4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域

1、第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析4. 2拉普拉斯变换的定义、收敛域一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换尸（劲=/（0二丄匸F（劲幺购為o fit疋回dt绝对可积条件:门/（幼力00对于不满足绝对可积条牛的f （0，求f幺巾的傅里叶变换广coF7TM)严=耳(劲=n fedtJOS = CT + JCD=£ fe-dt = fdt = F(s)M）厂匸Fg）严為1fCQ1/(0 = 7/F)e% 回 dco =2兀J8CO/cofF(e)JE 讪 de17Vs3s = a + jo dco = dsJ#对亠丁彳、满足绝对可积条牛的f (D即：lim/(O => 00 ts则其

2、傅里叶变换不存在/为因果信号寻找一衰减函数幺f使得：lim/幺 =0S则其傅里叶变换£ f(t)ee-jatdt存在S = b + CO =>FS) = FTf(t) = Jo f(t)e-jatdt< pooF(s) = LTf(t)=f(t)e-stdtJO#单边拉普拉斯变换对血"厂1W阳器0曲象函数原函数f=f (5双边拉普拉斯变换对FB(s) = LTBf(t)=C fdtJCO112+js“心沪厉J恥）皿二、拉氏变换的收敛= 0 (b>bo) 收敛域:Re >cr0/TOO例：求乙ZTXS(r)的收敛域 hmee01 =0tsa> a

3、 aQ= a满足lim/(r>_or=0的函t - CO数f称为指数阶函数三、一些常用函数的拉氏变换co1、阶跃函数=s “esTdtfcopcLTw(Z) = u(t)e-stdt = fJoJo2、指数函数M）二严3. /的幕函数 f(t) = tn是正整数)/co1 SLTtn= 广宀心织 tnd(est)ooJo$ Jo1=1 esdt-UTtn-xsIrS Jo9#LTtn = - LTtn =1)LTtn-2 = . = ¥ LT1=s2nn+S"I 厶M 丁1LTt=-sLTu(r) = LTl = -s#应注意的几点1、单边拉氏变换是从零点开始积分的t

4、<02、当函数在AQ时刻出现跳变时规定单 边拉氏变换定义式的积分下限从d开始。0一系统4、冲激函数/二00 00LTS(t) S(t)e dt 6(t)e 51 dt 1LT3(t) = 1co2 eedtco_1/2(s+l)2 $+1504-3求下列函数的拉氏变换,注意阶跃函数 的跳变时间. (1)火一2)(3)严刀叩)4. 3拉氏变换的基本性质线性（叠加）若m(01 = F(s), LTf2(01 = F2(S) 则:LT 伙 If】 + k2f2 (/)=叭(s) + k2F2 (s)严）Lrsin( ty = yS +C0A 例41求二sin（血）的拉氏变换F（s）. 2jF(

5、s) = LTsin()l = LT2j二丄(LTe 购-LTej(at )=召1. 丿2 丿 S-JG) S + JG)154-1求下列各函数的拉氏变换(2) sin Z+ 2coszLTsm f+ 2cost=1 2s 2s+11=52+l52+l?+l(10) COS 2(创cos2(Q0 = -cos(2Q0 + 12求函数/(O = cos( + 0)的拉氏变换 cos( + 0)= cos cot cos (p-sin cot sin (p#F(s) = cos ® S + CDCD-sin cp s + co#scos0 e sin cpS2 +CD2#' &#

6、39; I JP (0) (I) J(0) J2S (0) JIS 丄u) Ju P(o'LJnmhsHIH(o') J 丄(o')nf-p(o1) J (s) HE) J-l7 亘，SH 丄SJ1Z7W二若込 71/=F ,则厶 口£ f(t)l = sF(s) - /(0_)atd29LTf(t) = ?F(5) "(0广(0atLT5(0 = LT w(0 = s/T仪_ %(0_) = s 丄 _ 0 = 1 dtsi2LT6t) = LTu(t) = s2LTu(t)-su(0 ) 0(0 ) dt19 1二 s=0 0 = sLT6t)

7、= ss2、复频域微分特性若Z7V =FG),贝FG) = LT-tf(t)asLTtgy二 £fasLT/Wn务F#4-1求下列各函数的拉氏变换(5) (1 + 2t)e 2=1yS + l (S+1)2 + 3= G+1)2 LT (1 + = LT +=丄-2賈丄) s + 1 ds s + 1232p(2)jjh(o')亍 J 工h(o1) (_<十 + (S)A 十丄 2P(2) J1Z7 邑 As)工丄SJ1Z7«? 型埠冬幕<當二若：LT/(O = F(5),则：LTV= - F(s) + -/(-1(0_)J8sSro_JOOLTu(t)

8、 = LTC J(t)6ZtJs11f0_= -LT(01 + - f (r)tZr5Ss1 . 1 n 1=0 =sss#4-1求下列各函数的拉氏变换(18) 1_严)te3t - e5t(19) -t(20) 血严).)ds Ins + as + a)ds = ln00a 7s；ar ct ans +da .s + as + 3s + 5=lns + 5s + 3nsarctan2a27延时(时域平移)若厶八/=F(s),则当必 0时,有二 estQF(s)a尺例4-5求矩形脉冲的拉氏变换/(0 = Eu(t) - Eu(t -t0)FsLT/(OJ = LTEu(t)- LTEu(t-

