江苏省高考数学二轮复习第15讲点直线平面之间的位置关系

1、点、直线、平面之间的位置关系江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题。一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公理、定理、性质、定义等非常熟悉并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题1. 直线a，b是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是_2.a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：ab；a；.其中真命题是

2、_(填所有正确命题的序号)如果直线l平面，给出下列判断：若直线ml，则m；若直线m，则ml；若直线m，则ml；若直线ml，则m.其中正确判断的序号是_3.已知a、b、c、d不共面，a在平面bcd上的射影为o，则abcd，acbd是o为bcd垂心的_(填“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要”)条件【例1】如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a，b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m为线段pb的中点，求证：(1) mo平面pac；(2) 平面pac平面pbc.【例2】如图四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，bad60°，ad1，侧面pad是正三角形，且与底面

3、垂直，q是ad的中点(1) 求四棱锥pabcd的体积；(2) m在线段pc上，pmtpc，线段bc上是否存在一点r，使得当t(0,1)时，总有bq平面mdr？若存在，确定r点位置；若不存在，说明理由【例3】如图，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，且aefc11.(1) 求证：e、b、f、d1四点共面；(2) 若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em平面bcc1b1.【例4】如图，在矩形abcd中，ad2，ab4，e、f分别为边ab、ad的中点，现将ade沿de折起，得四棱锥abcde.(1) 求证：ef平面abc；(2)

4、 若平面ade平面bcde，求四面体fdce的体积1. (2011·福建)如图，正方体abcda1b1c1d1中，ab2，点e为ad的中点，点f在cd上若ef平面ab1c，则线段ef的长度等于_2. (2010·湖北)用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中正确的命题有_(填所有正确命题的序号)3. (2009·江苏)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l

5、，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的是_(填所有真命题的序号)4.(2011·浙江)下列命题中错误的是_如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；如果平面平面，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.5. (2011·江苏)如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abad，bad60°，e、f分别是ap、ad的中点，求证：(1) 直线ef平面pcd；(2) 平面bef平面pad.6. (20

6、10·山东)在如图所示的几何体中，四边形abcd是正方形，ma平面abcd，pdma，e、g、f分别为mb、pb、pc的中点，且adpd2ma.(1) 求证：平面efg平面pdc；(2) 求三棱锥pmab与四棱锥pabcd的体积之比(2011·南京一模)(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱abca1b1c1中，d、d1分别是bc和b1c1的中点(1) 求证：a1d1平面ab1d；(2) 若平面abc平面bcc1b1，b1bc60°，求三棱锥b1abc的体积(1) 证明：如图，连结dd1.在三棱柱abca1b1c1中，因为d、d1分别是bc与b1c1的中点

7、，所以b1d1bd，且b1d1bd，所以四边形b1bdd1为平行四边形，(2分)所以bb1dd1，且bb1dd1.又aa1bb1，aa1bb1，所以aa1dd1，aa1dd1，所以四边形aa1d1d为平行四边形，(4分)所以a1d1ad. 又a1d1平面ab1d，ad平面ab1d，故a1d1平面ab1d.(6分)(2) 解：(解法1)在abc中，因为abac，d为bc的中点，所以adbc.因为平面abc平面b1c1cb，交线为bc，ad平面abc，所以ad平面b1c1cb，即ad是三棱锥ab1bc的高. (10分)在abc中，由abacbc4，得ad2.在b1bc中，b1bbc4，b1bc60

8、°，所以b1bc的面积sb1bc×424.所以三棱锥b1abc的体积即三棱锥ab1bc的体积：v×sb1bc·ad×4×28.(14分)(解法2)在b1bc中，因为b1bbc，b1bc60°，所以b1bc为正三角形，因此b1dbc.因为平面abc平面b1c1cb，交线为bc，b1d平面b1c1cb，所以b1d平面abc，即b1d是三棱锥b1abc的高. (10分)在abc中，由abacbc4得abc的面积sabc×424.在b1bc中，因为b1bbc4，b1bc60°，所以b1d2.所以三棱锥b1abc的

