空间几何体的表面积与体积经典实用

1、空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积本章内容本章内容1.1 空间几何体的结构空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积第一章小结第一章小结空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体柱体、锥体、台体的表面积与体积的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积空间几何体的表面积与体积柱体、锥体、台体1.3.1的表面积与体积返回目录返回目录空间几何体的表面积与体积1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积怎样计算棱柱、棱锥、棱台的表面积怎样计算?2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积怎样计算圆柱、

2、圆锥、圆台的表面积怎样计算?3. 柱体、锥体、台体的体积怎样计算柱体、锥体、台体的体积怎样计算?4. 组合体的体积怎样计算组合体的体积怎样计算?空间几何体的表面积与体积1. 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 问题问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样的平面图形组成样的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计你能计算它们的表面积吗算它们的表面积吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由底面、侧面的各棱柱、棱锥、棱台的表面是由底面、侧面的各

3、个多边形组成个多边形组成, 各多边形的面积之和即为它们的表各多边形的面积之和即为它们的表面积面积.空间几何体的表面积与体积1. 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 问题问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样的平面图形组成样的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计你能计算它们的表面积吗算它们的表面积吗? 圆柱、圆锥、圆台的表面是由底面圆和侧面组圆柱、圆锥、圆台的表面是由底面圆和侧面组成成. 将侧面展开成平面将侧面展开成平面, 就

4、能求侧面积就能求侧面积.空间几何体的表面积与体积 例例 1. 已知棱长为已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面各面均为等边三角形的四面体体 s-abc, 求它的表面积求它的表面积.sabcd解解: 这四面体的表面是由这四面体的表面是由 4 个全等个全等的等边三角形组成的等边三角形组成,所以它的表面积所以它的表面积 s = = 4ssbc在在sbc中中, 边长为边长为 a, sd为为bc边上的高边上的高.则则 sd = =22bdsb 22)2(aa = =,23a= =于是得于是得 ssbc= =sdbc 21aa2321 = =,432a= =所以所以, 这个四面体的表面积为这个四面体的

5、表面积为2434as = =.32a= =空间几何体的表面积与体积 问题问题 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开成平面圆柱、圆锥、圆台的侧面展开成平面后各是什么图形后各是什么图形? 这些图形的面积你会计算吗这些图形的面积你会计算吗?oo rhs圆柱侧圆柱侧 = =osrls圆锥侧圆锥侧 = =s圆台侧圆台侧 = =2p p rh.= =p p rl.= =p p l (r+ +r ).(变态梯形变态梯形)c:变变态态三三角角形形cl21c:c oo rr l)(21ccl+ + 空间几何体的表面积与体积 例例2. 如图如图, 一个圆台形花盆盆口直径为一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm, 盆底直

6、径为盆底直径为 15 cm, 底部渗水圆孔直径为底部渗水圆孔直径为 1.5 cm, 盆盆壁长壁长 15 cm, 为了美化花盆外观为了美化花盆外观, 需要涂油漆需要涂油漆. 已知已知每平方米用每平方米用100毫升油漆毫升油漆, 涂涂100个这样的花盆需要多个这样的花盆需要多少油漆少油漆 (p p 取取3.14, 结果精确到结果精确到 1 毫升毫升, 可用计算器可用计算器)?解解: 因为花盆的盆口是空的因为花盆的盆口是空的,所以外观表面积是侧面积加盆底所以外观表面积是侧面积加盆底面积面积, 再减去渗水孔的面积再减去渗水孔的面积.s = = s侧侧 + + s底底 s小孔小孔22)25 . 1()2

7、15()215()220(15p pp pp p + + += =999.1 (cm2)答答: 大约需要大约需要1000毫升油漆毫升油漆.= = 0.09991 (m2),100 0.09991 100999.1 (毫升毫升).空间几何体的表面积与体积练习练习: (课本课本27页页)第第 1、2 题题.练习练习: (补充补充) 如图是一个四棱台如图是一个四棱台, 它的下底是一个边长为它的下底是一个边长为10 cm 的正方形的正方形, 上底是边长为上底是边长为 6 cm 的正方形的正方形, 侧面是全等侧面是全等的梯形的梯形, 梯形的高为梯形的高为 8 cm, 求这个棱台的表面积求这个棱台的表面积

