椭圆的定义与标准方程经典实用

1、椭圆的定义与标准方程椭圆的定义与标准方程椭圆的定义与标准方程引例： 若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？图形？圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆222)()(rbyax椭圆的定义与标准方程探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点图板上不同的两点f1、f2处，并用笔尖拉处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔

2、尖画出的紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢轨迹是什么图形呢？思考：如何定义椭圆？f1f2xy0p椭圆的定义与标准方程 如何定义椭圆?圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长 的点的集合叫圆.椭圆的定义: 平面上到两个定点f1, f2的距离之和为固定值(大于| f1f2 |)的点的轨迹叫作椭圆.椭圆的定义与标准方程1、椭圆的定义：1f2fm 平面内到两个定点f1、f2的距离之和等于常数（大于|f1f2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。cff221为椭圆时,022ca2 2a a

3、mmf fmmf f2 21 133常数要常数要大于大于焦距焦距 22动点动点 m m 与两个定点与两个定点f f1 1和和f f2 2的距离的和是的距离的和是常数常数 11平面内平面内-这是大前提这是大前提椭圆的定义与标准方程 1. 改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 椭圆的定义与标准方程 1. 改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？

4、绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 椭圆的定义与标准方程回忆圆标准方程推导步骤 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点m的坐标的坐标;2、写出适合条件、写出适合条件 p（m） ;3、用坐标表示条件、用坐标表示条件p（m），列出方程），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。、化方程为最简形式。结论结论：若把绳长记为若把绳长记为2a，两定点间，两定点间的距离记为的距离记为2c(c0).（1）当）当2a2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（2）当）当2a=2c时，轨迹时，轨迹 是是 ；

5、（3）当）当2a0)，则f1、f2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . p与f1和f2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）apfpf2|21222221)(| ,)(|ycxpfycxpfaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程椭圆的定义与标准方程222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 22

6、2)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程椭圆的定义与标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）apfpf2|21222221)(| ,)(|cyxpfcyxpfacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222轴焦点在).0(12222babyax椭圆的定义与标准方程oxyf

7、1f2m(-c,0)(c,0)yoxf1f2m(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。椭圆的定义与标准方程2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点f1，f2的距离的

8、和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于f1f2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断 再认识！再认识！xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2po椭圆的定义与标准方程三、例题分析三、例题分析543(-3,0)、(3,0)6x例例1. .已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ,则则(1)a= , b= , c= ; (2)焦点在焦点在 轴上轴上,其焦点坐标为其焦点坐标为 , 焦距为焦距为 。 (3)(3)若椭圆方程为若椭圆

9、方程为 , , 其焦点坐标为其焦点坐标为 . . 2212516xy1251622 yx(0,3)、(0,-3)椭圆的定义与标准方程例例2.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。每一点到两焦点距离的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：解：椭圆方程具有形式椭圆方程具有形式12222byax其中其中1, 2ba因此因此31422bac两焦点坐标为两焦点坐标为)0 , 3(),0 , 3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42 a椭圆的定义与标准方程例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（

10、椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点p到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 1 12 2yoffmx.解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 12222babyax192522yx椭圆的定义与标准方程求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程（1）首先要）首先要判断判断类型，类型，（2）用）用待定系数法待定系数法求求ba,椭圆的定义椭圆的定义a2=b2+c2椭圆的

11、定义与标准方程例例2 2. .已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且经经过过点点（， - -），求求它它的的标标准准方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因为为椭椭圆圆的的焦焦点点在在x x轴轴上上，所所以以设设它它的的标标准准方方程程为为x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由椭椭圆圆的的定定义义知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ +

12、- -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因为为c c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .22222222因因此此，所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为xyxy+=1.+=1.106106求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.椭圆的定义与标准方程1

13、 1 1 11 1变变式式引引申申：求求焦焦点点在在y y轴轴上上，且且经经过过点点a a( (, ,) )、b b( (0 0, ,- -) )的的3 3 3 32 2椭椭圆圆的的标标准准方方程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 设设 所所 求求 椭椭 圆圆 的的 方方 程程 为为+ += = 1 1 , ,a ab b1 11 11 1将将 a a ( (, ,) ) , , b b ( ( 0 0 , , - -) ) 代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1-

14、 -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 椭椭 圆圆 的的 标标 准准 方方 程程 为为+ += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考一个问题思考一个问题:把把“焦点在焦点在y轴上轴上”这句话去掉，怎么办？这句话去掉，怎么办？椭圆的定义与标准方程2 22 2变变式式引引申申: :若若焦焦点点在在y y轴轴上上；如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示椭椭圆圆，mm, ,n n应应满满足足什什么么条条件件. .