9、体积v×sabc·b1d×4×28. (14分)第15讲点、直线、平面之间的位置关系1. 过三棱柱 abca1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有_条【答案】62. m、n是空间两条不同的直线，、是空间两个不同的平面，下面有四个命题： m，n，mn； mn，n，m； mn，mn； m，mn，n.其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【答案】3. 给出以下四个命题，其中真命题是_(写出所有真命题的序号) 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相

10、交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直【答案】4. 如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a、b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m为线段pb的中点，有以下四个命题： pa平面mob； mo平面pbc； oc平面pac； 平面pac平面pbc.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)【答案】5. 直三棱柱abca1b1c1中，acbcbb11，ab1.(1) 求证：平面ab1c平面b1cb；(2) 求三棱锥a1ab1c的体积解：(1) 证明：直三棱柱abca1b

11、1c1中，bb1底面abc，则bb1ab，bb1bc.又由于acbcbb11，ab1，则ab，则由ac2bc2ab2，可知acbc.又由bb1底面abc，可知bb1ac，则ac平面b1cb，所以平面ab1c平面b1cb.(2) 解：三棱锥a1ab1c的体积va1ab1cvb1a1ac××1.(注：还有其他转换方法)6. 已知等腰梯形pdcb中(如图1)，pb3，dc1，pdbc，a为pb边上一点，且pa1，将pad沿ad折起，使面pad面abcd(如图2)(1) 证明：平面pad平面pcd；(2) 试在棱pb上确定一点m，使截面amc把几何体分成的两部分vpdcmavmac

12、b21；(3) 在点m满足(2)的情况下，判断直线pd是否平行面amc.图1图2解：(1) 证明：依题意知cdad，又 面pad面abcd， dc平面pad.又dc面pcd， 平面pad平面pcd.(2) 解：由(1)知pa平面abcd， 平面pab平面abcd.在pb上取一点m，作mnab，垂足为n，则mn平面abcd，设mnh，则vmabcsabc·h××2×1×h，vpabcsabc·pa××1×1，要使vpdcmavmacb21，即21，解得h，即m为pb的中点(3) 连结bd交ac于o.因为ab

13、cd，ab2，cd1，由相似三角形易得bo2od. o不是bd的中心又 m为pb的中点， 在pbd中，om与pd不平行 om所在直线与pd所在直线相交又om平面amc， 直线pd与平面amc不平行基础训练1. 相交或异面2. 3. 4. 充分必要例题选讲例1证明：(1) m，o分别是pb、ab的中点， mopa，又 mo平面pac，pa平面pac， mo平面pac.(2) 直线pa垂直于圆o所在的平面， pabc c是圆周上一点，ab是直径， bcac.又paaca， bc平面pac. bc平面pbc， 平面pbc平面pac.变式训练如图，四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pddcbc1，

14、ab2，abdc，bcd90°.(1) 求证：pcbc；(2) 求点a到平面pbc的距离(1) 证明：因为pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc.由bcd90°，得bcdc.又pddcd，pd平面pcd，dc平面pcd，所以bc平面pcd，因为pc平面pcd，故pcbc.(2) 解：如图，连结ac. 设点a到平面pbc的距离为h，因为abdc，bcd90°，所以abc90°，从而由ab2，bc1，得abc的面积sabc1.由pd平面abcd及pd1，得三棱锥pabc的体积vsabc·pd，因为pd平面abcd，dc平面abcd，所以p

15、ddc.又pddc1，所以pc.由pcbc，bc1，得spbc.由vspbch··h， h.故点a到平面pbc的距离等于.点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力例2解：(1) 连结pq，则pqad，由题意易得pq，sabcd. 平面pad平面abcd且交线为ad，pqad，pq平面pad， pq平面abcd， vpabcdpq·sabcd.(2) 存在，r为bc的中点取r为bc中点，连结mr，dr，dm，则bqdr. bqdr，bq平面dmr，dr平面dmr， bq平面dmr.因此，r为bc

