2020-2021学年河北省高考数学模拟试卷(理科)及答案解析

1、河北省 高考 数学模拟试卷（理科） （解析版）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图， I 为全集， M、P、S 是 I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A（MP）S B（MP）S C（MP）CIS D（ MP） CIS【分析】先根据图中的阴影部分是 MP的子集，但不属于集合 S，属于集合 S 的补集，然后用 关系式表示出来即可【解答】解：图中的阴影部分是：MP 的子集，不属于集合 S，属于集合 S 的补集即是 CIS 的子集则阴影部分所表示的集合是（ MP）?IS 故选： C【点评】本题主要考查了

2、 Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题2设 i 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论【解答】解：=i（ 1+i）=1+i，对应复平面上的点为（ 1，1），在第二象限， 故选： B【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础3已知函数 f（x）的定义域为 （3 2a，a+1），且 f（x+1）为偶函数， 则实数 a的值可以是 （ ） AB 2C4D 6【分析】 函数 f（x+1）为偶函数， 说明其定义域关于 “0”对称，函数 f（x）

3、的图象是把函数 f（ x+1） 的图象向右平移 1个单位得到的，说明 f（x）的定义域（ 3 2a，a+1）关于 “1”对称，由中点坐 标公式列式可求 a 的值【解答】解：因为函数 f（x+1）为偶函数，则其图象关于 y 轴对称，而函数 f（x）的图象是把函数 f（ x+1）的图象向右平移 1 个单位得到的，所以函数 f（x）的图象 关于直线 x=1 对称又函数 f（ x）的定义域为（ 3 2a，a+1），所以（ 32a）+（a+1） =2，解得： a=2 故选 B【点评】 本题考查了函数图象的平移， 考查了函数奇偶性的性质， 函数的图象关于 y 轴轴对称是 函数为偶函数的充要条件，此题是基础

4、题4设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为 （ ）22A a BCD 5a【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积解答】 解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱， 上下底面中心连线的中点就是故选 B【点评】 本题主要考查空间几何体中位置关系、 球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力5如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（ ）20 D 24分析】 由已知中的三视图， 可知该几何体是一个半圆台挖去一个

5、半圆柱的组合体，分别求出半圆台和半圆柱的体积，相减可得答案解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，半圆台的下底面为半径等于 4，上底面为半径等于 1，高为 4，半圆柱的底面为半径等于 1，高为 4，该几何体的体积为 V 几何体 =× ×(12+1×4+42) ×4××12×4=12故选： A点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键6执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为 2，则输入的正整数 a 的可能取值的集合是 （ ）A1，

6、2，3，4，5 B1，2，3，4， 5，6C2，3，4，5 D2，3，4，5，6【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a 的不等式组，解不等式组可得正整数 a 的可能取值的集合【解答】解：输入 a 值，此时 i=0，执行循环体后， a=2a+3，i=1，不应该退出； 再次执行循环体后， a=2（ 2a+3） +3=4a+9， i=2，应该退出；故，解得： 1<a5， 故输入的正整数 a 的可能取值的集合是 2， 3， 4， 5， 故选： C【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于 a 的不等式组，是解答的关键7已知点 P是抛物线

7、 x2=4y上的一个动点，则点 P到点 M（2，0）的距离与点 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为（ ）ABC2D【分析】利用抛物线的定义，将抛物线x2=4y上的点 P到该抛物线准线的距离转化为点 P 到其焦点 F的距离，当 F、P、M 共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值【解答】解： 抛物线 x2=4y 的焦点 F的坐标为 F（0，1），作图如下，抛物线 x2=4y的准线方程为 y=1，设点 P到该抛物线准线 y=1 的距离为 d， 由抛物线的定义可知， d=|PF|，|PM|+d=|PM|+|PF|FM|（当且仅当 F、P、M三点共线时（ P在 F，M中间）时取等号）， 点

8、 P 到点 M（2，0）的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，F（0，1）， M（ 2， 0）， FOM为直角三角形，|FM|= ， 故选 B点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属 于中档题*8已知数列 an，bn，满足 a1=b1=3， an+1 an=3，n N ，若数列 cn满足 cn=b，则 c2013=（）2012 2012 2013 2013A 92012 B 27 2012 C92013 D272013【分析】本题可先等差数列 an和等比数列 bn的通项，再利用数列 cn的通项公式得到所求结论【解答】解： 数列 a

9、n，满足 a1=3， an+1 an=3， nN*，an=a1+（ n1）d=3+3（n1） =3n=3，数列 bn，满足 b1=3，n N ，数列 cn满足 cn=b=b6039=36039=272013故选 D再用通项公式求出新数列【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项， 中的项，本题思维量不大，属于基础题的最大值是（9点（ x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标分析】函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则由题设条件， 目标函数 z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上AC上取到， 即 x+ay

