高三培优数学椭圆

1、1、已知椭圆过定点，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的2倍.求此椭圆的方程；若直线与椭圆交于，两点，轴上一点，使得为锐角，求实数的取值范围.解：以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积，以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积.，即. 可设椭圆方程为_-，代入点可得. 所求椭圆方程为_ . 由为锐角，得，设，则，联立椭圆方程与直线方程消去并整理得_.所以，进而求得_，所以，即_，解之得的取值范围.2. 如图，椭圆 (a>b>0)的上、下顶点分别为a、b，已知点b在直线l：y=1上，且椭圆的离心率e =()求椭圆的标准方程；()设p是椭圆上

2、异于a、b的任意一点，pqy轴，q为垂足，m为线段pq中点，直线am交直线l于点c，n为线段bc的中点，求证：ommn证明：设，则，且_为线段中点， 又，3.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过、两点.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右焦点分别是、，过点的直线：与椭圆交于、两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个在最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由.(2)设、，不妨设，如图，设的内切圆的半径为，则当最大时，也最大，的内切圆的面积_，又，由得_，则恒成立，y1-y2=_，设，则，且，=_，设，_的最大值是，即的最大值是，的内切圆的面积最大值，4.已知椭圆的离心率

3、，左、右焦点分别为，定点p，点在线段的中垂线上（1）求椭圆c的方程； （2）设直线与椭圆c交于m、n两点，直线的倾斜角分别为，求证：直线过定点，并求该定点的坐标解:由椭圆c的离心率_得_，其中，椭圆c的左、右焦点分别为又点在线段的中垂线上，解得c1，a22，b21，椭圆的方程为_由题意，知直线mn存在斜率，设其方程为ykxm由_消去y，得（）4kmx0设m（），n（），则，x1+x2=_,x1x2=_且，kfm=_,kfn=_由已知，得kfm+kfn=_，即化简，得。整理得m_k直线mn的方程为yk（x2）因此直线mn过定点，该定点的坐标为_）5.已知中心在原点o，焦点在x轴上，离心率为的椭圆

4、过点(，)（）求椭圆的方程；（）设不过原点o的直线l与该椭圆交于p，q两点，满足直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求opq面积的取值范围（）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为 ykxm (m0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，由 消去y得_则64 k2b216(14k2b2)(b21)_0，且，故 y1 y2(kx1m)(kx2m)_因为直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，所以，k2，即_0，又m0，所以 k2，即 k由于直线op，oq的斜率存在，且0，得0m22 且 m21设d为点o到直线l的距离，则 sopqd | pq | x1x2 | | m

5、 |，所以 sopq的取值范围为 (0，1) 6.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点f的最近距离为2，若椭圆c与x轴交于a、b两点，m是椭圆c上异于a、b的任意一点，直线ma交直线于g点直线mb交直线于h点。（1）求椭圆c的方程；（2）试探求以gh为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。（）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为,，.在椭圆上，所以_y0=_，设，则，.，又.因为的中点为，,所以，以为直径的圆的方程为：.令，得，将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点7.设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点。（i）求椭圆的方程；

6、（ii）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值（i）由由右焦点到直线的距离为得： 解得所以椭圆c的方程为_（ii）设，直线ab的方程为与椭圆_联立消去y得_-即 整理得 所以o到直线ab的距离_， 当且仅当oa=ob时取“=”号。由二、1.已知定点a（1，0）、b（1，0），动点m满足：· 等于点m到点c（0，1）距离平方的k倍试求动点m的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；来源:zxxk.com2. 已知动圆m过定点f（0，），且与直线y相切，椭圆n的对称轴为坐标轴，一个焦点是f，点a（1，）在椭圆n上求动圆m的圆心的轨迹的方程和椭

7、圆n的方程；3.设动点m(x, y)到直线y=3的距离与它到点f(0, 1)的距离之比为，点m的轨迹为曲线e. （i）求曲线e的方程：（ii）过点f作直线l与曲线e交于a, b两点，且当3时，求直线l斜率k的取值范围·（）根据题意，|y3|·化简，得曲线e的方程为_（）直线l方程为ykx1，代入曲线e方程，得_设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2即_由此得x1x2由，得因为23，所以，从而2，解不等式2，得k23故k的取值范围是_4.已知圆的方程为，定直线的方程为动圆与圆外切，且与直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）斜率为的直线与轨迹相切于第一

8、象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值解（1）设动圆圆心的坐标为，动圆半径为，则 可得 _a由于圆在直线的上方，所以动圆的圆心应该在直线的上方，所以有，从而得_，整理得，即为动圆圆心的轨迹的方程（2） 如图示，设点的坐标为，由得，则所以切线的斜率为，可得直线的斜率为，所以直线的方程为由于该直线经过点，所以有，得因为点在第一象限，所以，点坐标为，直线的方程为 把直线的方程与轨迹的方程联立得_解得或可得点的坐标为所以 5.如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和的中点，已知（为常数），平面上的点满足。（1）试求点的轨迹的方程；（2

9、）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。解：由题意可得点的轨迹是以为焦点的_且半焦距长，长半轴长，则的方程为若点在曲线上，则设，则， 代入，得，所以点定在某一圆上 由题意 设，则因为点恰好是线段的中点，所以n_ 代入的方程联立，解得，故直线有只有一条，方程为 直线的方程为令，得c( )又，为线段的中点，n_(_)_ =_-=06.已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：340（）求、的标准方程；（）若过曲线的右焦点的任意一条直线与曲线相交于a、b两点，试证明在轴上存在一定点p，使得的值是常数.证明（）当直线不与轴垂直时，设其方程为.联立，消元得 _则 设点，则 =_-当即时，对任意，当轴时,_故存在轴上的点，使得的值是常数 7.平面内动点到点的距离等于它到直线的距离，记点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）若点，