16、中点，当t(0,1)时，总有bq平面mdr，反之也成立变式训练如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abacaa13a，bc2a，d是bc的中点，e为ab的中点，f是c1c上一点，且cf2a.(1) 求证：c1e平面adf；(2) 试在bb1上找一点g，使得cg平面adf；(3) 求三棱锥dab1f的体积(1) 证明： abac，d为bc中点，又e为ab的中点，连结ce交ad于o，连结fo，易知，故foc1e.又fo平面afd，c1e平面afd，故c1e平面afd.(2) 解：在平面c1cbb1内，过c作cgdf，交b1b于g.在rtfcd和rtcbg中，fccb，cfdbcg，故rtfcdr

17、tcbg.而adbc，cc1ad且cc1cbc，故ad平面c1cbb1.而cg平面c1cbb1，故adcg.又cgdf，adfdd，故cg平面adf，此时bgcda.(3) 解： ad平面bcc1b1， vdab1fvab1df·sb1df·ad×b1f·fd·ad.例3解：(1) 如图，在dd1上取点n，使dn1，连结en，cn，则aedn1，cfnd12.因为aedn，nd1cf，所以四边形adne，cfd1n都为平行四边形从而enad，fd1cn.又因为adbc，所以enbc，故四边形bcne是平行四边形，由此推知cnbe，从而fd1be

18、.因此，e、b、f、d1四点共面(2) 如图，gmbf，又bmbc，所以bgmcfb，bmbg·tanbgmbg·tancfbbg·×1.因为aebm，所以abme为平行四边形，从而abem.又ab平面bcc1b1，所以em平面bcc1b1.例4(1) 证明：(证法1)取线段ac的中点m，连结mf、mb.因为f为ad的中点，所以mfcd，且mfcd.在折叠前，四边形abcd为矩形，e为ab的中点，所以becd，且becd.所以mfbe，且mfbe.所以四边形befm为平行四边形，故efbm.又ef平面abc，bm平面abc，所以ef平面abc.(证法2)

19、延长de交cb的延长线于点n，连结an.在折叠前，四边形abcd为矩形，e为ab的中点，所以becd，且becd.所以nbencd，nebndc.所以nebndc.所以，即e为dn的中点又f为ad的中点，所以efna.又ef平面abc，na平面abc，所以ef平面abc.(证法3)取cd的中点o，连结oe、of.折叠前，四边形abcd为矩形，e为ab的中点，所以becd，且becd.所以beco，且beco.所以四边形beoc为平行四边形所以eobc.又eo平面abc，bc平面abc，所以eo平面abc.因为f、o分别为ad、cd的中点，所以foac.又fo平面abc，ac平面abc，所以fo

20、平面abc.又fo、eo平面feo，foeoo，所以平面feo平面abc.因为ef平面eof，所以ef平面abc.(2) 解：(解法1)在折叠前，四边形abcd为矩形，ad2，ab4，e为ab的中点，所以ade、cbe都是等腰直角三角形，且adaeebbc2，所以deaceb45°，且deec2.又deadecceb180°，所以dec90°.cede，又平面ade平面bcde，平面ade平面bcdede，ce平面bcde，所以ce平面ade，即ce为三棱锥cefd的高因为f为ad的中点，所以sefd××ad·ae×2

21、15;21.所以四面体fdce的体积v×sefd·ce×1×2.(解法2)过f作fhde，h为垂足因为平面ade平面bcde，平面ade平面bcdede，fh平面ade，所以fh平面bcde，即fh为三棱锥fecd的高在折叠前，四边形abcd为矩形，且ad2，ab4，e为ab的中点，所以ade是等腰直角三角形又f为ad的中点，所以df1.所以fhdf·sin45°.又sedc×cd·bc×4×24，所以四面体fdce的体积v×sedc·fh×4×.(解法3)过a作agde，g为垂足因为平面ade平面bcde，平面ade平面bcdede，ag平面ade，所以ag平面bcde，即ag为三棱锥aecd的高在折叠前，四边形abcd为矩形，且ad2，