10、=0 应与的几何意义求出答案即可而不是在顶点上， 故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界 直线 AC平行，进而计算可得 a 值，最后结合目标函数解答】解：由题意，最优解应在线段AC 上取到，故 x+ay=0应与直线 AC平行kAC=，=1，则 a= 1，表示点 P（ 1，0）与可行域内的点 Q（x，y）连线的斜率，由图得，当 Q（ x，y） =C（4， 2）时， 其取得最大值，最大值是 = 故选： B点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出 最优解的位置求参数，属于中档题10已知 O：x2+y2=1，若直线 y= x+2 上总存在点 P，使得过点

11、 P 的O的两条切线互相垂直， 则实数 k 的取值范围为（ ）A k1 B k>1 Ck2 D k> 2分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为O（ 0， 0）到直线 y= x+2 的距离小于或等于 ，再由点到直线的距离公式得到关于 k 的不等式求解22【解答】解： O：x2+y2=1 的圆心为：（ 0， 0），半径为 1，y= x+2 上存在一点 P，使得过 P的圆 O的两条切线互相垂直， 在直线上存在一点 P，使得 P到 O（0，0）的距离等于，只需 O（0，0）到直线 y= x+2 的距离小于或等于 ，故，解得 k1，故选： A是解决问【点评】本题考查直线和圆的位置关系，由

12、题意得到圆心到直线的距离小于或等于 题的关键，属中档题11已知 A， B为双曲线 E的左，右顶点，点 M在 E上， ABM为等腰三角形，顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ）分析】设 M 在双曲线=1 的左支上，由题意可得M 的坐标为（ 2a，a），代入双曲线方程可得 a=b，再由离心率公式即可得到所求值解答】解：设M 在双曲线=1 的左支上，且 MA=AB=2a， MAB=120°，则 M 的坐标为（ 2a，a）， 代入双曲线方程可得，=可得 a=b，c= = a， 即有 e= = 故选： D【点评】 本题考查双曲线的方程和性质， 主要考查双曲线的离心率的求法， 运用

13、任意角的三角函 数的定义求得 M 的坐标是解题的关键12若 f（ x） =x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x2且 f（ x1） =x1，则关于 x 的方程 3（f（x）2+2af （x）+b=0 的不同实根个数为（）A 2B 3C4D不确定【分析】由函数 f（ x） =x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1， x2，可得 f（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相 22等的实数根，必有 =4a2 12b> 0而方程 3（f（x） 2+2af（x） +b=0 的1=>0，可知此方 程有两解且 f（ x）=x1 或 x2再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或

14、 f（x）=x2解得个数 =4a2 12b>0解得x=解答】解：函数 f（ x） =x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x2，不妨设 x1<x2，f （ x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，x1<x2，=， x2=， x2=2而方程 3（ f（x） +2af（x） +b=0 的 1= >0， 此方程有两解且 f（ x） =x1 或 x2不妨取 0< x1< x2， f（ x1）> 0把 y=f（ x）向下平移 x1个单位即可得到 y=f（x） x1的图象， f （ x1） =x1，可知方程 f（ x）=x1 有两解把 y=f（ x

15、）向下平移 x2个单位即可得到 y=f（x） x2的图象， f（x1）=x1，f（x1） x2< 0，可知方程 f（ x） =x2只有一解 综上 可知：方程 f（x）=x1 或 f（ x）=x2只有 3 个实数解 即关于 x的方程 3（ f（ x） 2+2af（ x） +b=0 的只有 3不同实根故选： B点评】 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、 平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决 问题的能力二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分把答案写在答题卡上）13若的展开式中第 3项与

16、第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为56 【分析】 根据第 2项与第 7项的系数相等建立等式， 求出 n 的值，根据通项可求满足条件的系数 【解答】解：由题意可得，n=8展开式的通项 =令 82r=2 可得 r=5此时系数为 =56故答案为： 56【点评】 本题主要考查了二项式系数的性质， 以及系数的求解， 解题的关键是根据二项式定理写 出通项公式，同时考查了计算能力14已知函数 y=sin（ x+）（ >0， <）的图象如图所示，则 =< ，求出 即可，当 x=时，y 有最小值 1，以及解答】解：由图象知函数 y=sin（x+）的周期为 2（ 2）=当 x=时

17、， y 有最小值 1，因此 ×+=2kkZ）<，=故答案为：点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意 <的应用，考查计算能力215等差数列 an前 n 项和为 Sn已知 am1+am+1 am2=0， S2m1=38，则 m= 10分析】利用等差数列的性质an1+an+1=2an，我们易求出 am 的值，再根据 am 为等差数列 an的前2m 1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到 m 的值解答】解：数列 an为等差数列， an1+an+1=2an，22am1+am+1am =0， 2am am =0 解得：