8、.空间几何体的表面积与体积练习练习: (补充补充) 如图是一个四棱台如图是一个四棱台, 它的下底是一个边长为它的下底是一个边长为10 cm 的正方形的正方形, 上底是边长为上底是边长为 6 cm 的正方形的正方形, 侧面是全等侧面是全等的梯形的梯形, 梯形的高为梯形的高为 8 cm, 求这个棱台的表面积求这个棱台的表面积.解解: 此棱台的表面由上底、下底此棱台的表面由上底、下底和侧面的和侧面的 4 个梯形组成个梯形组成, 它的表面它的表面积为积为:s = = s上底上底 + s下底下底 + 4s梯形梯形)610(821410622+ + + + += = = 392 (cm2),即这个棱台的表

9、面积为即这个棱台的表面积为392平方厘米平方厘米.空间几何体的表面积与体积练习练习: (课本课本27页页) 1. 已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为 a m2, 且它的侧面展开且它的侧面展开图是一个半圆图是一个半圆, 求这个圆锥的底面直径求这个圆锥的底面直径.解解: 设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为 r, 母线长为母线长为 l,因为侧面展开图是一个半圆因为侧面展开图是一个半圆, 所以有所以有2p p r = = p p l,得得 l = = 2r,又由表面积得又由表面积得解得解得,33p pp par = =则直径则直径 2r = =,332p pp pa答答: 这个圆锥的底面直径是这个

10、圆锥的底面直径是.cm 332p pp parl,2122alr= =+ +p pp p,)2(2122arr= =+ +p pp p空间几何体的表面积与体积 2. 如图是一种机器零件如图是一种机器零件, 零件零件下面是六棱柱下面是六棱柱 (底面是正六边形底面是正六边形, 侧侧面是全等的矩形面是全等的矩形) 形形, 上面是圆柱上面是圆柱 (尺寸如图尺寸如图, 单位单位: mm) 形形, 电镀这电镀这种零件需要用锌种零件需要用锌, 已知每平方米用已知每平方米用锌锌 0.11 kg, 问电镀问电镀 10000个零件需个零件需要锌多少千克要锌多少千克? (结果精确到结果精确到 0.01 kg)612

11、525解解: 这个零件的表面积为这个零件的表面积为s = = s棱柱表棱柱表+ +s圆柱侧圆柱侧2565126)1224(362 + + + + + = =p p1579.485 (mm2),10000个零件的表面积约为个零件的表面积约为15794850 mm2,约合约合15.795平方米平方米.空间几何体的表面积与体积 2. 如图是一种机器零件如图是一种机器零件, 零件零件下面是六棱柱下面是六棱柱 (底面是正六边形底面是正六边形, 侧侧面是全等的矩形面是全等的矩形) 形形, 上面是圆柱上面是圆柱 (尺寸如图尺寸如图, 单位单位: mm) 形形, 电镀这电镀这种零件需要用锌种零件需要用锌, 已

12、知每平方米用已知每平方米用锌锌 0.11 kg, 问电镀问电镀 10000个零件需个零件需要锌多少千克要锌多少千克? (结果精确到结果精确到 0.01 kg)612525解解: 这个零件的表面积为这个零件的表面积为s = = s棱柱表棱柱表+ +s圆柱侧圆柱侧2565126)1224(362 + + + + + = =p p1579.485 (mm2),10000个零件的表面积约为个零件的表面积约为15794850 mm2,约合约合15.795平方米平方米.0.11 15.795 1.737 (kg),答答: 电镀电镀 10000个零件约需要锌个零件约需要锌1.74千克千克.空间几何体的表面积

13、与体积2. 柱体、锥体与台体的体积柱体、锥体与台体的体积 问题问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的体积公式吗体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何由此类推柱体和锥体的体积公式如何?你想想台体的体积怎样求你想想台体的体积怎样求?柱体体积柱体体积: v柱柱 = = sh (s 为底面面积为底面面积, h为柱体高为柱体高).锥体体积锥体体积:shv31= =锥锥 (s 为底面面积为底面面积, h为柱体高为柱体高).台体体积台体体积: v台台 = = v大锥体大锥体 v小锥体小锥体),(31小小大大hssh = =s 为上底面积为上底面积,(s为下底

14、面积为下底面积, ,)( 2hhhhhss= = = = 小小大大大大小小).(31 sssshv + + + += =台台h 为台高为台高).空间几何体的表面积与体积 例例3. 有一堆规格相同的铁制有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是铁的密度是 7.8 g / cm3) 六角螺帽共重六角螺帽共重 5.8 kg, 已知底面是正六边形已知底面是正六边形, 边边长为长为 12 mm, 内孔直径为内孔直径为 10 mm, 高为高为 10 mm, 问问这堆螺帽大约有多少个这堆螺帽大约有多少个 (p p 取取 3.14)?解解: 每一个螺帽的体积为每一个螺帽的体积为v = = v棱柱棱柱 v圆柱圆柱105