15、2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n,当当mn0mn0，表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆；当当nm0nm0，表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnnm0,nm0,且且c =n-m,c =n-m,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2 22 2x xy y( (2 2) )若若+ += =1 1表表示示椭椭圆

16、圆, ,则则mm 0 0, ,n n 0 0且且mmn n. .mmn n椭圆的定义与标准方程例3 已知椭圆经过两点 ,求椭圆的标准方程 3 5(, )( 3, 5)2 2与221(0,0,)xymnmnmn1)5()3(1)25()23(2222nmnm10, 6nm221610 xy解：设椭圆的标准方程则有 ，解得 所以，所求椭圆的标准方程为椭圆的定义与标准方程2 22 2分分析析：点点p p在在圆圆x x + +y y = =4 4上上运运动动, ,点点p p的的运运动动引引起起点点mm的的运运动动. .我我们们可可以以由由mm为为线线段段p pd d的的中中点点得得到到点点mm与与点点

17、p p坐坐标标之之间间的的关关系系式式, ,并并由由点点p p的的坐坐标标满满足足圆圆的的方方程程得得到到点点mm的的坐坐标标所所满满足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圆圆x x + +y y = =4 4上上任任取取一一个个点点p p，过过点点p p作作x x轴轴的的垂垂线线p pd d，d d为为垂垂足足. .当当点点p p在在圆圆上上运运动动时时，线线段段p pd d的的中中点点m m的的轨轨迹迹是是什什么么? ?为为什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 设设点点的的坐坐

18、标标为为( (x x, ,y y) ), ,点点的的坐坐标标为为( (x x , ,y y ) ), ,则则y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因为为点点( (x x , ,y y ) )在在圆圆x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以点点的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. .椭圆的定义与标准方程.2 22 2变变式式引引

19、申申：已已知知圆圆x x + +y y = = 9 9, ,从从这这个个圆圆上上任任意意一一点点p p向向x x轴轴作作垂垂线线p pp p ，点点m m在在p pp p 上上, ,并并且且p pm m = = 2 2m mp p , , 求求点点m m的的轨轨迹迹00000 000000000000 000002222000022222 22 2解解：设设点点mm的的坐坐标标为为(x,y),(x,y),点点p p的的坐坐标标为为(x ,y )(x ,y )，则则点点p p 的的坐坐标标为为(x ,0).(x ,0).由由pm=2mppm=2mp得得：(x-x ,y-y )=2(x -x,-y

20、)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即x-x =2(x -x)x-x =2(x -x), ,y-y =2(-y)y-y =2(-y)即即x = x,y =3y.x = x,y =3y.p(x ,y )p(x ,y )在在圆圆x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得x +9y =9x +9y =9，x x即即+y =1,+y =1,点点mm的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. .9 9211222132661251632xyffffmmfmfmxypp+=+=+=22121.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）23 (a)6 (b)3 (c)3 5 (d)6 52. 、

21、 是定点，且，动点 满足， 则点 的轨迹是（ ） (a)椭圆 (b)直线 (c)圆 (d)线段3.已知椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离 为，则 到另一焦点的距离为（ ） (a) (b)37 (c)5 (d)变式题组一变式题组一椭圆的定义与标准方程2149xkyykxymmxyff+=2222212 1.如果方程+=1表示焦点在 轴上的椭圆， 那么实数 的取值范围是（ ） (a)（0，+） (b)（0，2） (c)（1，+） (d)（0，1） 2.椭圆+=1的焦距是2，则实数 的值是（ ）4 (a)5 (b)8 (c)3或5 (d)3 3.已知 、是椭圆的251 fababfd2两个焦点，过的直

22、线与椭圆交于 、 两点，则的 周长为（ ） (a)8 6 (b)20 (c)24 (d)28变式题组二变式题组二椭圆的定义与标准方程1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx椭圆的定义与标准方程2 22 21 12 2x xy y1 1. .如如果果椭椭圆圆+ += =1 1上上一一点点p p到到焦焦点点f f的的距距离离等等于于6 6，那那么么点点p p到到1 10 00 03 36 6另另一一焦焦点点f f的的距距离离是是（）. .2

23、22 2x xy y2 2. .椭椭圆圆+ += =1 1的的焦焦点点坐坐标标是是( () ). .mm- -2 2mm+ +5 5a a. .( ( 7 7, ,0 0) )b b. .( (0 0, , 7 7) )c c. .( (7 7, ,0 0) )d d. .( (0 0, ,7 7) )2 22 22 22 22 22 22 22 25 53 33 3. .两两个个焦焦点点的的坐坐标标是是( (- -2 2, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,且且经经过过点点p p( (, ,- -) )的的椭椭圆圆方方程程2 22 2是是( () ). .x xy yy

24、 yx xa a. .+ += =1 1b b. .+ += =1 11 10 06 61 10 06 6x xy yy yx xc c. .+ += =1 1d d. .+ += =1 19 96 69 96 6巩固练习巩固练习14dd椭圆的定义与标准方程2 22 2x xy y4 4. .椭椭圆圆+ += = 1 1的的焦焦距距是是2 2( () ). .mm4 4a a. .5 5a a. .5 5或或8 8c c. .3 3或或5 5d d. .2 20 02 22 22 21 11 11 1x xy y5 5. .已已知知经经过过椭椭圆圆+ += =1 1的的右右焦焦点点f f 作作垂垂直直于于x x轴轴2 25 51 16 6的的直直线线a ab b, ,交交椭