18、 am=2， 又 S2m1=（2m1） am=38，解得 m=10 故答案为 10点评】本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q 时， am+an=ap+aq，同时利用了等差数列的前n 和公式16如图，已知圆 M：（x3）2+（y3）2=4，四边形 ABCD为圆 M 的内接正方形， E、F分别 为 AB、 AD的中点，当正方形 ABCD绕圆心 M 转动时， 的最大值是 6分析】由题意可得 = + 由 ME MF，可得=0，从而 =求得=6cos< ， >，从而求得 的最大值【解答】解：由题意可得 =， = = + MEMF， =0， = 由题意可得，圆 M

19、的半径为 2，故正方形 ABCD的边长为 2 ，故 ME= ，再由 OM=3 ，可得 = 3 cos< ， > =6cos< ， >， 即=6cos < ， >，故 的最大值是大为 6， 故答案为 6【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤 ） 17凸四边形 PABQ中，其中 A、B 为定点， AB= ， P、 Q为动点，满足 AP=PQ=QB=11）写出 cosA 与 cosQ 的关系式；2）设

20、APB和PQB的面积分别为 S和 T，求 s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面 积【分析】（ 1）在三角形 PAB 中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，在三角形 PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出 PB2，两者相等变形即可得到结果； （2）利用三角形面积公式分别表示出S 与 T，代入 S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化 简，将第一问确定的关系式代入， 利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值， 以及此时 凸四边形 PABQ的面积即可【解答】解：（ 1）在 PAB中，由余弦定理得： PB2=PA2+AB22PAABcosA=1+3 2 cosA=42 cosA

21、，在 PQB 中，由余弦定理得： PB2=PQ2+QB22PQQBcosQ=2 2cosQ，4 2 cosA=22cosQ，即 cosQ= cosA 1；2）根据题意得： S= PAABsinA=sinA，T=PQQBsinQ= sinQ，2 2 2 2 sin2A+ sin2Q= （1cos2A）+ （1cos2Q）=cosAS2+T2=当 cosA时，S2+T2有最大值，此时 S 四边形 PABQ=S+T=点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握 余弦定理是解本题的关键18如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=6

22、0°（）证明 AB A1C；（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值分析】（ ）取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B，由已知可证 OA1AB，AB平面 OA1C，进 而可得 AB A1C；（）易证 OA，OA1，OC两两垂直以 O为坐标原点，的方向为 x 轴的正向， | |为单位长，建立坐标系， 可得 ， ， 的坐标，设 =（ x，y，z）为平面 BB1C1C 的法向量，则>|，即为所求正弦值可解得 =（ ， 1， 1），可求 |cos< ，解答】解：（ ）取 AB 的中点 O，连接OC， OA1，

23、A1B，BAA1=60°，因为 CA=CB，所以 OC AB，由于 AB=AA1， 所以AA1B 为等边三角形，所以 OA1 AB，又因为 OCOA1=O，所以 AB 平面 OA1C， 又 A1C? 平面 OA1C，故 AB A1C；）由（ ）知 OC AB， OA1AB，又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB， 所以 OC 平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC两两垂直以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正向， | | 为单位长，建立如图所示的坐标系，可得 A（ 1， 0， 0）， A1（ 0， ，0），C（0，0， ），B（ 1，0，0），则 =（1， 0， ），

24、 =（1， ， 0），=（ 0， ， ），设 =（x， y， z）为平面 BB1C1C 的法向量，则，即可取 y=1，可得 =（，1， 1），故 cos< ，>=又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线 A1C与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为：点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定， 属难题19 PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级；在35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75 微克

25、 /立方米以上空气质量为超标石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示PM2.5 日均监测数据未超标的概率；PM2.5 监测数据均未超标请计算出这两表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求（）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 （ ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地 天空气质量恰好有一天为一级的概率；（ ）从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据，记的分布列及期望分析】（ I）由茎叶图可知：有 2+4天 PM2.5日均值在 75微克/立方米以下，据此利用古典概 型的概率计算公式即可得出；（II）由茎叶图可知：空气质量为一级

26、的有2 天，空气质量为二级的有 4 天，只有这 6 天空气质量不超标据此可得得出其概率；III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有 2 天，空气质量为二级的有 4天，只有这 6 天空气质 量不超标，而其余 4 天都超标，利用 “超几何分布 ”即可得出解答】解：（ ）记“当天 PM2.5 日均监测数据未超标 ”为事件 A， 因为有 2+4天 PM2.5 日均值在 75微克/立方米以下，=故 P（ A）记 “这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级 ”为事件 B，P（ B）=） 的可能值为 0，1，2，3由茎叶图可知： 空气质量为一级的有 2天，空气质量为二级的有 4天，只