15、10)2412(362 + + = =p p2956 (mm3)= = 2.956 (cm3),7.8 2.956= =23.0568 (g) = = 0.0230568 (kg),5.8 0.0230568252 (个个).答答: 这堆螺帽大约有这堆螺帽大约有252个个.空间几何体的表面积与体积习题习题 1.3a 组组第第 3 题题.【练习练习】空间几何体的表面积与体积 3. 如图如图, 将一个长方体沿相邻三将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥个面的对角线截出一个棱锥, 求棱锥求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比的体积与剩下的几何体体积的比.解解: 设长方体的长、宽、高分别设长方体的长

16、、宽、高分别为为 a、b、c,abc则长方体的体积为则长方体的体积为v长方体长方体 = = abc,三棱锥看成如图的三棱锥看成如图的 s-abc, 则体积为则体积为sabcbacv)21(31= =三三棱棱锥锥,61abc= = 棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为三棱锥三棱锥长方体长方体三棱锥三棱锥剩剩棱锥棱锥vvvvv = =.51= =空间几何体的表面积与体积【课时小结课时小结】1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积各个面多边形的面积之和各个面多边形的面积之和.2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积底面积加侧面积底面积加

17、侧面积.底面积底面积: s底底= =p p r2.圆柱侧面积圆柱侧面积: s柱侧柱侧= =2p p rh.圆锥侧面积圆锥侧面积: s锥侧锥侧= =p p rl.圆台侧面积圆台侧面积: s台侧台侧= =p p l (r+ +r ).空间几何体的表面积与体积【课时小结课时小结】柱体体积柱体体积: v柱柱 = = sh.锥体体积锥体体积:shv31= =锥锥台体体积台体体积:).(31sssshv + + + += =台台3. 柱体、锥体、台体体积柱体、锥体、台体体积空间几何体的表面积与体积习题习题 1.3a 组组第第 1、2、4、5、6 题题.空间几何体的表面积与体积习题习题 1.3 1. 五棱台

18、的上、下底面均是正五边形五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分边长分别是别是 8 cm 和和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形侧面是全等的等腰梯形, 侧棱侧棱长是长是 13 cm, 求它的侧面面积求它的侧面面积.解解: 所求侧面面积是所求侧面面积是5个等腰梯形之和个等腰梯形之和,一个梯形的高为一个梯形的高为8181322)2818(13 = =h= = 12, s侧侧 = =12)188(215 + + = = 780 (cm2),答答: 这个五棱台的侧面积是这个五棱台的侧面积是780平方厘米平方厘米.a 组组空间几何体的表面积与体积 2. 已知圆台的上下底面半径分别是已知圆台的上下底面半

19、径分别是 r、r, 且侧面且侧面面积等于两底面积之和面积等于两底面积之和, 求圆台的母线长求圆台的母线长.解解: 由已知得由已知得p p l (r+ +r) = = p p (r2+ +r2),解得解得,22rrrrl+ + += =即圆台的母线长为即圆台的母线长为.22rrrr+ + +空间几何体的表面积与体积 4. 如图如图, 一个三棱柱形容器中盛有水一个三棱柱形容器中盛有水, 且侧棱且侧棱aa1 = = 8, 若侧面若侧面 aa1b1b 水平放置时水平放置时, 液面恰好过液面恰好过 ac, bc, a1c1, b1c1 的中的中点点. 当底面当底面abc 水平放置水平放置时时, 液面高为

20、多少液面高为多少?abca1b1c1解解:如图中盛有水部分如图中盛有水部分是一个四棱柱是一个四棱柱, 其高为其高为aa1= =8,底面积是底面积是abc面积的面积的,43则水的体积为则水的体积为843 = = abcsv水水= = 6sabc,当底面当底面abc水平方置时水平方置时,a b c abchv水水= =hsabc= = 6sabc,得得 h = = 6.答答: 液面高为液面高为 6 个单位个单位.空间几何体的表面积与体积 5. 如图是一个烟筒的直观图如图是一个烟筒的直观图 (单位单位: cm), 它的下部是一个四棱台它的下部是一个四棱台 (上、下底上、下底面均是正方形面均是正方形,

