双曲线方程典例分析

1、双曲线方程典例分析江西省永丰中学 刘 忠 一、求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程或（a、b>0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.例1 求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的共轭双曲线方程.解 令与双曲线有公共渐近线的双曲线系方程为，将点代入，得，双曲线方程为，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为.评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程可设为（kr，且k0）；有公共焦点的双曲线方程可设为，本题用的是待定系数法.例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别

2、为f1、f2，直线过f2且与直线f1f2的夹角为，且，与线段f1f2的垂直平分线的交点为p，线段pf2与双曲线的交点为q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.解 以f1f2的中点为原点，f1、f2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设f2（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得q点的坐标为，由点q在双曲线上可得，又，双曲线方程为.评 此例用的是直接法.二、双曲线定义的应用1、第一定义的应用例3 设f1、f2为双曲线的两个焦点，点p在双曲线上，且满足f1pf2=900，求f1pf2的面积.解 由双曲线的第一定义知，两边平方，得.f

3、1pf2=900，.2、第二定义的应用例4 已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为f1、f2，左准线为l，能否在双曲线左支上找到一点p，使是 p到l的距离d与的比例中项？bc图1ao解 设存在点，则，由双曲线的第二定义，得，又，即，解之，得，矛盾，故点p不存在.评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径、或其关系，解题过程将复杂得多.三、双曲线性质的应用例5 设双曲线（）的半焦距为c，直线l过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到的距离为，求双曲线的离心率.解析 这里求双曲线的离心率即求，是个几何问题，怎么把题目中的条件与之联系起来呢？如图1，由面积法知ab=，考虑到，知即，亦即，注意到a<

4、b的条件，可求得.四、与双曲线有关的轨迹问题例6 以动点p为圆心的圆与a：及b：都外切，求点p的轨迹方程.解 设动点p（x，y），动圆半径为r，由题意知 ，.，据 双曲线的定义知，点p的轨迹是以a、b为焦点的双曲线的右支，方程为 ：.例 7 如图2，从双曲线上任一点q引直线的垂线，垂足为n，求线段qn的中点p的轨迹方程.解析 因点p随q的运动而运动，而点q在已知双曲线上，故可从寻求 q点的坐标与p点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的.qpn图2设动点p的坐标为，点q的坐标为，则 n点的坐标为.点 n在直线上，又pq垂直于直线，即 联立 、解得.又点n在双曲线上，即，化简，得点p的轨迹方程为：.五、与双曲线有关的综合题例8 已知双曲线，其左右焦点分别为f1、f2，直线l过其右焦点f2且与双曲线 的右支交于a、b两点，求的最小值.解 设，（、）.由双曲线的第二定义，得 ，设直线l的倾角为，l与双曲线右支交于两点a、b，.当时，