27、有这 6 天空气质量不超标，而其余 4 天都超标P（=2），P=P（=0）=1)，P=3)=的分布列如下表：0123E=点评】正确理解茎叶图和 “空气质量超标 ”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排 列与组合的意义与计算公式是解题的关键20已知椭圆 C：9x2+y2=m2（m>0），直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴， l与 C有两个交点A，B，线段 AB 的中点为 M（1）证明：直线 OM的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点（ ，m），延长线段 OM与 C 交于点 P，四边形 OAPB能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由【分析】（ 1

28、）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论2）四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段 OP 互相平分，即 xP=2xM，建立方程关 系即可得到结论【解答】解：（ 1）设直线 l：y=kx+b，（k0，b0）， A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2（ m> 0），得（ k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，则判别式 =4k2b24（k2+9）（b2m2）> 0，则 x1+x2=12，则 xM=，yM=kxM+b=于是直线 OM 的斜率即 kOMk= 9，直线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值

29、2）四边形 OAPB 能为平行四边形直线 l 过点2 2 2 2 2由判别式 =4k2b24（k2+9）（ b2 m2）> 0，即 k2m2> 9b29m 2，b=mm，22k2m2>9m m ）2 9m ，即 k2> k2 6k， 则 k> 0，l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0，k3，由（ 1）知 OM的方程为 y=设 P 的横坐标为 xP，将点（，m）的坐标代入 l 的方程得 b=即 l 的方程为 y=kx+将yx，代入 y=kx+，即利用根与0 时原函数即 时，得 kx+ 解得 xM=四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线

30、段 OP 互相平分，即 xP=2xM于是=2×，解得 k1=4 或 k2=4+ ， ki>0，ki3，i=1， 2，当 l 的斜率为 4 或 4+ 时，四边形 OAPB能为平行四边形【点评】 本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题， 联立方程组转化为一元二次方程，系数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大21设函数 f（ x） =ex 1x ax2 （1）若 a=0，求 f（ x）的单调区间；（2）若当 x0 时 f（x）0，求 a 的取值范围【分析】（ 1）先对函数 f（x）求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于单调递减（2）根据 ex1+x 可得不等式 f

31、（ x）x 2ax=（ 1 2a） x，从而可知当 1 2a0， f（x）0 判断出函数 f（x）的单调性，得到答案 【解答】解：（ 1）a=0 时， f（ x）=ex 1 x， f（ x） =ex 1当 x（，0）时， f'（ x） 0；当 x（0，+）时， f' （x） 0故 f（x）在（ ， 0）单调减少，在（ 0， +）单调增加（ II ） f（ x） =ex1 2ax 由（ I）知 ex1+x，当且仅当 x=0 时等号成立故 f（ x） x2ax=（12a） x，从而当 12a0，即时， f（x）0（x0），而 f（0）=0，于是当 x0 时， f（x） 0由 ex

32、1+x（x0）可得 ex 1 x（x0）从而当时， f（ x） ex1+2a（ex1）=ex（ex1）（ex2a），故当 x （0， ln2a）时， f'（x）0，而 f（ 0） =0，于是当 x （0， ln2a）时， f（x） 0 综合得 a 的取值范围为 【点评】 本题主要考查利用导数研究函数性质、 不等式恒成立问题以及参数取值范围问题， 考查 分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力选修 4-1 ：几何证明选讲 22如图， O为等腰三角形 ABC内一点， O与ABC的底边 BC交于 M，N 两点，与底边上的 高 AD 交于点 G，且与 AB， AC分别相切于 E， F两点

33、（1）证明： EF BC；（2）若 AG等于O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF的面积【分析】（ 1）通过 AD 是CAB的角平分线及圆 O 分别与 AB、AC相切于点 E、F，利用相似的 性质即得结论；（2）通过（ 1）知 AD 是 EF的垂直平分线，连结 OE、OM，则 OE AE，利用 S ABC S AE F计算即可【解答】（ 1）证明： ABC为等腰三角形， ADBC，AD 是 CAB的角平分线，又圆 O 分别与 AB、AC相切于点 E、F， AE=AF，ADEF，EF BC；（2）解：由（ 1）知 AE=AF，ADEF， AD是 EF的垂直平分线， 又EF为圆 O的弦， O在 AD上， 连结 OE、OM，则 OE AE，由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE， OAE=30°， ABC与 AEF都是等边三角形， AE=2 ， AO=4，OE=2，OM=OE=2， DM=