21、 侧面是全等的等腰梯形侧面是全等的等腰梯形) 形物体形物体; 上部是一个四棱柱上部是一个四棱柱 (底面与四底面与四棱台的上底面重合棱台的上底面重合, 侧面是全等的矩形侧面是全等的矩形) 形物体形物体, 为防止雨水的侵蚀为防止雨水的侵蚀, 增加美观增加美观, 需要粘贴瓷砖需要粘贴瓷砖, 需要瓷砖多少平方厘米需要瓷砖多少平方厘米 (结果精确到结果精确到 1 cm2)?解解: 此问题是求棱台和棱柱的侧面积之和此问题是求棱台和棱柱的侧面积之和.棱台侧面的梯形高为棱台侧面的梯形高为22)24050(10 = =h, 35= = s = s台侧台侧+ +s柱侧柱侧80404)5040(35214 + +

22、+ = =14359 (cm2).(答略答略)空间几何体的表面积与体积 6. 我国铁路路基是用碎石我国铁路路基是用碎石铺设的铺设的 (如图如图), 请你查询北京请你查询北京到上海的铁路长度到上海的铁路长度, 并估计所并估计所用碎石方数用碎石方数 (结果精确到结果精确到 1 m3).资料资料: 京沪铁路全长京沪铁路全长1462 km,京沪高铁全长京沪高铁全长1318 km.解解: 按普铁计算按普铁计算,14620003 . 0)5 . 32(21 + += =v= = 1260150 (m3),答答: 估计需要估计需要1260150方碎石方碎石.空间几何体的表面积与体积1.3.2球的体积球的体积

23、和表面积和表面积返回目录返回目录空间几何体的表面积与体积 1. 球的体积公式是怎样的球的体积公式是怎样的? 是用什么方是用什么方法得到的法得到的? 2. 球的表面积公式是怎样的球的表面积公式是怎样的? 是用什么是用什么方法得到的方法得到的?空间几何体的表面积与体积 问题问题 1. 球的体积能像柱体和锥体那样求得吗球的体积能像柱体和锥体那样求得吗? 将一个西瓜切成很薄的一些片将一个西瓜切成很薄的一些片, 每片可以近似地看每片可以近似地看作一个什么几何体作一个什么几何体? 由此请你想一想由此请你想一想, 用什么样的用什么样的方法求得球的体积方法求得球的体积?1. 球的体积球的体积将球体如图切片将球

24、体如图切片:抽出其中的一片抽出其中的一片,这圆片近似于一个圆柱这圆片近似于一个圆柱, 根据圆柱的体积公式即可求根据圆柱的体积公式即可求圆片的体积圆片的体积, 各圆片的体积之和即为球的各圆片的体积之和即为球的体积体积.空间几何体的表面积与体积已知球的半径为已知球的半径为 r, 取半球取半球 (如图如图).将半球均匀地切成将半球均匀地切成 n 片片,各片体积分别为各片体积分别为 v1, v2, v3, , vn,则则 v球球= 2 v半球半球 .从下到上第从下到上第 k 片的下底半径为片的下底半径为22) 1(nrkrrk = =,) 1(22 = =knnr每片近似地看成一个圆柱每片近似地看成一

25、个圆柱,则第则第 k 片的体积为片的体积为则则 v球球 = = 2(v1+ +v2+ + + +vn).,nr厚厚度度为为nrrvkk2 p p= =,)1(1323nknr = =p pv球球 = =rkr2p pr3) 1(1) 12(1) 11 (1 323232nnnnnnn + + + + + rkk 1片片空间几何体的表面积与体积rrkv球球 = = 2p pr3) 1(1) 12(1) 11 (1 323232nnnnnnn + + + + + 空间几何体的表面积与体积rrk) 1(2101 2322223nnr + + + + + = =p p)12( ) 1(6111 233

26、 = =nnnnrp p,6121311 223nnr + + = =p p当半球切得的片数无限多当半球切得的片数无限多, 0 6121 ,2接接近近于于此此时时nn 各片体积越精确各片体积越精确,.34 ,3rvp p= =球球于于是是即即 n 无限大时无限大时,v球球 = = 2p pr3) 1(1) 12(1) 11 (1 323232nnnnnnn + + + + + 空间几何体的表面积与体积 例例(补充补充). 某街心花园有许多钢球某街心花园有许多钢球(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm3). 每个钢球重每个钢球重 145 kg, 并且外径等于并且外径等于 50 cm, 试根据以上数

