高一数学必修五基本不等式经典实用

1、高一数学必修五基本不等式2abab3.43.4基本不等式基本不等式: :高一数学必修五基本不等式efghcadbba22ababcdoab重要不等式：重要不等式： 一般地，对于一般地，对于任意实数任意实数a、b，我，我们有们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222abab如何证明如何证明? ?会得到什么？代替和用bababa,0, 0高一数学必修五基本不等式基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。0, 02baabba基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释：半径不小于半弦半径不小于半弦abedcab 深深 入入 探探 究究 揭揭 示示 本本

2、 质质高一数学必修五基本不等式剖析公式应用剖析公式应用 深深 入入 探探 究究 揭揭 示示 本本 质质abba2算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数它们的它们的几何平均几何平均数数. .基本不等式可以叙述为基本不等式可以叙述为:注意注意：（：（1）不等式使用的条件不同；）不等式使用的条件不同； （2）当且仅当）当且仅当a=b时取等号；时取等号； 均值不等式均值不等式高一数学必修五基本不等式例1、(1)当x0时， ，当且仅当x= 时取等号。21xx1两个正数积为定值两个正数积为定值p p，和有最小值，和有最小值 。abba2利用00yx，解： 62yx

3、yx时取等号。当且仅当3 yx ., 9002yxyxyxyx此时，的最小值是则且，若63例题讲解例题讲解p2高一数学必修五基本不等式的最大值。求满足、若正数例xyyxyx,18,20, 0yx解法一：1822xyxyyx即81xy时取等号。当且仅当9 yx你还有其他的解法吗？你还有其他的解法吗？两个正数的和为定值，积有最大值。两个正数的和为定值，积有最大值。abba2利用高一数学必修五基本不等式的最大值。求满足、若正数例xyyxyx,18,20, 0yx解法二：时取等号。当且仅当9 yx8122yxxy利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值令令xy=z,则则 z=-x2+1

4、8x，解法三分析22abab公式变形：高一数学必修五基本不等式._lglg,20,2最大值是的则满足、正数yxyxyx211、已知 则x y 的最大值是 ，此时x= ,y= 。)0, 0(232 yxyx61231基础练习基础练习高一数学必修五基本不等式最值定理：最值定理：若若x、y皆为正数，则皆为正数，则（1）当）当x+y的值是常数的值是常数s时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，xy有最有最 大值大值_；（2）当）当xy的值是常数的值是常数p时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时， x+y有最有最 小值小值_.注意：各项皆为正数；注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值；和为定值或积为定值；

5、 注意等号成立的条件注意等号成立的条件.214s2 p一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”和定积最大，积定和最小和定积最大，积定和最小注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定高一数学必修五基本不等式11x构造积为定值构造积为定值解解：x1 x10 x （x1） 1 ) 1(1x11x311112xx已知已知x1，求，求x 的最小值以及取得的最小值以及取得最小值时最小值时x的值。的值。 当且仅当x1 时取“”号。于是x2或x0（舍去）11x例例凑项法凑项法高一数学必修五基本不等式即即x=x=61时时 y ymaxmax=1210 0 x x31，1-3

6、x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 解：解：构造和为定值构造和为定值的最大值。求函数已知xxyx31,310例例凑系数凑系数高一数学必修五基本不等式你会了你会了吗？吗？1、本节主要学习了基本不等式的证明与本节主要学习了基本不等式的证明与初步应用。初步应用。 巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗2 2、注意公式的正用、逆用、变形使用、注意公式的正用、逆用、变形使用。3 3、牢记公式特征、牢记公式特征一一“正正”、二、二“定定”、三、三“等等”，它在求最值的题型中绽

7、放绚丽的光它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。彩。高一数学必修五基本不等式（1）一正一正：各项均为正数。：各项均为正数。（2）二定二定：两个正数积为定值，和有最小值。：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误。否则会出现错误。小结：运用小结：运用 时要注意下面三条：时要注意下面三条：)0, 0(2baabba高一数学必修五基本不等式1、 求函数求函数 的最小值的最小值.)3(31xxxy【基础训练基础训练3】2 2、求函数、求函数f(x)=

8、xf(x)=x2 2(4-x(4-x2 2) (0 x2) (0 x2)的最大值是多的最大值是多少？少？高一数学必修五基本不等式例例1：(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m. 等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时

9、，所用的篱笆时，所用的篱笆最短最短的篱笆是最短最短的篱笆是40m. 结论结论1.两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值2xyxyq2 100 xyq2()40 xyq高一数学必修五基本不等式例例1：(2)用一段长为用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则 2(x + y)= 36 , x+ y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2=

10、18/2=9得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2结论结论2.两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值2yxxy高一数学必修五基本不等式例例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才智，用这智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的篱笆围成一个矩形菜园

11、，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则 x +2 y= 36矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为s=xy m2当且仅当当且仅当x=2y,即即x=18，y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是,162m2222162,162xyxyxysxy由得高一数学必修五基本不等式1yxx0 x0 x 0 x 2x , 22, , 22,25高一数学必修

12、五基本不等式一一正正 、二二定定 、三三等等二二不不定定, ,需需变变形形一正号不不, ,需需变变三等单调不不, ,需需高一数学必修五基本不等式22222ababab222 002( ,)(,)ababa brababab 两个不等式：两个不等式：得：得：222abab 2()2abab ( ,)a br 222,1122( ,=ababababa brab ，当当且且仅仅当当时时取取“ ”）高一数学必修五基本不等式几种利用基本不等式求最值的技巧几种利用基本不等式求最值的技巧:2.凑系数凑系数1.凑项凑项3.分离分离4.“1”的妙用的妙用小结：小结：高一数学必修五基本不等式练习练习.0,0,8

13、,_;ababab则的最值为1 1 已已知知.0,0,28,_;ababab则的最值为2 2 已已知知.1,(1)_;aaa则的最值为3 3 已已知知0 01.,(1 2 )_;2aaa则的最值为4 4 已已知知0 01.,(1 3 )_;3aaa则2的最值为5 5 已已知知0 0.0,0,9,_;ababab则的最值为6 6 已已知知22.9,_;abab则的最值为7 7 已已知知.0,0,9,2_;ababab则的最值为9 9 已已知知22.9,2_;abab则的最值为8 8 已已知知8103.,_;xyxx已已知知则则函函数数的的最最值值为为大16大8大14大18大16小6小18小18 2小6 2小173高一数学必修五基本不等式练习练习22811._;yxx函函数数的的最最值值为为81211.,_;xyxx 已已知知则则函函数数的的最最值值为为228134._;yxx 函函数数的的最最值值为为24140.,_;xxyx 若若则则函函数数的的最最值值为为21501.,_;x