全等三角形知识梳理

1、帮你梳理全等三角形山东 李其明丰富的生活情境全等图形概念特征特例应用全等三角形全等三角形特征全等三角形条件直角三角形全等条件尺规作图解决实际问题证明公理、定理定义、命题推理、应用一、结构梳理二、知识梳理（一）概念梳理1全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形图1图22全等三角形 这是学好全等三角形的基础根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等符号“”也形象、直

2、观地反映了这一点“”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等3定义、命题与定理定义：能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义例如：（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形（2）有六条边的多边形，叫做六边形（3）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线定义的特征：定义必须是严密的一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来命题定义：判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。结构：许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的题设是已

3、知事项，结论是由已知事项推出的事项这种命题常可写成“如果那么”的形式其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论例如，在命题“对顶角相等”中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论公理与定理一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。即数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem） 例如，运用公

4、理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等”证明（1）证明的概念根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明（2）证明的一般步骤理解题意；根据题意正确画出图形；根据题意写出“已知”和“求证”；分析题意，探索证明的思路；依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善4尺规作图（1）什么叫做尺规作图？限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图（2）基本用尺规作图作线段，使它等于已知线段的长；作角，使它等于已知角；画一条直线的垂线；画一条线段的垂直平

5、分线；画一个角的角平分线（二）性质与判定梳理1全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等全等三角形的对应边、对应角分别相等2全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：sss ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：asa；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：aas；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：sas若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（hl）。由此可

6、以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等（5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件从而得到判定两个三角形全等的思路有：已知一边一角已知两边 已知两角 （6）学会辨认全等三角形的对应元素辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知abcefd，这种记法意味着a与e、b与f、c

7、与d对应，则三角形的边ab与ef、bc与fd、ac与ed对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角3如何证明一个命题是假命题如果要证明或判断一个命题是假命题，怎么办？只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这称为“举反例”（三）基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：1平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 图3它们可看成有对应边在一直

8、线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到2对称型 如图4，下面几种图形属于对称型：图4 图5它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点3旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型：它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在图6（1）对顶角、某些角的和 或差中 三、易混、易错点剖析1探索两个三角形全等时，要注意两个特例（1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的两个三角形不一定全等；如图6（1）中的两个三角形的每个图6（2）角都是60，但这两个三角形显然不全等；（

9、2）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如图6（2），中的abc和abd中，虽然有ab=ab，ac=ad，b=b，但它们显然不全等2在判定三角形全等时，还要注意的问题在判定三角形全等时，应做到以下几点：（）根据已知条件与结论认真分析图形；（）准确无误的确定每个三角形的六个元素；（）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；（）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；（）想办法找出所需的条件来3命题难辨问题将判断一个语句是否是命题与命题的真假混淆，无论正、误，只要对一件事情做出了判断的语句都是命题；对于某些命题不能准确找出条件和结论，为此，可先将该命题该成“如果，那

10、么”的形式，再来区别4证明杂乱无章问题对于命题的证明有时只凭经验或观察或特殊情况下进行说明，最后写出结果，没有具体的推理过程或推理过程没有条理，杂乱无章，在证明命题时，必须严格按照证明的步骤，从条件或已知的结论出发，一步一步地、有理有据的推理5尺规作图乱写乱画问题对于尺规作图有的同学不是按尺规作图的要求，随手乱画，不规矩、不条理，语言表达能力差，作图痕迹不明显等问题四、热点、考点透视热点1；全等三角形的判定例1（2006年乐山市）如图7（1），e、f分别是平行四边形abcd的边ba、dc延长线上的点，且ae=cf，ef交ad于g，交bc于h（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任

11、何辅助线）（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明我选择的是： 解：（1）2，aegcfh和behdfg（2）如求证明：aegcfh图7（2）证明：在平行四边形abcd中，有bag=hcd，图7（1）所以eag=1800bag=1800hcd=fch图6又因badc，所以e=f又因ae=cf，所以aegcfh点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明热点2：尺规作图及应用例2（2006年浙江省湖州市）已知rtabc中，c=90º（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）作bac的平分线ad交bc

12、于d；作线段ad的垂直平分线交ab于e，交ac于f，垂足为h；连接ed（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：_；_并选择其中一对加以证明 解：（1）画图略（2）相似三角形有：ahfacd；aheacd；dheacd；bdebca等全等三角形有：ahfahe；ahedhe；ahfdhe证明：（略）点评：本题首先考查学生的作图能力，然后在尺规作图的基础上， 进一步考查学生的全等与相似三角形的判定与证明能力热点3：全等三角形的应用图8（1）例3（2006年枣庄市）两个全等的含300, 600角的三角板ade和三角板abc，如图8（1）放置，e，a，c三点在一条直线上

13、，连结bd，取bd的中点m，连结me，mc试判断emc的形状，并说明理由解：emc是等腰直角三角形 证明：由题意，得：de=ac，daebac900，dab=900.连接amdm=mb，ma=db=dm,mda=mab=450，mde=mac=1050，图8（2）edmcam ，em=mc, dme=amc ，又emc=ema+amc=ema+dme=900，cmem所以emc是等腰直角三角形点评：这是一道小小的以学生比较熟悉的学具为背景的拼图、猜想、证明题，它的特点是：贴近生活，背景简单，易于操作，结论易得，证明方法多种多样，能考查学生的善于发现，敢于猜想，只要稍微动手测量，问题便不难解决热

14、点4：条件组装自编命题例4（2006年内江市）如图9，在abd和ace中，有下列四个等式：ab=ac ad=ae 1=2bd=ce.请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）（提示：答案不唯一）点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中21ecba图9ecdba图10有的是假命题，请同学们注意分辨五、链接中考1（2006年攀枝花市）如图10，点e在ab上，ac=ad，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件为 ，你得到的一对全等三角形是 （提示：可选择等条件中

15、的一个。可得到， 证明过程略）2（江苏省淮安市2006年中考题）如图11，ab=cd=ed，ad=eb，bede，垂足为e(1)求证：abdedb图11(2)只需添加一个条件，即_，可使四边形abcd为矩形.请加以证明.提示：(1)证明略(2)添加abcd，或添加ad=bc或be=bc或a=adc或adc=90°或a=c或c=90°或abd=bdc或a=abc或adb=dbc或abc=90°等.证明略.3（2006年江阴市）已知，如图12，abc是等边三角形，过ac边上的点d作dgbc，交ab于点g，在gd的延长线上取点e，使dedc，连接ae、bd（1）求证：aged