27、据试根据以上数据, 判断钢球是实心的还是空心的判断钢球是实心的还是空心的. 如如果是空心的果是空心的, 请你计算出它的内径请你计算出它的内径 (p p 取取 3.14, 结果精结果精确到确到1 cm).解解: 按外径求出钢球的体积为按外径求出钢球的体积为3)250(34p p= =v65449.847 (cm3),如果是实心球如果是实心球, 则球重应为则球重应为7.9 65449.847517053.791 (g)517.054 (kg) 145 kg, 球是空心的球是空心的.设内径为设内径为 r, 则则空间几何体的表面积与体积 例例(补充补充). 某街心花园有许多钢球某街心花园有许多钢球(钢

28、的密度是钢的密度是7.9g/cm3). 每个钢球重每个钢球重 145 kg, 并且外径等于并且外径等于 50 cm, 试根据以上数据试根据以上数据, 判断钢球是实心的还是空心的判断钢球是实心的还是空心的. 如如果是空心的果是空心的, 请你计算出它的内径请你计算出它的内径 (p p 取取 3.14, 结果精结果精确到确到1 cm).解解: 按外径求出钢球的体积为按外径求出钢球的体积为3)250(34p p= =v65449.847 (cm3),如果是实心球如果是实心球, 则球重应为则球重应为7.9 65449.847517053.791 (g)517.054 (kg) 145 kg, 球是空心的

29、球是空心的.设内径为设内径为 r, 则则解得解得 r22.4 (cm),答答: 这个球是空心球这个球是空心球, 它的内径约为它的内径约为44.8 cm.00014534)250(349 . 733= = rp pp p2r44.8 (cm).空间几何体的表面积与体积 已知球已知球 o1、球、球o2、球、球o3 的体积比为的体积比为 1 : 8 : 27, 求它们的半径比求它们的半径比.解解: 由题意得由题意得 v1: v2: v3 = = 1 : 8 : 27,27:8:134:34:34 3 33 23 1= =rrrp pp pp p即即得得 r13 : r23 : r33 = = 1 :

30、 8 : 27, r1 : r2 : r3 = = 1 : 2 : 3,即即 球球 o1、球、球o2、球、球o3 的半径之比为的半径之比为 1 : 2 : 3.练习练习: (补充补充)空间几何体的表面积与体积2. 球的表面积球的表面积 问题问题2. 在求球的体积时在求球的体积时, 我们用切片的方法将我们用切片的方法将球分割成很多个近似圆柱球分割成很多个近似圆柱. 从中你能否得到启示从中你能否得到启示, 怎怎样将球的表面分割成某平面图形样将球的表面分割成某平面图形, 以求球的表面积以求球的表面积?如图如图, 将球表面进行经纬网状将球表面进行经纬网状将每小片的四顶点与球心连结将每小片的四顶点与球心

31、连结,截割出截割出 n 个近似棱锥个近似棱锥.其底面积为分别为其底面积为分别为s 1、s 2、分割成分割成 n 小片小片, s n, 高近似为高近似为r.则球体积则球体积= =334rp p)(3121nsssr + + + + + = =rsrsrsn + + + + + 31313121空间几何体的表面积与体积2. 球的表面积球的表面积 问题问题2. 在求球的体积时在求球的体积时, 我们用切片的方法将我们用切片的方法将球分割成很多个近似圆柱球分割成很多个近似圆柱. 从中你能否得到启示从中你能否得到启示, 怎怎样将球的表面分割成某平面图形样将球的表面分割成某平面图形, 以求球的表面积以求球的

32、表面积?如图如图, 将球表面进行经纬网状将球表面进行经纬网状将每小片的四顶点与球心连结将每小片的四顶点与球心连结,截割出截割出 n 个近似棱锥个近似棱锥.其底面积为分别为其底面积为分别为s 1、s 2、分割成分割成 n 小片小片, s n, 高近似为高近似为r.则球体积则球体积= =334rp p)(3121nsssr + + + + + = =rsrsrsn + + + + + 31313121,31球表面球表面rs= = s表球面表球面 = = 4p pr2.解得解得空间几何体的表面积与体积 例例4 如图如图, 圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证求证:

33、 (1) 球的体积等于圆柱体积的球的体积等于圆柱体积的 (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积.;32ro证明证明: (1);343rvp p= =球球v柱柱 = = p pr22r33234rrvvp pp p= =柱柱球球= = 2p pr3.,32= =.32 柱柱球球得得vv= =即球的体积等于圆柱体积的即球的体积等于圆柱体积的.32空间几何体的表面积与体积 例例4 如图如图, 圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证求证: (1) 球的体积等于圆柱体积的球的体积等于圆柱体积的 (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的

