它们之间可以互相用另一个量来表示。【解答过程】（1）由图象知：当时，；（2）一次函数的图象经过A（-4，），B（-1，2）两点，求得，所求直线为；函数的图象过B（-1，2）， ，则

25、，所求一次函数为， ；（3）设点P（，），点P在线段AB上，-4-1，A（-4，），B（-1，2），AC=，BD=1；分别作点P到AC和BD的垂线段PE和PH，E和H是垂足（如图），则PE=（-4-1），PH=，点P（，）在直线上，则PH=，即，则P（，）【题目星级】【归纳拓展】如果我们将（3）中的“P是线段AB上一点”改为“P是直线AB上一点”，情况会有什么变化？从上面解答过程中我们不难知道：当点P的位置不同时，PE和PH的表达式也会因点P的位置不同而改变：当点P在点A的左下方时，PE=，PH=，此时，根据建立起来的方程无解，也就是没有满足条件的点P存在；当点P在点B的右上方时，PE=，PH

26、=，此时，根据建立起来的方程无解，也就是没有满足条件的点P存在；【考点解剖】本题考查圆与直线的位置关系，扇形面积计算【知识准备】过直径的端点，且与直径垂直的直线是圆的切线【思路点拔】（1）我们当然很容易就猜想到BC是O的切线，为此，只要连结OD，证明ODBC即可；（2）只要求出OBD的面积和扇形ODE的面积，那么两者之差便为阴影部分的面积【解答过程】（1）连结OD，OA=OD，2=3，AD平分BAC，1=2， 而2=3，1=3，ODAC（内错角相等，两直线平行），ODB=C=90°（两直线平行，同位角相等）即ODBC， BC是O的切线（过直径的一个端点，且与直径垂直的直线是圆的切线）；（2）过点O作AC的垂线段OH，则OHBC，AOH=B=30°，RtAOH中，AH=AO·sinAOH=AO·sin30°=AO，矩形