9、r0)#4-3求下列函数的拉氏变换,注意阶跃函数的跳变时间.314-3求下列函数的拉氏变换,注意阶跃函数的跳变时间.(1) /(0 = W-2)F(s)二e2s + 1(2) ") = 火 一2) f(r) = -2)w(z)F(s)二F(s)二#A 笃5°4-3(4)求巾)=sin( 2(1)的拉氏变换求下列函数的拉氏变换(1)y(o=a+w+i)F(s)二 LT(t + l)u(O尸(巧=丄 +丄二些s s s（2）3）/=5+ 3)353) = 82(t £)=孰|)F(5)=-戶33求图示三角脉冲函数 /的拉普拉斯变换/co0<t <1 l&l

10、t;t<2 其它f (f) % (f) 2%(f 1) + u(t 2) dt求图示三角脉冲函数 /的拉普拉斯变换二 L 、0| 1 2 1/(f)二 u(f) 2n(t 1) + u(j 2) dt191sF(s)-f(O_) = -e5 + -25s ss1 9 1 9 = -(l-2e-s+e-2s) = -(l-esyssF(s) = 1(1y-$)2/(0_)=0求图示三角脉冲函数 /的拉普拉斯变换1汕）0t;2-10|岑皿1(1)(一2) (1)2討51) +心2)求图示三角脉冲函数 /的拉普拉斯变换d2dt2口)= 5 25(1) + 5(2)s2F(s)-sf(0J-f(

11、0 _) = 1 - 2 厂 + 严=(1厂尸1 _ 9 f (0-) = 0. r(0_) = 0 F(s) = (l-e-sy s37五、S域平移若込门/=F(s 贝lLTf(t)e-at = F(s + a)LTeat sin( ©/)LTeat cos(®/)=%2 2 (S + Q)+ COqs + a2 2 (S + Q)+ CDq4-1求下列各函数的拉氏变换(4)訂 sin(2f)(12) eu+a cos(m)#2(5 + l)2+4求函数/(O = tef cos(20w(0的拉氏变换F(5)= - l(5 + 1)2+4G + l)2_4(5 + l)2

12、+42#六、尺度变换若込门几切=F(s),则:1 SZJV() = _F(_)(6i >0)a ai s -sLTf(at - b)u(at -b) = - F(-)e a a a(a >0,b >0)鬥5o4-1求下列函数的拉氏变换(14) e V(-)设F(5)= LTf(0L Q>0 aLTf(-) = aF(as)aLTe-7(0 = F(5 + l)41#LTe V(-)la=qF(qs + 1)-t1LTe ) = aFSG + )aa= qF(qs + 1)#七、初值若函数f及其导数勢可以进行拉氏变换， atLTf(t) = F(s),贝Ulim /(O

13、= f(O+) = lim $F(s) /TO+5 ->00八、若/及其导数 如可以进行拉氏变换,/的变换 dt为F(s),且 lim /存在，则lim /(O = f(oo) = lim sF(s)tstsstO初值定理说明1 初值是f(t)在t=0+时刻的值，而不是f(t)在 t=0或者t=0_时刻的值。2.初值定理中的F(s)如果是有理分式，则必须 是真分式。若不是，则必须将其化成真分式和 多项式之和"然后用真分式求初值。/(o=(o+v(o+fiW 其册不包含冲激及其导第F(5)=冏 + k2s + F (s)/(O+) = /；(O+) = lim 眄(s)STS终值

14、定理说明1、若无终值，用该定理求出的终值也是 错的6可从S域作出判断。2、终值是否存在，F(s)的极点在S平面 的右半面及虚轴(原 点除外)时不可用 终值定理3右半面：增长 左半面：衰减 虚轴：等幅振荡 原点：等幅45例：已知下列象函 麺（必求各原函数的初终值（1）f（5）= 4-2-1（”+l）（s + 3）2）也应喺啬"极点在虚轴上 故终值不存在。恥）二儿（S-1）s1/（0+） = lim二 lim S*（S 一 1） STS（ _ ）=1极点在右半平面 故终值不存在.已知信号的拉氏变换越为F(s)=S + 5*2 + 2s + 1(s +1)($+ 2)($+ 3)求原信号的

15、初值与终值/(0+) = lim 5F(5)其中F(s)为真分式STS心)=s + s? + 2s +1s3 +6s2 +1 1a + 65s? + 9s + 5=5S +65 +1 15 + 6真分式#/(0+)二-5F(s)的极点都在左半平面，故终值存在/(oo) = lim sF(s)stO/(oo) = 049九、卷积若ZT/iC）二 Fi（s）ZJIM 二恥）则:L7ve*/2（t）=耳 G）巧 G）例 已知：/心）=临），zjve*/2（切=2,求aSLTf. (0 * /2 (切=片耳耳(s) = Z7W)S巧二W； */2_1 耳 一 S/2(0 = u(0周期信号的拉氏变换O

16、O/（）=£/1（兀厂）厶门/1（0=耳（S）/?=OOLTlft-nTyeFs)LTlf (切1-e51#00COLTf(r) = LTf1(t-nT) = X LTfx (t-nT)n=0n=0#0000n=0n=053求图示信号f的单 边拉普拉斯变换Mo恥）l-esTO 23 456 t1 91 9F（s） = r（l 厂）21l-e2s1 9耳（S）二冇（1厂）2 T = 2 S1-八 Sp +厂）例 信号口)如图，包络函数为，求F(s) = LTf(t)ff(t)*计 r0u(t) 2n(t 1) + u(t 2)LTu(t) 2%(f 1) + 2)=丄(1 2es + 严)二)F(s) = LT/(O=11-严 i)s + 1 l + e(s+l)-de-s)2-2s抽样信号的拉氏变换00 厲=工LT<5T(t) = _ _sT n=0丄 °00fs (0 = /(05r (0 二工 /(m) 5(r - nT)COn=0n=000代(s) =