34、侧面积.;32ro证明证明: (2) s球面球面= = 4p pr2,s柱侧柱侧 = = 2p pr2r = = 4p pr2,即即 球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. s球面球面= = s柱侧柱侧.空间几何体的表面积与体积练习练习: (课本课本28页页)第第 1、2、3 题题.空间几何体的表面积与体积 1. 将一个气球的半径扩大将一个气球的半径扩大 1 倍倍, 它的体积增大它的体积增大到原来的几倍到原来的几倍?解解: 设原来气球的半径为设原来气球的半径为r, 则扩大后的半径则扩大后的半径为为2r,所以原来气球的体积为所以原来气球的体积为,343rp p扩大后气球的体积为扩

35、大后气球的体积为3)2(34rp p).34(83rp p= =答答: 气球扩大后的体积增大到原来的气球扩大后的体积增大到原来的 8 倍倍.练习练习: (课本课本30页页)空间几何体的表面积与体积 2. 一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上, 它的棱长是它的棱长是 a cm, 求球的体积求球的体积.ocdd1aba1b1c1解解: 如图如图,由正方体与球的对称性由正方体与球的对称性,正方体的对角线长就是球的直径正方体的对角线长就是球的直径.正方体的棱长为正方体的棱长为a cm,球的半径球的半径 r = =,cm 23a则则 球的体积为球的体积为334rvp p= =3)23(3

36、4ap p= =).( 2333cmap p= =空间几何体的表面积与体积 3. 一个球的体积是一个球的体积是 100 cm3, 试计算它的表面积试计算它的表面积 (p p 取取 3.14, 结果精确到结果精确到 1 cm2).解解: 由由 解得解得100343= =rp pr2.879 (cm),则球的表面积为则球的表面积为s = = 4p pr2104 (cm2).答答: 这个球的表面积约为这个球的表面积约为104平方厘米平方厘米.空间几何体的表面积与体积【课时小结课时小结】1. 球的体积球的体积.343rvp p= =球球2. 球的表面积球的表面积 s表球面表球面 = = 4p pr2.

37、空间几何体的表面积与体积习题习题 1.3b 组组第第 1、2、3 题题.空间几何体的表面积与体积习题习题1.3b 组组 1. 如图是一个奖杯的三视图如图是一个奖杯的三视图, 试根据奖杯的三试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积视图计算它的表面积和体积 (尺寸如图尺寸如图, 单位单位: cm, p p 取取 3.14, 结果精确到结果精确到 1 cm3).解解: 这个奖杯由球、这个奖杯由球、四棱柱、四棱台组成四棱柱、四棱台组成.s= =s台全台全+ +s柱侧柱侧+ +s球表面球表面表面表面积积: + + + + = =522128121620s棱台侧面梯形的高为棱台侧面梯形的高为, 522422

38、= =+ +)8162012(+ + + + +(8+ +4) 2 20+ +4p p 221197 (cm2).4202201216 8正视图正视图俯视图俯视图侧视图侧视图84空间几何体的表面积与体积习题习题1.3b 组组 1. 如图是一个奖杯的三视图如图是一个奖杯的三视图, 试根据奖杯的三试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积视图计算它的表面积和体积 (尺寸如图尺寸如图, 单位单位: cm, p p 取取 3.14, 结果精确到结果精确到 1 cm3).解解: 这个奖杯由球、这个奖杯由球、四棱柱、四棱台组成四棱柱、四棱台组成.v= =v台台+ +v柱柱+ +v球球体积体积:)1620812

39、1620812(231 + + + + = =+ +4 8 201067 (cm3).4202201216 8正视图正视图俯视图俯视图侧视图侧视图843214. 334 + +(答略答略)空间几何体的表面积与体积 2. 已知三棱柱已知三棱柱abc-a b c 的侧面均是矩形的侧面均是矩形, 求求证证: 它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积积.a b c abc证明证明:设设 ab= =a, bc= =b, abcca= =c, aa = =h,sabb a + + sacc a = =hah+ +ch = = h(a+ +c),sbcc b = = bh, , a+ +cb, h(a+ +c)bh,即即 sabb a + + sacc a sbcc b .同理可证同理可证 sabb a + + sbcc b sacc a ,sbcc b + + sacc a sab